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1、1专题七专题七带电粒子在复合场中的运动带电粒子在复合场中的运动高考对该部分内容的考查主要是：(1)考查带电粒子在组合场中的运动问题；(2)考查带电粒子在复合场中的运动问题；(3)考查以带电粒子在组合场、复合场中的运动规律为工作原理的仪器在科学领域、生活实际中的应用知识点一、带电粒子在组合复合场中的运动知识点一、带电粒子在组合复合场中的运动“电偏转”和“磁偏转”的比较垂直进入磁场(磁偏转)垂直进入电场(电偏转)情景图受力FBqv0B 大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力FEqE，FE大小、方向不变，为恒力运动规律匀速圆周运动rmv0Bq，T2mBq类平抛运动vxv0，vyEqmtxv0
2、t，yEq2mt2运动时间t2TmBqtLv0，具有等时性动能不变变化知识点二、带电粒子在叠加复合场中的运动知识点二、带电粒子在叠加复合场中的运动2高频考点一高频考点一带电粒子在叠加场中的运动分析带电粒子在叠加场中的运动分析例 1、 （2018 年全国 II 卷） 一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在 xoy 平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与 y 轴垂直，宽度为 l，磁感应强度的大小为 B，方向垂直于 xoy 平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为 ，电场强度的大小均为 E，方向均沿 x 轴正方向；M、N 为条形区域边界上的两点，它们的连线与 y 轴平行。一带正电
3、的粒子以某一速度从 M 点沿 y 轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从 M 点入射的速度从 N 点沿 y 轴正方向射出。不计重力。（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；（2）求该粒子从 M 点射入时速度的大小；（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与 x 轴正方向的夹角为 ，求该粒子的比荷及其从 M 点运动到 N 点的时间。【方法技巧】带电粒子在叠加场中运动的处理方法1弄清叠加场的组成特点2正确分析带电粒子的受力及运动特点33画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止例如电场与磁场中满足 qEqvB；重力场与磁场中满足 mg
4、qvB；重力场与电场中满足 mgqE.(2)若三场共存时，合力为零，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力 FqvB 的方向与速度 v 垂直(3)若三场共存时，粒子做匀速圆周运动，则有 mgqE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvBmv2r.(4)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解【变式探究】如图 1 所示，位于竖直平面内的坐标系 xOy，在其第三象限空间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B0.5 T，还有沿 x 轴负方向的匀强电场，场强大小为 E2 N/C.在其第一象限空间有沿 y 轴负方向的、场强大小也为 E 的匀强电场，并在
5、 yh0.4 m 的区域有磁感应强度也为 B 的垂直于纸面向里的匀强磁场一个带电荷量为 q 的油滴从图中第三象限的 P 点得到一初速度，恰好能沿 PO 做匀速直线运动(PO 与 x 轴负方向的夹角为45)，并从原点 O 进入第一象限已知重力加速度 g10 m/s2，问：图 1(1)油滴在第三象限运动时受到的重力、电场力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带何种电荷；(2)油滴在 P 点得到的初速度大小；(3)油滴在第一象限运动的时间【变式探究】如图 2，水平地面上方有一底部带有小孔的绝缘弹性竖直挡板，板高 h9 m，与板上端等高处水平线上有一 P 点，P 点离挡板的距离 x3 m板的左侧以及板
6、上端与 P 点的连线上方存在匀强磁场和匀强电场磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度 B1 T；比荷大小qm1.0 C/kg 可视为质点的小球从挡板下端处小孔以不同的速度水平射入场中做匀速圆周运动，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电量不变，小球最后都能经过位置 P，g10 m/s2，求：图 2(1)电场强度的大小与方向；(2)小球不与挡板相碰运动到 P 的时间；4(3)要使小球运动到 P 点时间最长应以多大的速度射入？高频考点二高频考点二带电粒子在组合场中的运动分析带电粒子在组合场中的运动分析例 2、 （2018 年天津卷）如图所示，在水平线 ab 的下方有一匀强电场，电场强度为
7、E，方向竖直向下，ab 的上方存在匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里，磁场中有一内、外半径分别为 R、的半圆环形区域，外圆与 ab 的交点分别为 M、N。一质量为 m、电荷量为 q 的带负电粒子在电场中 P 点静止释放，由 M 进入磁场，从 N 射出，不计粒子重力。（1）求粒子从 P 到 M 所用的时间 t；（2）若粒子从与 P 同一水平线上的 Q 点水平射出，同样能由 M 进入磁场，从 N 射出，粒子从 M 到 N的过程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在 Q 时速度的大小。【变式探究】【2017江苏卷】一台质谱仪的工作原理如图所示大量的甲、乙两种离子飘入电压为 U
8、0的加速电场，其初速度几乎为 0，经过加速后，通过宽为 L 的狭缝 MN 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中，最后打到照相底片上已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为 2m 和 m，图中虚线为经过狭缝左、右边界 M、N 的甲种离子的运动轨迹不考虑离子间的相互作用（1）求甲种离子打在底片上的位置到 N 点的最小距离 x；（2）在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度 d；（3）若考虑加速电压有波动，在（0UU）到（0UU ）之间变化，要使甲、乙两种离子在底片5上没有重叠，求狭缝宽度 L 满足的条件【方法技巧】设带电粒子在组合场内的运动实
9、际上也是运动过程的组合，解决方法如下：(1)分别研究带电粒子在不同场区的运动规律在匀强磁场中做匀速圆周运动在匀强电场中，若速度方向与电场方向平行，则做匀变速直线运动；若速度方向与电场方向垂直，则做类平抛运动(2)带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系处理(3)当粒子从一个场进入另一个场时，分析转折点处粒子速度的大小和方向往往是解题的突破口【变式探究】如图 3 所示，足够大的平行挡板 A1、A2竖直放置，间距为 6L.两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域和，以水平面 MN 为理想分界面区的磁感应强度为 B0，方向垂直纸面向外，A1、A2上各有位置正对的小孔 S1、S2，两孔与分界面
10、MN 的距离为 L.质量为 m、电量为q 的粒子经宽度为 d 的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从 S1进入区，并直接偏转到 MN 上的 P 点，再进入区P 点与 A1板的距离是 L 的 k 倍不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑图 3(1)若 k1，求匀强电场的电场强度 E；(2)若 2k0）。质量为m，电荷量为q（q0）的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。9（1）求粒子第一次穿过 G 时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；（2）若粒子恰好从 G 的下方距离 G 也为 h 的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？3（2019
11、新课标全国卷）空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q（q0）。A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为2t。重力加速度为g，求（1）电场强度的大小；（2）B 运动到 P 点时的动能。4（2019北京卷）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B。纸面内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad边与磁场边界平行。从ad边刚进入磁场直至bc边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v匀速运动，求：（1）感应电动势的大小 E；（2）
12、拉力做功的功率 P；（3）ab 边产生的焦耳热 Q。5（2019北京卷）电容器作为储能器件，在生产生活中有广泛的应用。对给定电容值为C的电容器充电，无论采用何种充电方式，其两极间的电势差u随电荷量q的变化图像都相同。（1）请在图 1 中画出上述 uq 图像。类比直线运动中由 vt 图像求位移的方法，求两极间电压为 U 时电容器所储存的电能 Ep。10（2）在如图 2 所示的充电电路中，R 表示电阻，E 表示电源（忽略内阻）。通过改变电路中元件的参数对同一电容器进行两次充电，对应的 qt 曲线如图 3 中所示。a两条曲线不同是_（选填 E 或 R）的改变造成的；b电容器有时需要快速充电，有时需要
13、均匀充电。依据 a 中的结论，说明实现这两种充电方式的途径。（3）设想使用理想的“恒流源”替换（2）中电源对电容器充电，可实现电容器电荷量随时间均匀增加。请思考使用“恒流源”和（2）中电源对电容器的充电过程，填写下表（选填“增大”、“减小”或“不变”）。“恒流源”（2）中电源电源两端电压通过电源的电流6（2019天津卷）如图所示，固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN和PQ长度也为l、电阻均为R，两棒与导轨始终接触良好。MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量k。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的
14、匀强磁场，磁感应强度大小为B。PQ的质量为m，金属导轨足够长，电阻忽略不计。11（1）闭合S，若使PQ保持静止，需在其上加多大的水平恒力F，并指出其方向；（2） 断开S，PQ在上述恒力作用下， 由静止开始到速度大小为 v 的加速过程中流过PQ的电荷量为q，求该过程安培力做的功W。7（2019天津卷）2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。 引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子
15、数目为定值，离子质量为m，电荷量为Ze，其中Z是正整数，e是元电荷。（1）若引擎获得的推力为1F，求单位时间内飘入A、B间的正离子数目N为多少；（2）加速正离子束所消耗的功率P不同时，引擎获得的推力F也不同，试推导FP的表达式；（3）为提高能量的转换效率，要使FP尽量大，请提出增大FP的三条建议。8 （2019江苏卷） 如图所示， 匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线圈， 线圈平面与磁场垂直 已知线圈的面积S=0.3 m2、电阻R=0.6 ，磁场的磁感应强度B=0.2 T.现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在t=0.5 s时间内合到一起求线圈在上述过程中（1）感应电动势的平均值 E；（2）感
16、应电流的平均值 I，并在图中标出电流方向；（3）通过导线横截面的电荷量 q129（2019江苏卷）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d0）的带电小球 M、N 先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知 N离开电场时的速度方向竖直向下；M 在电场中做直线运动，刚离开电场时
17、的动能为 N 刚离开电场时动能的1.5 倍。不计空气阻力，重力加速度大小为 g。求15（1）M 与 N 在电场中沿水平方向的位移之比；（2）A 点距电场上边界的高度；（3）该电场的电场强度大小。【2017江苏卷】（16 分）一台质谱仪的工作原理如图所示大量的甲、乙两种离子飘入电压为 U0的加速电场，其初速度几乎为 0，经过加速后，通过宽为 L 的狭缝 MN 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中，最后打到照相底片上已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为 2m 和 m，图中虚线为经过狭缝左、右边界 M、N 的甲种离子的运动轨迹不考虑离子间的相互作用（1）求甲种离子打在底片
18、上的位置到 N 点的最小距离 x；（2）在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度 d；（3）若考虑加速电压有波动，在（0UU）到（0UU ）之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度 L 满足的条件4【2017天津卷】（18 分）平面直角坐标系 xOy 中，第象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第现象存在沿 y 轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的 Q 点以速度 v0沿 x 轴正方向开始运动，Q 点到 y 轴的距离为到 x 轴距离的 2 倍。粒子从坐标原点 O 离开电场进入磁场，最终从 x 轴上的 P 点射出磁场，P 点到 y 轴距
19、离与 Q 点到 y 轴距离相等。不计粒子重力，问：（1）粒子到达 O 点时速度的大小和方向；（2）电场强度和磁感应强度的大小之比。1(2016北京理综，22，16 分)如图所示，质量为 m，电荷量为 q 的带电粒子，以初速度 v 沿垂直磁场方向射入磁感应强度为 B 的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动不计带电粒子所受重力16(1)求粒子做匀速圆周运动的半径 R 和周期 T；(2)为使该粒子做匀速直线运动，还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场，求电场强度 E 的大小2 (2016天津理综， 11， 18 分)如图所示， 空间中存在着水平向右的匀强电场， 电场强度大小 E5 3 N/C，同时存
20、在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小 B0.5 T有一带正电的小球，质量 m1106kg，电荷量 q2106C，正以速度 v 在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过 P 点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取 g10 m/s2，求：(1)小球做匀速直线运动的速度 v 的大小和方向；(2)从撤掉磁场到小球再次穿过 P 点所在的这条电场线经历的时间 t.3(2016四川理综，11，19 分)如图所示，图面内有竖直线 DD，过 DD且垂直于图面的平面将空间分成、两区域区域有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场 B(图中未画出)；区域有固定在水平地面上
21、高 h2l、倾角4的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线 DD距离 s4l，区域可加竖直方向的大小不同的匀强电场(图中未画出)；C 点在 DD上，距地面高 H3l.零时刻，质量为 m、带电荷量为 q的小球 P 在 K 点具有大小 v0 gl、方向与水平面夹角3的速度，在区域内做半径 r3l的匀速圆周运动，经 C 点水平进入区域.某时刻，不带电的绝缘小球 A 由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球 P 相遇小球视为质点，不计空气阻力及小球 P 所带电量对空间电磁场的影响l 已知，g 为重力加速17度(1)求匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；(2)若小球 A、P 在斜面底端相遇，求释放小球 A 的
22、时刻 tA；(3)若小球 A、P 在时刻 tlg(为常数)相遇于斜面某处，求此情况下区域的匀强电场的场强 E，并讨论场强 E 的极大值和极小值及相应的方向18专题七专题七带电粒子在复合场中的运动带电粒子在复合场中的运动高考对该部分内容的考查主要是：(1)考查带电粒子在组合场中的运动问题；(2)考查带电粒子在复合场中的运动问题；(3)考查以带电粒子在组合场、复合场中的运动规律为工作原理的仪器在科学领域、生活实际中的应用知识点一、带电粒子在组合复合场中的运动知识点一、带电粒子在组合复合场中的运动“电偏转”和“磁偏转”的比较垂直进入磁场(磁偏转)垂直进入电场(电偏转)情景图受力FBqv0B 大小不变
23、，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力FEqE，FE大小、方向不变，为恒力运动规律匀速圆周运动rmv0Bq，T2mBq类平抛运动vxv0，vyEqmtxv0t，yEq2mt2运动时间t2TmBqtLv0，具有等时性动能不变变化知识点二、带电粒子在叠加复合场中的运动知识点二、带电粒子在叠加复合场中的运动19高频考点一高频考点一带电粒子在叠加场中的运动分析带电粒子在叠加场中的运动分析例 1、 （2018 年全国 II 卷） 一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在 xoy 平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与 y 轴垂直，宽度为 l，磁感应强度的大小为 B，方向垂直于 xoy 平
24、面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为 ，电场强度的大小均为 E，方向均沿 x 轴正方向；M、N 为条形区域边界上的两点，它们的连线与 y 轴平行。一带正电的粒子以某一速度从 M 点沿 y 轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从 M 点入射的速度从 N 点沿 y 轴正方向射出。不计重力。（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；（2）求该粒子从 M 点射入时速度的大小；（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与 x 轴正方向的夹角为 ，求该粒子的比荷及其从 M 点运动到 N 点的时间。【答案】 （1）轨迹图如图所示：20（2）（3）;【解析】 （1）粒子在电场中做类平抛，然后进入磁场做圆周运
25、动，再次进入电场做类平抛运动，结合相应的计算即可画出轨迹图。（2）在电场中要分两个方向处理问题，一个方向做匀速运动，一个方向做匀加速运动。（3）在磁场中的运动关键是找到圆心，求出半径，结合向心力公式求解。（1）粒子运动的轨迹如图（a）所示。 （粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称）（2）粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从 M 点射入时速度的大小为 v0，在下侧电场中运动的时间为 t，加速度的大小为 a；粒子进入磁场的速度大小为 v，方向与电场方向的夹角为 （见图（b） ） ，速度沿电场方向的分量为 v1，根据牛顿第二定律有qE=ma式中 q 和 m 分别为粒子
26、的电荷量和质量，由运动学公式有v1=at21粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为 R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得由几何关系得联立式得（3）由运动学公式和题给数据得联立式得设粒子由 M 点运动到 N 点所用的时间为 ，则式中 T 是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，由式得【方法技巧】带电粒子在叠加场中运动的处理方法1弄清叠加场的组成特点2正确分析带电粒子的受力及运动特点3画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止例如电场与磁场中满足 qEqvB；重力场与磁场中满足 mgqvB；重力场与电场中满足 mgqE.(2)若三场共
27、存时，合力为零，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力 FqvB 的方向与速度 v 垂直22(3)若三场共存时，粒子做匀速圆周运动，则有 mgqE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvBmv2r.(4)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解【变式探究】如图 1 所示，位于竖直平面内的坐标系 xOy，在其第三象限空间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B0.5 T，还有沿 x 轴负方向的匀强电场，场强大小为 E2 N/C.在其第一象限空间有沿 y 轴负方向的、场强大小也为 E 的匀强电场，并在 yh0.4 m 的区域有磁感应强度也为 B 的
28、垂直于纸面向里的匀强磁场一个带电荷量为 q 的油滴从图中第三象限的 P 点得到一初速度，恰好能沿 PO 做匀速直线运动(PO 与 x 轴负方向的夹角为45)，并从原点 O 进入第一象限已知重力加速度 g10 m/s2，问：图 1(1)油滴在第三象限运动时受到的重力、电场力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油滴带何种电荷；(2)油滴在 P 点得到的初速度大小；(3)油滴在第一象限运动的时间【解析】(1)结合平衡条件判断油滴所受电场力的方向和洛伦兹力的方向，进而判断油滴的电性，对油滴受力分析后采用合成法作图，由几何关系得出三力之比；(2)根据油滴在垂直直线方向上应用平衡条件列方程求得速度大小；(3)
29、进入第一象限，由于重力等于电场力，在电场中做匀速直线运动，在混合场中做匀速圆周运动，作出运动轨迹，结合磁场中圆周运动的周期公式即运动的对称性确定运动总时间(1)根据受力分析(如图)可知油滴带负电荷，设油滴质量为 m，由平衡条件得：mgqEF11 2.(2)由第(1)问得：mgqEqvB 2qE解得：v2EB4 2 m/s.(3)进入第一象限，电场力和重力平衡，知油滴先做匀速直线运动，进入 yh 的区域后做匀速圆周运动，23轨迹如图，最后从 x 轴上的 N 点离开第一象限由 OA 匀速运动的位移为 x1hsin 45 2h其运动时间：t1x1v2h2EBhBE0.1 s由几何关系和圆周运动的周期
30、关系式 T2mqB知，由 AC 的圆周运动时间为 t214TE2gB0.628 s由对称性知从 CN 的时间 t3t1在第一象限运动的总时间 tt1t2t320.1 s0.628 s0.828 s【答案】(1)11 2油滴带负电荷(2)4 2 m/s(3)0.828 s【变式探究】如图 2，水平地面上方有一底部带有小孔的绝缘弹性竖直挡板，板高 h9 m，与板上端等高处水平线上有一 P 点，P 点离挡板的距离 x3 m板的左侧以及板上端与 P 点的连线上方存在匀强磁场和匀强电场磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度 B1 T；比荷大小qm1.0 C/kg 可视为质点的小球从挡板下端处小孔以不同的速度水
31、平射入场中做匀速圆周运动，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电量不变，小球最后都能经过位置 P，g10 m/s2，求：图 2(1)电场强度的大小与方向；(2)小球不与挡板相碰运动到 P 的时间；(3)要使小球运动到 P 点时间最长应以多大的速度射入？【答案】(1)10 N/C，方向竖直向下(2)arcsin35(s)(3)3.75 m/s【解析】(1)由题意可知，小球带负电，因小球做匀速圆周运动，有：Eqmg得：Emgq10 N/C，方向竖直向下(2)小球不与挡板相碰直接到达 P 点轨迹如图：24有：(hR)2x2R2得：R5 m设 PO 与挡板的夹角为，则 sin xR35小
32、球做圆周运动的周期 T2mqB设小球做圆周运动所经过圆弧的圆心角为，则 tmqB运动时间 tarcsin35mqBarcsin35(s)(3)因速度方向与半径垂直，圆心必在挡板上，设小球与挡板碰撞 n 次，有 Rh2n又 Rx，n 只能取 0,1.n0 时，(2)问不符合题意n1 时，有(3Rh)2x2R2解得：R13 m，R23.75 m轨迹如图，半径为 R2时运动时间最长洛伦兹力提供向心力：qvBmv2R2得：v3.75 m/s.高频考点二高频考点二带电粒子在组合场中的运动分析带电粒子在组合场中的运动分析例 2、 （2018 年天津卷）如图所示，在水平线 ab 的下方有一匀强电场，电场强度
33、为 E，方向竖直向下，ab 的上方存在匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里，磁场中有一内、外半径分别为 R、的半圆环形区域，外圆与 ab 的交点分别为 M、N。一质量为 m、电荷量为 q 的带负电粒子在电场中 P 点静止释25放，由 M 进入磁场，从 N 射出，不计粒子重力。（1）求粒子从 P 到 M 所用的时间 t；（2）若粒子从与 P 同一水平线上的 Q 点水平射出，同样能由 M 进入磁场，从 N 射出，粒子从 M 到 N的过程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在 Q 时速度的大小。【答案】 （1）（2）【解析】粒子在磁场中以洛伦兹力为向心力做圆周运动，在电场中做初
34、速度为零的匀加速直线运动，据此分析运动时间；粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，当轨迹与内圆相切时，所有的时间最短，粒子从 Q 射出后在电场中做类平抛运动，在电场方向上的分运动和从 P 释放后的运动情况相同，所以粒子进入磁场时沿竖直方向的速度同样为 v，结合几何知识求解（1）设粒子在磁场中运动的速度大小为 v，所受洛伦兹力提供向心力，有设粒子在电场中运动所受电场力为 F，有 F=qE；设粒子在电场中运动的加速度为 a，根据牛顿第二定律有 F=ma；粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有 v=at；联立式得；（2）粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，其周期与速度、半径无关，运动时间只由粒子所通
35、过的圆弧所对的圆心角的大小决定，故当轨迹与内圆相切时，所有的时间最短，设粒子在磁场中的轨迹半径为 ，由几何关系可得26设粒子进入磁场时速度方向与 ab 的夹角为，即圆弧所对圆心角的一半，由几何关系知；粒子从 Q 射出后在电场中做类平抛运动，在电场方向上的分运动和从 P 释放后的运动情况相同，所以粒子进入磁场时沿竖直方向的速度同样为 v，在垂直于电场方向的分速度等于为，由运动的合成和分解可得联立式得【变式探究】【2017江苏卷】一台质谱仪的工作原理如图所示大量的甲、乙两种离子飘入电压为 U0的加速电场，其初速度几乎为 0，经过加速后，通过宽为 L 的狭缝 MN 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度
36、为 B 的匀强磁场中，最后打到照相底片上已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为 2m 和 m，图中虚线为经过狭缝左、右边界 M、N 的甲种离子的运动轨迹不考虑离子间的相互作用（1）求甲种离子打在底片上的位置到 N 点的最小距离 x；（2）在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度 d；（3）若考虑加速电压有波动，在（0UU）到（0UU ）之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度 L 满足的条件【答案】（1）04mUxLBq（2）2002424mUmULdBqqB（3）0022 ()2()mLUUUUBq【解析】 （1）设甲种离子在磁场中的运
37、动半径为 r1电场加速20122qUmv且212vqvBmr解得012mUrBq根据几何关系 x =2r1 L解得04mUxLBq（2）（见图） 最窄处位于过两虚线交点的垂线上272211()2Ldrr解得2002424mUmULdBqqB（3）设乙种离子在磁场中的运动半径为r2r1的最小半径01min()2m UUrBqr2 的最大半径02max2 ()1m UUrBq由题意知 2r1min2r2max L，即00()2 ()42m UUm UULBqBq解得0022 ()2()mLUUUUBq【方法技巧】设带电粒子在组合场内的运动实际上也是运动过程的组合，解决方法如下：(1)分别研究带电粒
38、子在不同场区的运动规律在匀强磁场中做匀速圆周运动在匀强电场中，若速度方向与电场方向平行，则做匀变速直线运动；若速度方向与电场方向垂直，则做类平抛运动(2)带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系处理(3)当粒子从一个场进入另一个场时，分析转折点处粒子速度的大小和方向往往是解题的突破口【变式探究】如图 3 所示，足够大的平行挡板 A1、A2竖直放置，间距为 6L.两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域和，以水平面 MN 为理想分界面区的磁感应强度为 B0，方向垂直纸面向外，A1、A2上各有位置正对的小孔 S1、S2，两孔与分界面 MN 的距离为 L.质量为 m、电量为q 的粒子经宽度为
39、d 的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从 S1进入区，并直接偏转到 MN 上的 P 点，再进入区P 点与 A1板的距离是 L 的 k 倍不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑28图 3(1)若 k1，求匀强电场的电场强度 E；(2)若 2k3，且粒子沿水平方向从 S2射出，求出粒子在磁场中的速度大小 v 与 k 的关系式和区的磁感应强度 B 与 k 的关系式【解析】(1)若 k1，则有 MPL，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系，该情况粒子的轨迹半径为RL粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，则有：qvB0mv2R粒子在匀强电场中加速，根据动能定理有：qEd12mv2综合上式解得：EqB20L2
40、2dm(2)因为 2k3，且粒子沿水平方向从 S2射出，该粒子运动轨迹如图所示，由几何关系：R2(kL)2(RL)2，又有 qvB0mv2R则整理解得：vqB0Lk2L2m又因为：6L2kL2x根据几何关系有：kLxRr又 qvBmv2r则区的磁感应强度 B 与 k 的关系：BkB03k.【答案】(1)qB20L22dm(2)vqB0Lk2L2mBkB03k【变式探究】如图 4 所示的直角坐标 xOy 平面内有间距为 d，长度为2 33d 的平行正对金属板 M、N，29M 位于 x 轴上，OP 为过坐标原点 O 和极板 N 右边缘的直线，与 y 轴的夹角3，OP 与 y 轴之间及 y 轴右侧空
41、间中分别存在磁感应强度大小相等方向相反且均垂直于坐标平面的匀强磁场质量为 m、电荷量为 q的带正电粒子从 M 板左侧边缘以速度 v0沿极板方向射入，恰好从 N 板的右侧边缘 A 点射出进入磁场粒子第一次通过 y 轴时，速度与 y 轴负方向的夹角为6.不计粒子重力，求：图 4(1)极板 M、N 间的电压；(2)匀强磁场磁感应强度的大小；(3)粒子第二次通过 y 轴时的纵坐标值；(4)粒子从进入板间到第二次通过 y 轴时经历的时间【答案】(1)3mv202q(2)2mv0qd(3)2d(4)(4 376)dv0【解析】(1)粒子在 M、N 板间做类平抛运动，设加速度为 a，运动时间为 t1，则2
42、33dv0t1d12at21根据牛顿运动定律得 qUdma联立解得 U3mv202q.(2)设粒子经过 A 点时的速度为 v，方向与 x 轴的夹角为，根据动能定理，得 qU12mv212mv20cos v0v解得 v2v0，3设粒子第一次与 y 轴相交于 D 点，轨迹如图，由几何关系知 D 点与 A 点高度相等，C1DO 为等边三角形30Rd根据牛顿定律，得 qvBmv2R整理得 B2mv0qd.(3)粒子在 y 轴右侧空间的运动轨迹如图由几何关系知DE2Rcos d即 E 点的纵坐标为 yE2d.(4)粒子从 A 到 D 的时间t213T从 D 到 E 的时间 t356T而 T2mqBdv0
43、故 tt1t2t3(4 376)dv0.【举一反三】如图 5 所示，相距 3L 的 AB、CD 两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，其中 PT 上方的电场的场强方向竖直向下，PT 下方的电场的场强方向竖直向上，电场的场强大小是电场的场强大小的两倍，在电场左边界 AB 上有点 Q，PQ 间距离为 L.从某时刻起由 Q 以初速度 v0沿水平方向垂直射入匀强电场的带电粒子，电量为q、质量为 m.通过 PT 上的某点 R 进入匀强电场后从 CD 边上的 M 点水平射出，其轨迹如图，若 PR 两点的距离为 2L.不计粒子的重力试求：图 5(1)匀强电场的电场强度的大小和 MT 之间
44、的距离；(2)有一边长为 a、由光滑弹性绝缘壁围成的正三角形容器，在其边界正中央开有一小孔 S，将其置于CD 右侧且紧挨 CD 边界，若从 Q 点射入的粒子经 AB、CD 间的电场从 S 孔水平射入容器中欲使粒子在容器中与器壁多次垂直碰撞后仍能从 S 孔射出(粒子与绝缘壁碰撞时无机械能和电量损失)， 并返回 Q 点， 需在31容器中现加上一个如图所示的匀强磁场，粒子运动的半径小于12a，求磁感应强度 B 的大小应满足的条件以及从 Q 出发再返回到 Q 所经历的时间【答案】(1)mv20qL12L(2)B2mv012nqa，n1,2，6Lv06n1a22n1v0，n1,2，【解析】(1)设粒子经
45、 PT 直线上的点 R 由 E2电场进入 E1电场，由 Q 到 R 及 R 到 M 点的时间分别为 t2与 t1，到达 R 时竖直速度为 vy，则由 FqEma，2Lv0t2，Lv0t1，L12E2qmt22，E12E2，得 E1mv20qLvyE2qmt2E1qmt1MT12E1qmt21联立解得 MT12L.(2)欲使粒子仍能从 S 孔处射出，粒子运动的半径为 r，则qv0Bmv20r(12n)r12a，n1,2，解得：B2mv012nqa，n1,2，由几何关系可知 t3(2nT2T6)(3n12)Tn1,2,3T2Rv2mBq代入 B 得 Ta2n1v0，n1,2，t2t12t2t6Lv
46、06n1a22n1v0，n1,2，32高频考点三高频考点三带电粒子在周期性变化的电磁场中的运动分析带电粒子在周期性变化的电磁场中的运动分析例 3、如图 6 甲所示，在 xOy 平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿 y 轴正方向电场强度为正)在 t0 时刻由原点O 发射初速度大小为 v0，方向沿 y 轴正方向的带负电粒子图 6已知 v0、t0、B0，粒子的比荷为B0t0，不计粒子的重力求：(1)tt0时，求粒子的位置坐标；(2)若 t5t0时粒子回到原点，求 05t0时间内粒子距 x 轴的最大距离；(3)若粒子能够
47、回到原点，求满足条件的所有 E0值【解析】(1)由粒子的比荷qmB0t0，则粒子做圆周运动的周期 T2mB0q2t0(1 分)则在 0t0内转过的圆心角(2 分)由牛顿第二定律 qv0B0mv20r1(2 分)得 r1v0t0(1 分)位置坐标(2v0t0，0)(1 分)(2)粒子 t5t0时回到原点，轨迹如图所示r22r1(2 分)r1mv0B0qr2mv2B0q(1 分)33得 v22v0(1 分)又qmB0t0，r22v0t0(1 分)粒子在 t02t0时间内做匀加速直线运动，2t03t0时间内做匀速圆周运动，则在 05t0时间内粒子距 x轴的最大距离：hmv02v02t0r2(322)
48、v0t0.(2 分)(3)如图所示，设带电粒子在 x 轴上方做圆周运动的轨道半径为 r1，在 x 轴下方做圆周运动的轨道半径为 r2，由几何关系可知，要使粒子经过原点，则必须满足：n(2r22r1)2r1，(n1,2,3，)(1 分)r1mv0B0qr2mvB0q(1 分)联立以上各式解得 vn1nv0，(n1,2,3，)(1 分)又由 vv0E0qt0m(1 分)得 E0v0B0n，(n1,2,3，)(1 分)【答案】(1)(2v0t0，0)(2)(322)v0t0(3)v0B0n，(n1,2,3，)【变式探究】如图 7 甲所示，间距为 d、垂直于纸面的两平行板 P、Q 间存在匀强磁场取垂直
49、于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示t0 时刻，一质量为 m、带电量为q 的粒子(不计重力)， 以初速度 v0由 Q 板左端靠近板面的位置， 沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区 当B0和 TB取某些特定值时，可使 t0 时刻入射的粒子经t 时间恰能垂直打在 P 板上(不考虑粒子反弹)上述m、q、d、v0为已知量图 7(1)若t12TB，求 B0；(2)若t32TB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；34(3)若 B04mv0qd，为使粒子仍能垂直打在 P 板上，求 TB.【答案】(1)mv0qd(2)3v20d(3)d3v0或2arcsin14d2v0【解析】(
50、1)设粒子做圆周运动的半径为 R1，由牛顿第二定律得 qv0B0mv20R1据题意由几何关系得 R1d联立式得 B0mv0qd(2)设粒子做圆周运动的半径为 R2，加速度大小为 a，由圆周运动公式得 av20R2据题意由几何关系得 3R2d联立式得 a3v20d.(3)设粒子做圆周运动的半径为 R，周期为 T，由圆周运动公式得 T2Rv0由牛顿第二定律得qv0B0mv20R由题意知 B04mv0qd，代入式得d4R粒子运动轨迹如图所示，O1、O2为圆心，O1O2连线与水平方向的夹角为，在每个 TB内，只有 A、B 两个位置才有可能垂直击中 P 板，且均要求 02，由题意可知22TTB2设经历完