二次函数与全等相似.doc

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1、例1（本题12分）如图1，抛物线yax25ax4经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC（1） 求抛物线的解析式；（4分）（2）若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由；（4分）（3）如图2，将AOC沿x轴对折得到AOC1，再将AOC1绕平面内某点旋转180后得A1O1C2(A，O，C1分别与点A1，O1，C2对应)使点A1，C2在抛物线上，求A1，C2的坐标（4分）25（1）A（3，0），B（5，4），C（0，4），yx2x4(2分)（2）存在符合条件的点P，共有3个，以AB

2、为腰且顶角为A，P1（，）；以AB为腰且顶角为B，P2（，）；以AB为底，顶角为P，P3（，1）(6分)（3）对称轴与x轴的交点为对称中心，得C2（5，4），A1（8，0）(4分)1.如图平行四边形OABC,A点坐标为（2,0）抛物线yax2+bx+4经过点A、B、C三点，交轴于。求此抛物线的解析式。P是抛物线上一点且OBPODP,求P点坐标。直线MNx轴，交抛物线于N,交y轴负半轴于M,连线段BN、AM,BN交OD于E,得AMBN,求线段MN的长。25、（1）. 由平行四边形ABCO得BC=AO=2对称轴x=-=-1, b=2a D(-4,0)y=ax2+2ax+4过点D(-4,0) 0=1

3、6a-8a+4 . a=-y=-x2-x+4 (3分)（2）解:OBPODPBOP=DOPBOP=45或 135P在第二或第四象限的角平分线上.P的横坐标与纵坐标互为相反数. (5分)x+y=0又 y = -x2-x+4. x+y = -x2+4=0x1=2. x2=-2y1=-2 y2=2P(2,-2)或(-2,2) (7分)（3）解:设N(x,y) 则OM=-y,MN=-x MNx轴,AMBN = =(9分) 由得 = , =, y=(10分)又y=-x2-x+4=-x2-x+4 化简得x2+4x-4=0解得x1=2-2, x2=-2-2MN=-x=2+2 (12分)28. （2011江苏

4、淮安，26，10分）如图，已知二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B.(1)求此二次函数关系式和点B的坐标；(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，0= -42+4b+3，解得b=，此二次函数关系式为：y= -x2+x+3，点B的坐标为B(0,3).（2）在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得PAB是以AB为底的等腰三角形.理由如下：设点P(x，0)，x0，则根据下图和已知条件可得x2

5、+ 32=(4- x)2，解得x=，点P的坐标为P(,0).即，在x轴的正半轴上是否存在点P(,0)，使得PAB是以AB为底的等腰三角形.33. （2011山东东营，23，10分）(本题满分10分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0,2），点C（1,0），如图所示；抛物线经过点B。（1） 求点B的坐标；（2） 求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）过点B作BDx轴，垂足为D，BCD+ACO=90 ，AC

6、O+OAC =90；BCD=CAO； 又BDC=COA=90；CB=AC， BDCCAO=90，BD=OC=1，CD=OA=2；点B的坐标为(3,1)（2）抛物线经过点B(3,1)，则得 解得，所以抛物线的解析式为（3）假设存在点P，似的ACP是直角三角形:若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1 使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1Mx轴，如图（1）。CP1=BC，MCP1=BCD， P1MC=BDC=90，MCP1BCD CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（-1，-1）；经检验点P1（-1，-1）在抛物线为上； 若以AC为直角边， 点A为直角

7、顶点；则过点A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2Ny轴，如图（2）。同理可得AP2NCAO；NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（-2，1），；经检验点P2（-2，1）也在抛物线上；若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP3CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3Hy轴，如图（3）同理可得AP3HCAO；HP3=OA=2，AH=OC=1，可求得点P3（2，3），；经检验点P3（2，3）不抛物线上；故符合条件的点有P1（-1，-1），P2（-2，1）两个。35. （2011重庆市潼南,26,12分）如图,在

8、平面直角坐标系中，ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线来源:学科网交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）-1分二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5) -2分解得：b=-2 c=-3-3

9、分（2如题图：直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)直线AB的解析式为：y=x+1二次函数设点E(t， t+1),则F（t，） -4分EF= -5分 =当时，EF的最大值=点E的坐标为（，）-6分（3）如题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形 可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4） S=S+S =题备用图 = -9分如题备用图：)过点E作aEF交抛物线于点P,设点P(m,)则有： 解得:, ,）过点F作bEF交抛物线于，设（n，）则有： 解得： ，（与点F重合，舍去）综上所述：所有点P的坐标：，（. 能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形-12分14. (2011浙江绍兴，24

10、，14分)抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点.（1）如图1，求点的坐标及线段的长；（2）点在抛物线上，直线交轴于点，连接.若含45角的直线三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与重合，直角顶点在上，另一顶点在上，求直线的函数解析式；若含30角的直角三角板一个顶点与点重合，直角顶点在直线上，另一个顶点在上，求点的坐标. 第24题图2第24题图1【答案】解：（1）把代入得，点，为对称轴，.（2）如图1，过点作轴，交轴于点，过点作，交于点，四边形为矩形，四边形为正方形，为等腰直角三角形，设直线的函数解析式为，直线上两点的坐标为，代入求得，直线的函数解析式为.当点18. （2011浙江省嘉兴，2

11、4，14分）已知直线（0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1） 直接写出1秒时C、Q两点的坐标； 若以Q、C、A为顶点的三角形与AOB相似，求的值（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D（如图2）， 求CD的长； 设COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？ （第24题图2）（第24题图1）【答案】（1）C（1，2），Q（2，0）由题意得：P(t，0)，

12、C(t，3)，Q(3t，0)，分两种情形讨论：情形一：当AQCAOB时，AQC=AOB90，CQOA，CPOA，点P与点Q重合，OQ=OP，即3t=t，t=1.5情形二：当ACQAOB时，ACQ=AOB90，O=O3，AOB是等腰直角三角形，ACQ是等腰直角三角形，CQOA，AQ=2CP，即t =2（t 3），t=2满足条件的t的值是1.5秒或2秒(2) 由题意得：C(t，3)，以C为顶点的抛物线解析式是，由，解得x1=t，x2=t；过点D作DECP于点E，则DEC=AOB90，DEOA，EDC=OAB，DECAOB，AO=4，AB=5，DE=t（）=CD=CD=，CD边上的高=SCOD=SC

13、OD为定值；要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短因为当OCAB时OC最短，此时OC的长为，BCO90，AOB90，COP90BOCOBA，又CPOA，RtPCORtOAB，OP=，即t=，当t为秒时，h的值最大21. （2011湖南常德，26，10分）如图11，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）. （1）求抛物线的解析式；（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：CFE=AFE；O A B E 图 11D F C yx NM（3）在y轴上是否存在这样的点P，使AFP与FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明

14、理由.解：（1）抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，）的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则：解得 此抛物线的解析式为 （2）过点A作AMx轴，交FC于点M，交对称轴于点N.抛物线的解析式可变形为抛物线对称轴是直线x =4，顶点D的坐标为（4，2）.则AN=4.设直线AC的解析式为,则有，解得. 直线AC的解析式为当x=4时，点E的坐标为（4，4），点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，8）设直线FC的解析式为,则有，解得. 直线AC的解析式为AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.当y=6时，则有解得x=8.AM=8,MN=AMMN=4AN=MNFNAMANF=MNF又NF=

15、NFANFMNFCFE=AFE（3）C的坐标为（7，），F坐标为（4，8）又A的坐标为（0，6），则，又DF=6，若AFPDEFEFAO，则有PAF=AFE，又由（2）可知DFC=AFEPAF=DFC若AFP1FCD则,即,解得P1A=8.O P1=86=2P1的坐标为（0，2）.若AFP2FDC则,即,解得P2A=.O P2=6=.P2的坐标为（0，）.所以符合条件的点P的坐标不两个，分别是P1（0，2），P2（0，）.25（本题满分12分）如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；yxOABC（3）在（2）的

16、条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标25解：（1）抛物线经过，两点，yxOABCDE解得抛物线的解析式为（2）点在抛物线上，即，或点在第一象限，点的坐标为由（1）知设点关于直线的对称点为点yxOABCDEPF，且，点在轴上，且，即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）（3）方法一：作于，于由（1）有：，且，设，则，点在抛物线上，（舍去）或，yxOABCDPQGH方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于过点作于，又，由（2）知，直线的解析式为解方程组得点的坐标为5、（本题满分12分）己知抛物线与X轴交于A，B两点，（A在B的左侧），与Y轴交于C，若OBOC，且C（0,3）。求抛物线的解

17、析式设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APDACB，求点P的坐标在抛物线上是否存一点M，过M作MNx轴于N，以A、M、N为顶点的三角形与AOC相似，若存在，求出所有符合条件的M点坐标，若不存在，请说明理由。25、（1）yx24x3（2）P（2，2）或（2，2）（3）M1（），M2（6，5）M3（，）5、（本题12分）如图，已知直线y=2x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线过点C且与直线y=2x+2交于点A（5，12）。（1）求这个二次函数的解析式；（2）M为抛物线上x轴上方一点，若MCO与MOB的面积相等，求M点的坐标；（3）在线段AB上是否存在点P，过P作x轴的垂线交抛物

18、线于D点，使得以P、D、B为顶点的三角形与BOC相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。25.(1)可知：C（-1，0），A（5，12）抛物线解析式：（2）设M（a,b）SMCO=，SMOB=由SMCO= SMOB，得b=2|a|而可求：a0时，a=,M a0时，M（3）过B作x轴平行线，交抛物线于D1，过D1作D1P1BD1交AB于P1，则P1D1BBOC因为，所以设D1P1=2x, BD1=x,D1(x,2)在抛物线上，所以，P1()过B作BD2AB交抛物线于D2，作D2P2x轴交AB于P2，BD1于P2D2交于E则P2 B D2BOC，BP2=2BD2，设D2(a,a2-2x

19、-3),ED2=2-a2+2a+3，BE2=P2EED2，得a2=2a(5-a2+2a),所以,P2()25.（12分）如图1，直线ykx3k与x轴正半轴交于B，与y轴负半轴交于C，过B、C两点且对称轴为x1的抛物线与x轴负半轴交于A，已知tanABC1。（1）求抛物线的解析式。（2）已知M（0，R），问是否存在实数R，使AMBABC？若存在，求出R的值；若不存在，请说明理由。（3）如图2，直线（m0）交x轴于P，交y轴于N，交直线yt与E，当m无论取何值时，是否存在实数t，使下列两个结论：EPNP3CN；EPEN3CN中有且只有一个正确的，请选择正确的结论并求出满足条件的t值。25.（1）令

20、ykx3k0得 B（3，0）tanABC1 OBOC3 C（0，3）x1 A（1，0） 故易求出yx22x3（2）作抛物线的对称轴x1，交x轴于F，在x1上取O，使O的坐标为（1，2）故AFFBFO2 AOB为等腰直角三角形 AOB90，以O为圆心，OA为半径作圆交y轴于M，则AMBAOB45 作OSy轴于S，易求OS1 OAOM MS ，OM2M（0，2） 由对称性知M（0，2）也符合题意 R2或R2（3）存在实数t使正确易求N（0，）、P（m，0） 易证ONOCOP2 OPNOPC NPC90OCCNCP2 即3CNCP2分两种情况：当t0时，作yt交直线PN于E，连EC交x轴于Q EPN

21、P3CN EPNPCP2 NPC90 CPNCPE PCNPEC PCNOPNOPNPEC QPQE 故可得 QPQEQC 过E 作EFx轴于F OCQEFQ EFOC3 t3当t0时，过C作yt交直线PN于E 易证 EPNPCP2COCN3CNt3 综上：t325、（本题满分12分）已知，过（2，-3），与轴交于A(-1,0),B(，0)，交轴于C。(1) 求抛物线的解析式；(2)过点C作CDx轴，交抛物线于D，是否存直线y=kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部分，若存在，请求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若直线y=m(-3m0)与线段AC、BC分别交于D、E两点，则在轴上是否存

22、在点P，使得DPE为等腰Rt，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由。25、（本小题满分12分）解：（1）过（2，3），A(1,0), 4a+2b3=3,ab3=0,a=1,b=2.所以抛物线的解析式为：y=x22x3 （2）设直线y=kx+1与轴交于点E,于CD交于点F，A(1,0),B(3,0),E(),F();S四边形ACFE=(CF+AE)OC=(1); S四边形EFDB=(DF+BE)OC=(5);即(1)=(5), k=.(3) 存在点P。直线y=m与y轴交点为F（0，m）, F当DE为腰时，分别过D、E作 DP1轴于P1, 作EP2轴于P2；如图，则DP1E和D EP2 均

23、为等腰Rt，又DP1=DE= EP2=OF=-m，又AB=B-A=3+1=4，又ECDBCA，即，即m=；P1（，0），P2（，0）；当DE为底时，过P3作 GP3DE于G,，如图，又DG=GE= GP3=OF=-m，由ECDBCA，即m=；P3（，0）综上所述，P1（，0），P2（，0），P3（，0）。25、（12分）如图，在平面直角坐标系中，RtABO中，通过两次全等变换得到RtCOD，且B（0,2）、C（0,-1），抛物线，过A、C、D三点。 求抛物线的解析式。 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使POD的外心在OD上，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。 点E是抛物线的对称轴上一

24、点，若四边形AODE是菱形，求E点的坐标。25、 存在点P，使POD的外心在OD上。P点坐标为或。提示：设对称轴交轴于M点，交CD于N点，P（-1，t），运用RtPOMRtDNP，可得t（t+1）=1，。 点E的坐标为（-1，1），提示：过A点作对称轴的垂线，垂足为F，CD交对称轴于G，证AEFEDG。25、（12分）如图，已知抛物线与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于C点且OC=3OA，设抛物线的顶点为D。 求此抛物线的解析式。 在抛物线对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。 若平行于轴的直线与该抛物线交于M、N两

25、点（其中点M在点N的右侧），在轴上是否存在点Q，使MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。25、 P1（2,3） P2 Q1（1,0） 、 Q2（，0）、 Q3（-，0）、Q4（2+，0）、Q5（2-，0）25(本题满分12分) 如图抛物线经过A（1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B(1) 求此地物线的解析式； (2) 若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且MPQ=45，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与

26、抛物线交于点E，G，与(2)中的函数图象交于点F，H问四边形EFHG能否为平行四边形? 若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由 25、（本题满分12分）已知抛物线的图象经过点A(-3，6)，并与X轴交于点B(-1，0)和点C，顶点为P。(1)求抛物线的解析式。(2)如图，设D为线段OC上的一点，满足DPC=BAC，求点D的坐标。(3)设直线AC交y轴于S，直线CP交y轴于T，若点M为OT上一动点，过M点作MNy轴交SC延长成于N，在CT的延长线上截取TQ=SN，连结NQ交y轴于R，下面有两个结论：MR的长度不变；为定值。上述结论有且只有一个是正确的，请选择你认为正确的结论度证明求值。

27、 11：如图，抛物线yx2与坐标轴交于A、B、C三点，C、D两点关于原点对称。直线yx1与对称轴交于E点，求tanEDA。2、（四月调考25）抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于，为抛物线的顶点，直线轴，垂足为，. （1）求这个抛物线的解析式； （2）为直线上的一动点，以为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在轴上.若在轴上的直角顶点只有一个时，求点的坐标；3、（学知报4）如图1，抛物线ya4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MDx轴于点D，E是线段DM上一点，DE1，且DBEBMD。（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一点，且PBE是以BE为一条直角边的直角三角形，

28、请求出所有符合条件的P点的坐标；（3）如图2，N为线段MD上一个动点，以N为等腰三角形顶角顶点，NA为腰构造等腰NAG，且G点落在直线CM上，若在直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，求点N的坐标。5（2011成都）如图，在平面直角坐标系中，ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上已知，ABC的面积，抛物线经过A、B、C三点。 (1)求此抛物线的函数表达式； (2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正

29、方形的边长； (3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由7、如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等（1）求实数的值；（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由yOxCNBPMA（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由8、如图，已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（1，0），过点C的直线yx3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB5t，且0t1（1）填空：点C的坐标是_，b_，c_；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由