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1、非线性系统的分析 第七章第一页，本课件共有47页第一节第一节 非线性系统的基本概念非线性系统的基本概念线性控制系统线性控制系统线性控制系统线性控制系统：由线性元件组成，输入输出问具有叠加性和均匀性性质。由线性元件组成，输入输出问具有叠加性和均匀性性质。由线性元件组成，输入输出问具有叠加性和均匀性性质。由线性元件组成，输入输出问具有叠加性和均匀性性质。非线性控制系统：非线性控制系统：非线性控制系统：非线性控制系统：系系系系统统统统中中中中有有有有非非非非线线线线性性性性元元元元件件件件，输输输输入入入入输输输输出出出出间间间间不不不不具具具具有有有有叠叠叠叠加加加加性性性性和和和和均均均均匀匀匀
2、匀性性性性性质。性质。性质。性质。非本质非线性非本质非线性:能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。本质非线性本质非线性本质非线性本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性用小偏差线性化方法不能解决的非线性一、非线性系统基本概念一、非线性系统基本概念一、非线性系统基本概念一、非线性系统基本概念第二页，本课件共有47页二、典型非线性特性二、典型非线性特性特征特征：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随
3、输入信号变化而保持恒定。入信号变化而保持恒定。输入输入 输出输出放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限制等等。放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限制等等。1 1、饱和特性、饱和特性饱和特性对系统性能的影响饱和特性对系统性能的影响（1 1）使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有）使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有 利。利。（2 2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降第三页，本课件共有47页 输入输入 输出输出2、死区特性、死区特性（不灵敏区特性不灵敏区特性）特征：特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输当输入信号在
4、零位附近变化时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。各类液压阀的正重叠量；各类液压阀的正重叠量；系统的库伦摩擦；系统的库伦摩擦；测量变送装置的不灵敏区；测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区；调节器和执行机构的死区；弹簧预紧力；弹簧预紧力；等等。等等。死区特性对系统性能的影响：死区特性对系统性能的影响：（1）增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。（2）减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳性，减弱动态响应的振荡倾向第四页，本课件共有47页 输出输出 输入输入3、间隙特性、间隙特性特征：特征：元件开始运动元件开
5、始运动输入信号输入信号aaa以后，输出随输入线性变化。以后，输出随输入线性变化。元件反向运动元件反向运动保持在运动方向发生变化瞬间的输出值；保持在运动方向发生变化瞬间的输出值；输入反向变化输入反向变化2a2a，输出随输入线性变化。，输出随输入线性变化。输入输出之间具有多值关系输入输出之间具有多值关系第五页，本课件共有47页齿轮传动中的齿隙齿轮传动中的齿隙液压传动中的油隙液压传动中的油隙死区特性对系统性能的影响：死区特性对系统性能的影响：间隙间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。自持振荡。第六页，本课件共有47页 输入输入 输出输出 输出输
6、出 输入输入 输出输出 输入输入 输出输出 输入输入4、继电器特性、继电器特性理想继电器理想继电器 具有饱和死区的具有饱和死区的单值继电器单值继电器具有滞环的继电器具有滞环的继电器具有死区和滞环的继电器具有死区和滞环的继电器包含有死区、饱和、滞环特性包含有死区、饱和、滞环特性第七页，本课件共有47页具有死区和滞环的继电器的数学表达式具有死区和滞环的继电器的数学表达式第八页，本课件共有47页继电器特性对系统性能的影响继电器特性对系统性能的影响可利用继电控制实现快速跟踪。可利用继电控制实现快速跟踪。带死区的继电特性，将会增加系统的定位误带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影响
7、，类似于死区、差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果饱和非线性特性的综合效果第九页，本课件共有47页 输入输入 输出输出在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。5、非线性增益、非线性增益液压控制阀中的液压控制阀中的 圆形窗口；圆形窗口；阶梯形窗口；阶梯形窗口；分段斜面；分段斜面；等等。等等。大偏差时，具有较大增益大偏差时，具有较大增益加快系统响应。加快系统响应。小偏差时，具有较小增益小偏差时，具有较小增益提高零位附近的系统稳定性。提高零位附近的系统稳定性。第十页，本课件共有47页 输出输出 输入输入 输出输出 输入输入6、
8、滞环特性、滞环特性铁磁部件的元件铁磁部件的元件电液伺服阀中的力矩马达电液伺服阀中的力矩马达非单值非线性非单值非线性第十一页，本课件共有47页三、非线性系统的特点三、非线性系统的特点三、非线性系统的特点三、非线性系统的特点、系统的稳定性、系统的稳定性、系统的稳定性、系统的稳定性、系统的自持振荡、系统的自持振荡、频率响应畸变、频率响应畸变、系统共振、系统共振系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与初始状态有系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与初始状态有系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与初始状态有系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与初始状态有关。关。关。关。产生某一固定
9、振幅和频率的振荡产生某一固定振幅和频率的振荡产生一定数量的高次谐波的非周期函数、跳跃产生一定数量的高次谐波的非周期函数、跳跃振荡、倍频和分频振荡振荡、倍频和分频振荡不会产生线性系统那样的共振现象不会产生线性系统那样的共振现象不会产生线性系统那样的共振现象不会产生线性系统那样的共振现象第十二页，本课件共有47页第二节第二节 非线性特性的一种线性近似表示非线性特性的一种线性近似表示-描述函数描述函数针对一任意非线性系统，设输入针对一任意非线性系统，设输入x=Xsinx=Xsint,t,输出输出波形为波形为y(t)y(t)，则可以将，则可以将y(t)y(t)表示为富氏级数表示为富氏级数形式形式第十三
10、页，本课件共有47页对于奇对称函数对于奇对称函数第十四页，本课件共有47页 非非线线性特性的性特性的线线性化表示方法：以性化表示方法：以输输出出y(t)y(t)的基的基波分量近似地代替整个波分量近似地代替整个输输出。亦即略去出。亦即略去输输出的高次出的高次谐谐波，将波，将输输出表示出表示为为非非线线性性元元件件在在正正弦弦输输入入下下，其其输输出出也也是是一一个个同同频频率率的的正正弦弦量量，只只是是振振幅幅和和相相位位发发生生了了变变化化。这这与与线线性性元元件件在在正正弦弦信信号号作作用用下下的输出具有形式上的相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。的输出具有形式上的相似性，故称上述近似处理
11、为谐波线性化。一一般般高高次次谐谐波波的的振振幅幅小小于于基基波波的的振振幅幅，因因而而为为进进行行近近似似处处理理提供了可靠的物理基础。提供了可靠的物理基础。第十五页，本课件共有47页 描述函数法的定义是：输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量的复数比。其数学表达式为 第十六页，本课件共有47页第三节第三节 典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数理想继电器特性的描述函数理想继电器特性的描述函数傅氏展开傅氏展开斜对称、奇函数斜对称、奇函数A A0 0=A=An n=0=0第十七页，本课件共有47页饱和特性饱和特性死区特性死区特性死区饱和特性死区饱和特性第十八页，本课件共有47页
12、非线性增益I非线性增益II第十九页，本课件共有47页理想继电器特性死区继电器特性滞环继电器特性第二十页，本课件共有47页间隙、滞环特性间隙、滞环特性第二十一页，本课件共有47页1 1）单值非线性的描述函数是实数）单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函数是非单值非线性的描述函数是复数。复数。2 2）如果一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即）如果一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即 设设y y1 1、y y2 2、y y分别有分别有N N1 1(A)(A)、N N2 2(A)(A)、N(AN(A）非线性特性的描述函数的共同点非线性特性的描述函数的共同点第二十二页，本课件共有47页第四
13、节第四节 分析非线性系统的谐波平衡分析法分析非线性系统的谐波平衡分析法系统开环部分可分离为：系统开环部分可分离为：非线性环节非线性环节N(A)N(A)线性部分线性部分G(s)G(s)假定：假定：非线性环节非线性，即不是时间的函数；非线性环节非线性，即不是时间的函数；非线性环节特性是斜对称的；非线性环节特性是斜对称的；系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。类似传递函数类似传递函数谐波线性化方法谐波线性化方法非线性系统的频率特性法非线性系统的频率特性法第二十三页，本课件共有47页非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性(乃奎斯特判据乃奎斯特判据)若开环稳定，则闭环
14、稳若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是定的充要条件是G(jG(j)轨迹不包围轨迹不包围G G平面的平面的(-(-1,j0)1,j0)。负倒描述函数（描述函数负倒特性负倒描述函数（描述函数负倒特性)线性系统线性系统(-1,j0)?第二十四页，本课件共有47页 G(j G(j)与负倒描述函数相交与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡闭环系统出现自持振荡(极限环振荡极限环振荡)稳定稳定？不稳定？不稳定？振幅（振幅（A A）？）？频率频率()？设：系统开环的线性部分设：系统开环的线性部分G(jG(j)稳定稳定 G(j G(j)不包围负倒描述不包围负倒描述函数函数 闭环系统稳定闭环系统稳定 G(j G(
15、j)包围负倒描述函数包围负倒描述函数 闭环系统不稳定闭环系统不稳定第二十五页，本课件共有47页当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A A增大到增大到c c点时，点时，c c点点“(-1,j0)”(-1,j0)”被被G(j G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统不稳定；系统不稳定；振幅振幅A A继续增大；继续增大；不能返回到不能返回到a a。当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A A减小到减小到d d点，点，d d点点“(-1,j0)”(-1,j0)”未被未被G(j G(j )轨轨迹包围，系统稳定；迹包围，系统稳定；振幅振幅A A继续减小；继续减小；不能返回到不能返回到a a。a a点为不稳定自振交点。点为
16、不稳定自振交点。分析法分析法 微小扰动微小扰动第二十六页，本课件共有47页当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A A增大到增大到e e点时，点时，e e点点“(-1,j0)”(-1,j0)”未被未被G(j G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统稳定；系统稳定；振幅振幅A A减小；减小；返回到返回到b b。当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A A减小到减小到f f点，点，f f点点“(-1,j0)”(-1,j0)”被被G(j G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统不稳定；系统不稳定；振幅振幅A A增大；增大；返回到返回到b b。b b点为稳定自振交点。点为稳定自振交点。第二十七页，本课件共有47页具有饱和特性
17、的非线性系统具有饱和特性的非线性系统A Aa a 时时A A 时时负倒描述函数轨迹负倒描述函数轨迹=实轴上（实轴上（-1/k1/k,-),-)。G G1 1(j(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交轨迹不与负倒描述函数轨迹相交不存在自持振荡不存在自持振荡G G2 2(j(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交轨迹与负倒描述函数轨迹相交b b点点:稳定自振交点稳定自振交点 b b A Ab b第二十八页，本课件共有47页具有死区特性的非线性系统具有死区特性的非线性系统A Aa a 时时A A 时时负倒描述函数轨迹负倒描述函数轨迹=实轴上（实轴上（-,-1/k)-,-1/k)。G G1 1(j(j)轨迹不与负
18、倒描述函数轨迹相交轨迹不与负倒描述函数轨迹相交不存在自持振荡不存在自持振荡G G2 2(j(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交轨迹与负倒描述函数轨迹相交b b点点:不稳定自振交点不稳定自振交点第二十九页，本课件共有47页具有间隙特性的非线性系统具有间隙特性的非线性系统负倒描述函数为负倒描述函数为 G G平面上一条曲线。平面上一条曲线。A A 时时G G1 1(j(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相轨迹不与负倒描述函数轨迹相交交不存在自持振荡不存在自持振荡G G2 2(j(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交轨迹与负倒描述函数轨迹相交b b点点:稳定自振交点稳定自振交点 b b A Ab b第三十页，本课件共
19、有47页具有间隙特性的非线性系统具有间隙特性的非线性系统负倒描述函数为负倒描述函数为 G G平面上一条曲线。平面上一条曲线。A A 时时G G1 1(j(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹轨迹不与负倒描述函数轨迹相交相交不存在自持振荡不存在自持振荡G G2 2(j(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相轨迹与负倒描述函数轨迹相交交b b点点:稳定自振交点稳定自振交点 b b A Ab b第三十一页，本课件共有47页具有滞环继电器特性的非线性系统具有滞环继电器特性的非线性系统负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。3 3）单边滞环宽度）单边滞环宽度 h h增加
20、增加 负倒描述函数轨迹向下移动负倒描述函数轨迹向下移动 自持振荡频率将低，振幅增大自持振荡频率将低，振幅增大2 2）如有数个交点）如有数个交点 必有稳定的自振交点必有稳定的自振交点1 1）如只有一个交点）如只有一个交点 必为稳定的自振交点必为稳定的自振交点h h2 2hh1 1第三十二页，本课件共有47页试求：试求：当当K K1010时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的振幅和频率；自持振荡的振幅和频率；当当K K为何值时，系统处于稳定边界状态。为何值时，系统处于稳定边界状态。非线性饱和特性参数非线性饱和特性参数 a=1 a=1、k=2k
21、=2非线性分析举例非线性分析举例非线性分析举例非线性分析举例第三十三页，本课件共有47页相交于稳定自振交点相交于稳定自振交点m mA Aa a 时时A A 时时负倒描述函数轨迹为实轴上（负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5-0.5，-)-)。第三十四页，本课件共有47页a/A=0.24A=4.38A=4.38非线性饱和特性参数非线性饱和特性参数 a=1 a=1、k=2k=2稳定自振交点稳定自振交点m:m:第三十五页，本课件共有47页临界状态下，轨迹在负实轴上的交点临界状态下，轨迹在负实轴上的交点n nK=3第三十六页，本课件共有47页非线性系统的校正！非线性系统的校正！改变改变G(j G(j )
22、可使系统性能改变！可使系统性能改变！改变改变N(A)N(A)同样可以使系统性能改变！同样可以使系统性能改变！第五节第五节 非线性系统性能改进及非线性应用非线性系统性能改进及非线性应用第三十七页，本课件共有47页一、非线性校正基本结构一、非线性校正基本结构串联结构串联结构串联结构串联结构并联结构并联结构反馈结构反馈结构反馈结构反馈结构第三十八页，本课件共有47页两个非线环节并联使非线性特性发生改变示例两个非线环节并联使非线性特性发生改变示例第三十九页，本课件共有47页二、非线性特性的应用二、非线性特性的应用非线性阻尼控制非线性阻尼控制非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的非线性因素
23、对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的引入非线性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线的引入非线性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线的引入非线性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线的引入非线性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果性系统无法实现的效果性系统无法实现的效果性系统无法实现的效果第四十页，本课件共有47页非线性阻尼下的阶跃响应非线性阻尼下的阶跃响应非线性阻尼下的阶跃响应非线性阻尼下的阶跃响应未引入微分反馈未引入微分反馈引入微分反馈引入
24、微分反馈引入微分反馈引入微分反馈非线性阻尼非线性阻尼第四十一页，本课件共有47页K试分析系统稳定性；试分析系统稳定性；如果系统出现自持振荡，如何消除之？如果系统出现自持振荡，如何消除之？K K2020，死区继电器特性，死区继电器特性M M3 3，a al l。三、改善非线性系统性能举例三、改善非线性系统性能举例第四十二页，本课件共有47页Aa=1A G(jG(j)轨迹与负实轴交点频率值轨迹与负实轴交点频率值G(jG(j)轨迹与负倒描述函数有两个交点：轨迹与负倒描述函数有两个交点：aa不稳定自振交点不稳定自振交点bb稳定自振交点稳定自振交点第四十三页，本课件共有47页a a不稳定自振交点不稳定自
25、振交点bb稳定自振交点稳定自振交点A11.11A22.3如要求稳定如要求稳定第四十四页，本课件共有47页1 1）改变）改变G(j G(j )调整调整K KK第四十五页，本课件共有47页2 2）改变）改变N(A):N(A):调整死区继电器特性的死区调整死区继电器特性的死区a a或输出幅值或输出幅值M M取取a=1a=1、M=2M=2第四十六页，本课件共有47页小小 结结、非线性系统的基本概念、非线性系统的基本概念、典型非线性、典型非线性、描述函数的概念和典型非线性的描述函数、描述函数的概念和典型非线性的描述函数、描述函数分析方法、描述函数分析方法描述函数法的核心是计算非线性特性的描述函数和它的负倒描述函数法的核心是计算非线性特性的描述函数和它的负倒特性分析系统的稳定性和自持振荡。特性分析系统的稳定性和自持振荡。、非线性的应用和非线性校正。、非线性的应用和非线性校正。第四十七页，本课件共有47页