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1、第六章线性离散系统分析第一页，本课件共有94页连续控制系统：连续控制系统：控制系统中的所有信号都是连控制系统中的所有信号都是连控制系统中的所有信号都是连控制系统中的所有信号都是连续型的时间函数续型的时间函数离散控制系统：离散控制系统：控制系统中有一处或几处信号控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，它们仅在离散的时刻有定是一串脉冲或数码，它们仅在离散的时刻有定是一串脉冲或数码，它们仅在离散的时刻有定是一串脉冲或数码，它们仅在离散的时刻有定义义 采样控制系统：采样控制系统：系统中的离散信号是脉冲序系统中的离散信号是脉冲序 列形式的离散系统称为采样控制系统或脉冲列形式的离散系统称为采样控制系统
2、或脉冲列形式的离散系统称为采样控制系统或脉冲列形式的离散系统称为采样控制系统或脉冲 控制系统。控制系统。数字控制系统：数字控制系统：离散信号是数字序列形式的离散信号是数字序列形式的 离散系统称为数字控制系统或计算机控制系离散系统称为数字控制系统或计算机控制系 统。统。统。统。第二页，本课件共有94页6-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念一、采样控制系统一、采样控制系统炉温采样控制系统炉温采样控制系统第三页，本课件共有94页原理：原理：只有当检流计的指针与电位器接触时，电动机才在采样信号作用下产生运动，进行炉温调节，而在检流计与电位器脱开时，电动机就停止不动，保持一定的阀门开度，等待炉温缓
3、慢变化。在采样控制情况下，电动机时转时停，所以在调节过程中超调现象大为减少，使动态性能得到改善。第四页，本课件共有94页电位器的输出电压电位器的输出电压电位器的输出电压电位器的输出电压第五页，本课件共有94页模拟信号：模拟信号：时间上和幅值上都连续的信号，称为时间上和幅值上都连续的信号，称为模拟信号。通常，测量元件、执行元件和被控对模拟信号。通常，测量元件、执行元件和被控对象是模拟元件。象是模拟元件。离散模拟信号：离散模拟信号：时间上离散而幅值上连续的信号，时间上离散而幅值上连续的信号，称为离散模拟信号。控制器中的脉冲元件，其输入称为离散模拟信号。控制器中的脉冲元件，其输入和输出为脉冲信号。和
4、输出为脉冲信号。为了使两种信号在系统中能相互传递，在连续信号为了使两种信号在系统中能相互传递，在连续信号和脉冲序列之间要用和脉冲序列之间要用采样器采样器，而在脉冲序列和连，而在脉冲序列和连续信号之间要用续信号之间要用保持器保持器，以实现两种信号的转换。，以实现两种信号的转换。采样器和保持器，是采样控制系统中两个特殊环采样器和保持器，是采样控制系统中两个特殊环节。节。第六页，本课件共有94页 采样器：采样器：把连续信号转变为脉冲信号的过程称把连续信号转变为脉冲信号的过程称为采样过程，实现该过程的装置称为为采样过程，实现该过程的装置称为采样器或采样器或采样开关采样开关。采样器的采样过程可以用一个周
5、期。采样器的采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关形象地表示。性闭合的采样开关形象地表示。信号采样过程信号采样过程*表示离散化表示离散化第七页，本课件共有94页 在实际应用中，采样开关均为电子开关，闭合在实际应用中，采样开关均为电子开关，闭合时间极短，采样持续时间时间极短，采样持续时间远远小于采样周期远远小于采样周期T，也远远小于系统连续部分的最大时间常数，也远远小于系统连续部分的最大时间常数，为了简化系统的分析，可以认为为了简化系统的分析，可以认为趋于趋于0。实现。实现这种采样过程的采样器称为这种采样过程的采样器称为理想的采样器理想的采样器或理或理想的采样开关。想的采样开关。理想的采样过程理
6、想的采样过程理想的采样过程理想的采样过程第八页，本课件共有94页 保持器：保持器：把脉冲序列转变为连续信号的装置称把脉冲序列转变为连续信号的装置称为保持器。最常用的保持器是为保持器。最常用的保持器是零阶保持器零阶保持器，它，它是把前一采样时刻是把前一采样时刻nT的采样值，恒定不变地的采样值，恒定不变地保持到下一个采样时刻保持到下一个采样时刻(n+1)T,从而使采样信从而使采样信号号f*(t)变成阶梯信号变成阶梯信号fh(t)。第九页，本课件共有94页采样系统的典型结构图采样系统的典型结构图第十页，本课件共有94页二、计算机控制系统二、计算机控制系统环形炉压力控制系统环形炉压力控制系统第十一页，
7、本课件共有94页 数字信号：数字信号：当用计算机作为控制系统中的一个当用计算机作为控制系统中的一个环节时，计算机的输入和输出只能是二进制编环节时，计算机的输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即码的数字信号，即时间上和幅值上都离散的信时间上和幅值上都离散的信号。号。而系统中的模拟元件，例如被控对象或测量而系统中的模拟元件，例如被控对象或测量元件的输入和输出是连续信号。所以在计算机元件的输入和输出是连续信号。所以在计算机控制系统中需要应用控制系统中需要应用A/D和和D/A转换器转换器，来实，来实现两种信号的转换，他们是计算机控制系统中现两种信号的转换，他们是计算机控制系统中的两个特殊环节。的两个
8、特殊环节。A-Analog signals,D-Digital signals。第十二页，本课件共有94页 A/D转换器：转换器：把连续的模拟信号转换成离散数把连续的模拟信号转换成离散数字信号字信号 A/D转换过程可以用周期为转换过程可以用周期为T的的理想采样开关理想采样开关表示表示 A/D转换过程转换过程第十三页，本课件共有94页 D/A转换器：转换器：把离散的数字信号转换成连续的把离散的数字信号转换成连续的模拟信号。模拟信号。D/A转换过程可以用转换过程可以用零阶保持器零阶保持器取代。取代。D/A转换过程转换过程第十四页，本课件共有94页计算机控制系统的典型结构图计算机控制系统的典型结构图
9、无论计算机控制系统还是采样控制系统均为离无论计算机控制系统还是采样控制系统均为离散控制系统，以后介绍的分析方法对这两种系散控制系统，以后介绍的分析方法对这两种系统都适用。统都适用。第十五页，本课件共有94页6-2 信号采样与保持信号采样与保持一、采样过程的数学描述一、采样过程的数学描述 1.采样过程的数学表示采样过程的数学表示 从物理意义来看，采样过程可以理解从物理意义来看，采样过程可以理解为脉冲调制过程。在这里，采样开关起着为脉冲调制过程。在这里，采样开关起着单位脉冲发生器的作用，它好似一个脉冲单位脉冲发生器的作用，它好似一个脉冲调制器，通过它将连续函数调制器，通过它将连续函数f(t)调制成
10、理想调制成理想的脉冲序列的脉冲序列f*(t)。第十六页，本课件共有94页采样的脉冲调制过程采样的脉冲调制过程第十七页，本课件共有94页2.采样信号的拉普拉斯变换采样信号的拉普拉斯变换 对采样信号进行拉氏变换，可得对采样信号进行拉氏变换，可得 根据拉氏变换的位移定理，有根据拉氏变换的位移定理，有 所以，采样信号的拉氏变换所以，采样信号的拉氏变换 第十八页，本课件共有94页二、采样周期的选择二、采样周期的选择 采样周期采样周期T选得越小，即采样频率选得越小，即采样频率ws选选得越高，对控制过程信息了解得越多，控得越高，对控制过程信息了解得越多，控制效果也越好。但是，采样周期制效果也越好。但是，采样
11、周期T选得过短，选得过短，将给计算机增加不必要的负担。另外，采将给计算机增加不必要的负担。另外，采样频率太高，干扰对系统的影响也明显上样频率太高，干扰对系统的影响也明显上升。升。反之，反之，T选得过长又会给控制过程带来选得过长又会给控制过程带来较大的误差，降低系统的动态性能，而且较大的误差，降低系统的动态性能，而且有可能导致整个系统的不稳定。有可能导致整个系统的不稳定。第十九页，本课件共有94页工程实践表明，随动系统的采样频率可选为工程实践表明，随动系统的采样频率可选为 ws=10wcwc为开环系统的截止频率。为开环系统的截止频率。从时域性能指标来看，采样周期可按如下经验公式从时域性能指标来看
12、，采样周期可按如下经验公式选取：选取：第二十页，本课件共有94页三、零阶保持器三、零阶保持器 零阶保持器的作用是把零阶保持器的作用是把nT时刻的采样值一直时刻的采样值一直保持到下一个时刻保持到下一个时刻(n+1)T出现前的瞬间，从出现前的瞬间，从而使采样信号变成阶梯信号。而使采样信号变成阶梯信号。第二十一页，本课件共有94页即：即：gh(t)=1(t)-1(t-T)零阶保持器的传递函数为：零阶保持器的传递函数为：gh(t)-1(t-T)1(t)+TTttt000第二十二页，本课件共有94页6-3 Z变换理论变换理论通过通过Z变换处理后的离散系统，可以把连续系统中的变换处理后的离散系统，可以把连
13、续系统中的许多方法，例如稳定性分析、稳态误差计算、时间响许多方法，例如稳定性分析、稳态误差计算、时间响应等，经过适当改变后直接用于离散系统的分析和设应等，经过适当改变后直接用于离散系统的分析和设计中。计中。连续系统连续系统的分析工具的分析工具微分方程及拉氏变换微分方程及拉氏变换离散系统离散系统的分析工具的分析工具差分方程及差分方程及Z变换变换第二十三页，本课件共有94页拉氏变换拉氏变换定义定义 的的Z变换，记做变换，记做:为了书写方便，记做：为了书写方便，记做：一、一、Z变换变换定义：定义：f(t)的采样函数的采样函数第二十四页，本课件共有94页1.级数求和法级数求和法 直接根据直接根据Z变换
14、的定义由变换的定义由f(t)求求F(Z)Z变换的求法：变换的求法：求离散时间函数的求离散时间函数的Z变换有多种方法，变换有多种方法，下面主要介绍两种：下面主要介绍两种：例例1 求单位阶跃函数求单位阶跃函数1(t)的的Z变换。变换。解：因为单位阶跃函数在任何采样时刻的值均解：因为单位阶跃函数在任何采样时刻的值均为为1，所以，所以f(nT)=1 n=0,1,2,第二十五页，本课件共有94页 代入公式后，代入公式后，当当 时，上式的无穷级数是收敛的，利用时，上式的无穷级数是收敛的，利用等比级数求和的公式可以把它写成闭式。等比级数求和的公式可以把它写成闭式。第二十六页，本课件共有94页例例2 求指数函
15、数求指数函数e-at的的Z变换。变换。当当 时，上式的无穷级数也是收敛时，上式的无穷级数也是收敛的。于是求得的。于是求得e-at的的Z变换为：变换为：解：令解：令t=nT,则指数函数则指数函数e-anT在各采样时刻的在各采样时刻的值为值为代入公式得：代入公式得：第二十七页，本课件共有94页 2.部分分式法部分分式法用部分分式法求用部分分式法求Z变换，是已知连续函数变换，是已知连续函数f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s),求该连续函数的求该连续函数的Z变换变换F(z)。f*(t)f(t)F(s)F(z)采样L-1Z部分分式部分分式第二十八页，本课件共有94页例例 求求 的的Z变换变换解：将解：将
16、F(s)展开成部分分式展开成部分分式第二十九页，本课件共有94页序号序号 拉氏变换拉氏变换时间函数时间函数Z变换变换F(z)11(t)121/s1(t)31/s2t41/s35e-at6at/T常用函数的常用函数的Z变换表变换表第三十页，本课件共有94页二、二、Z变换的基本性质变换的基本性质 原函数线性组合的原函数线性组合的Z变换，等于各原函变换，等于各原函数数Z变换的线性组合变换的线性组合1.线性定理线性定理 常数可以提到常数可以提到Z变换符号的外面；变换符号的外面；第三十一页，本课件共有94页2.实域位移定理实域位移定理若若 ,则超前定理变成则超前定理变成 延迟定理延迟定理 原函数在实域中
17、延迟原函数在实域中延迟n个采样周个采样周期的期的Z变换，等于象函数乘以变换，等于象函数乘以z-n，即，即超前定理超前定理 原函数在时域中超前原函数在时域中超前n个采样周期个采样周期的的Z变换为变换为第三十二页，本课件共有94页 由实域位移定理可以看到，算子由实域位移定理可以看到，算子z有明确的物有明确的物理意义。理意义。z-n代表时域中的代表时域中的延迟环节延迟环节，它把采，它把采样信号延迟样信号延迟n个采样周期。同样，个采样周期。同样，zn代表代表超前超前环节环节，它把采样信号超前，它把采样信号超前n个采样周期。个采样周期。第三十三页，本课件共有94页 3.复域位移定理复域位移定理原函数乘以
18、原函数乘以 的的Z变换，等于象函数的自变变换，等于象函数的自变量量z乘以乘以 4.初值定理初值定理若极限若极限 存在，则原函数的初值等于象存在，则原函数的初值等于象函数的终值，即：函数的终值，即：第三十四页，本课件共有94页 5.终值定理终值定理 若若f(nT)(n=0,1,2,)均为有限值，则原函数的均为有限值，则原函数的终值等于象函数乘以终值等于象函数乘以(1-z-1)当当z1时的值，时的值，即即 注意：注意：仅当极限仅当极限 存在时，才能应用存在时，才能应用Z变换的终值定理。终值定理是计算离散系统稳变换的终值定理。终值定理是计算离散系统稳态误差的重要定理。态误差的重要定理。第三十五页，本
19、课件共有94页三、三、Z反变换反变换 定义：定义：由由F(z)，求出时域的离散时间函数，求出时域的离散时间函数f*(t)，称为，称为Z反变换，记作反变换，记作Z反变换对应的脉冲序列惟一反变换对应的脉冲序列惟一 对应的时间函数不惟一对应的时间函数不惟一对应脉冲序列对应脉冲序列第三十六页，本课件共有94页 Z反变换的方法反变换的方法 1.长除法长除法式中分子、分母多项式的阶数满足式中分子、分母多项式的阶数满足n=m,多项式多项式系数系数b0,b1,bm;a1,an均为常数。通过对均为常数。通过对F(z)直接作长除法，可以得到按直接作长除法，可以得到按z-1升幂排列的幂级数升幂排列的幂级数展开式展开
20、式:第三十七页，本课件共有94页例例 试用长除法求试用长除法求的的Z反变换。反变换。解：将解：将F(z)的分子除以分母，得的分子除以分母，得第三十八页，本课件共有94页 T 2T 3T 4T 5TT 2T 3T 4T 5T1 1t t0 0第三十九页，本课件共有94页2.部分分式法部分分式法将将 展开成部分分式之和的形式：展开成部分分式之和的形式：第四十页，本课件共有94页例例1 用部分分式法求用部分分式法求的的Z反变换。反变换。查查Z变换表，得：变换表，得：解：解：第四十一页，本课件共有94页例例2 用部分分式法求用部分分式法求 的的Z反反变换。变换。第四十二页，本课件共有94页6-4 离散
21、系统的数学模型离散系统的数学模型 线性离散系统的数学模型有线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传差分方程、脉冲传递函数递函数。一、差分方程一、差分方程 1.差分差分 设连续函数为设连续函数为f(t)，其采样函数为，其采样函数为f(kT),简写成简写成f(k),它的一阶、二阶和它的一阶、二阶和n阶后向差阶后向差分的定义为：分的定义为：第四十三页，本课件共有94页一阶、二阶、一阶、二阶、n阶前向差分的定义为阶前向差分的定义为第四十四页，本课件共有94页 2.差分方程差分方程 由各阶差分所组成的方程为差分由各阶差分所组成的方程为差分方程。典型形式：方程。典型形式：例例1 1 将微分方程将微分方程
22、化为差分方程。化为差分方程。解：解：第四十五页，本课件共有94页将以上三式代入将以上三式代入第四十六页，本课件共有94页解：根据解：根据C(z)的表达式有的表达式有例例2 已知离散系统输出序列的已知离散系统输出序列的Z变换函数为变换函数为 求系统的差分方程。求系统的差分方程。对上式取对上式取Z反变换反变换,并根据延迟定理，得系统并根据延迟定理，得系统的差分方程的差分方程第四十七页，本课件共有94页 差分方程的解法差分方程的解法 1.迭代法迭代法迭代法迭代法Z变换法变换法例例 已知差分方程已知差分方程 输入序列为输入序列为r(kT)=1(k=0,1,2,),初始条件为初始条件为c(0)=0,试用
23、迭代法求解差分方程。试用迭代法求解差分方程。第四十八页，本课件共有94页解：解：k=0 c(1)=-0.2c(0)+2r(0)=2 k=1 c(2)=-0.2c(1)+2r(1)=1.6 k=2 c(3)=-0.2c(2)+2r(2)=1.68 k=3 c(4)=1.664 k=4 c(5)=1.6672 T 2T 3T 4T T 2T 3T 4T t t第四十九页，本课件共有94页2.Z变换法变换法 在连续系统中引入拉氏变换以后，使求解微分方在连续系统中引入拉氏变换以后，使求解微分方程变成了简单的代数运算。在离散系统中引入程变成了简单的代数运算。在离散系统中引入Z变变换以后，同样使求解差分方
24、程的问题变得十分简换以后，同样使求解差分方程的问题变得十分简便。便。用用Z变换求解差分方程的步骤是：变换求解差分方程的步骤是：(1)应用应用Z变换的实域位移定理，将时域的差分方变换的实域位移定理，将时域的差分方 程化为程化为Z域的代数方程，同时引入初始条件域的代数方程，同时引入初始条件;(2)求求Z域代数方程的解域代数方程的解;(3)将将Z域代数方程的解经域代数方程的解经Z反变换求得差分方程反变换求得差分方程 的时域解。的时域解。第五十页，本课件共有94页例例 解差分方程解差分方程解：对差分方程中的每一项进行解：对差分方程中的每一项进行Z变换，根变换，根据超前定理得据超前定理得:把每一项的把每
25、一项的Z变换代入差分方程，得：变换代入差分方程，得：第五十一页，本课件共有94页解出：解出：查表得查表得Z反变换，得反变换，得记住公式记住公式:第五十二页，本课件共有94页二、脉冲传递函数二、脉冲传递函数 在连续系统中是通过研究传递函数来研究系统在连续系统中是通过研究传递函数来研究系统动态特性的，在离散系统中则要通过研究脉冲动态特性的，在离散系统中则要通过研究脉冲传递函数来研究系统的动态特性，它是分析和传递函数来研究系统的动态特性，它是分析和设计离散系统的重要工具设计离散系统的重要工具.1.脉冲传递函数的基本概念脉冲传递函数的基本概念脉冲传递函数：脉冲传递函数：在零初始条件下，在零初始条件下，
26、输出脉冲序列的输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的变换与输入脉冲序列的Z变换之比，即变换之比，即第五十三页，本课件共有94页脉冲传递函数脉冲传递函数G(z)的几个性质的几个性质(1)它联系的只是输出、输入在各采样点上的函数它联系的只是输出、输入在各采样点上的函数关系关系,它表明了系统对脉冲序列的传递特性。它表明了系统对脉冲序列的传递特性。(2)脉冲传递函数与差分方程对应，反映了系统本脉冲传递函数与差分方程对应，反映了系统本身的动态特性，与输入序列的形式无关。身的动态特性，与输入序列的形式无关。(3)若已知若已知R(z)和和G(z),则在零初始条件下，系统输则在零初始条件下，系统输出的采样信号为
27、：出的采样信号为：第五十四页，本课件共有94页例例 设设 ，求，求G(z)2.由由G(s)求求G(z)的方法的方法 脉冲传递函数脉冲传递函数G(z)可以通过对应的传递函数可以通过对应的传递函数G(s)来求。来求。解：将解：将G(s)展开展开成部分分式：成部分分式：查查Z变换表求得变换表求得第五十五页，本课件共有94页三、开环系统和闭环系统的脉冲传递函数三、开环系统和闭环系统的脉冲传递函数 1.开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数 开环系统的两个环节相串联，可以归纳为以开环系统的两个环节相串联，可以归纳为以下三种典型形式：下三种典型形式：(1)两个离散环节串联两个离散环节串联R(z)C(
28、z)结论：结论：数个离散环节串联后的等效脉冲传递数个离散环节串联后的等效脉冲传递函数，等于各离散环节脉冲传递函数之积。函数，等于各离散环节脉冲传递函数之积。第五十六页，本课件共有94页(2)中间无采样器的两个连续环节串联中间无采样器的两个连续环节串联R(z)C(z)C(s)R*(s)R(s)C*(s)T 结论：结论：中间无采样器隔开的数个连续环节相串联，中间无采样器隔开的数个连续环节相串联，其等效的脉冲传递函数，等于数个串联环节传递其等效的脉冲传递函数，等于数个串联环节传递函数乘积后的相应函数乘积后的相应Z变换。变换。第五十七页，本课件共有94页(3)中间有采样器的两个连续环节串联中间有采样器
29、的两个连续环节串联R(z)C(z)C(s)R*(s)R(s)C*(s)T结论：结论：中间有采样器的数个连续环节串联，其中间有采样器的数个连续环节串联，其等效脉冲传递函数，等于数个串联环节脉冲传等效脉冲传递函数，等于数个串联环节脉冲传递函数之积。递函数之积。第五十八页，本课件共有94页注意：注意：如如:第五十九页，本课件共有94页2.有零阶保持器时开环系统的脉冲传递函数有零阶保持器时开环系统的脉冲传递函数c(t)r*(t)r(t)c*(t)TTGh(s)为零阶保持器的传递函数，为零阶保持器的传递函数，G0(s)为系统连为系统连续部分的传递函数。由于续部分的传递函数。由于Gh(s)不是不是s的有理
30、分的有理分式，因此用等效串联环节的方法，不能直接求式，因此用等效串联环节的方法，不能直接求出该开环系统的脉冲传递函数出该开环系统的脉冲传递函数第六十页，本课件共有94页c(t)r*(t)r(t)c*(t)TT第六十一页，本课件共有94页 3.闭环系统的脉冲传递函数闭环系统的脉冲传递函数 在闭环的离散控制系统中，采样开关可以有不在闭环的离散控制系统中，采样开关可以有不同的配置方法。所以，闭环的离散系统有多种同的配置方法。所以，闭环的离散系统有多种结构形式，不存在唯一的典型结构图。因此，结构形式，不存在唯一的典型结构图。因此，闭环系统的脉冲传递函数没有一般的计算公式，闭环系统的脉冲传递函数没有一般
31、的计算公式，只能根据不同系统的实际结构具体地来求。只能根据不同系统的实际结构具体地来求。第六十二页，本课件共有94页 典型的采样控制系统典型的采样控制系统图中虚线所示的采样开关是为了计算而添加的，它图中虚线所示的采样开关是为了计算而添加的，它表示只计算表示只计算r(t)、c(t)、b(t)在采样点上的值。在采样点上的值。注：虚拟开关只是求输出时注：虚拟开关只是求输出时用，不参加信号传递用，不参加信号传递G(s)H(s)-第六十三页，本课件共有94页在离散系统中，求闭环脉冲传递函数无计算公式，在离散系统中，求闭环脉冲传递函数无计算公式，必须根据结构图，列出描述系统中各个变量之间必须根据结构图，列
32、出描述系统中各个变量之间关系的基本方程，然后消去中间变量，求出输出关系的基本方程，然后消去中间变量，求出输出变量的变量的Z变换与输入变量的变换与输入变量的Z变换之比。变换之比。该系统的基本方程为该系统的基本方程为由上式有：由上式有：第六十四页，本课件共有94页 由上式可以求出偏差信号对控制信号的闭环由上式可以求出偏差信号对控制信号的闭环脉冲传递函数脉冲传递函数离散化得：离散化得：第六十五页，本课件共有94页所以所以采样系统的特征方程：采样系统的特征方程：对于单位反馈系统，对于单位反馈系统，H(s)=1第六十六页，本课件共有94页例例证明下图所示离散系统的证明下图所示离散系统的C(z)C(z)为
33、：为：解：列系统的基本方程：解：列系统的基本方程：把（把（1）、（）、（3）式代入（）式代入（2）式，得：）式，得：TR(s)C(s)(sT第六十七页，本课件共有94页将（将（4）式两边离散化，有：）式两边离散化，有：令令 ，得：，得：则则将（将（3）式两边离散化，有：）式两边离散化，有：令令 ，得：，得：即得证。即得证。第六十八页，本课件共有94页结构图结构图结构图结构图常见离散系统的结构图及输出量的常见离散系统的结构图及输出量的Z变换表达式变换表达式第六十九页，本课件共有94页第七十页，本课件共有94页6-5 离散系统的性能分析离散系统的性能分析即：即：一、一、S平面与平面与Z平面的映射关
34、系平面的映射关系在在Z变换的定义中已经确定了复变量变换的定义中已经确定了复变量S与复变量与复变量Z之间的转换关系：之间的转换关系：式中式中T为采样周期。为采样周期。S平面上的任一点可以表示为平面上的任一点可以表示为 ，将，将S点的坐标代入上式，即可求出点的坐标代入上式，即可求出该点在该点在Z平面上的映射。平面上的映射。第七十一页，本课件共有94页 可见它是模值为可见它是模值为 ，相角为，相角为 矢量终端的一点矢量终端的一点由由 可知，当可知，当 时，时，即，即S平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到Z平面上是以圆点为圆心的单平面上是以圆点为圆心的单位圆周位圆周，以后简称，以后简称单位圆单位圆，当，当
35、 时，时，即即S平面的左半部分映射到平面的左半部分映射到Z平面的单位圆内部平面的单位圆内部，当当 时，时，即，即S平面的右半部分映射到平面的右半部分映射到Z平面的单位圆外部平面的单位圆外部。第七十二页，本课件共有94页S平面与平面与Z平面的映射关系平面的映射关系从分析从分析S平面与平面与Z平面的映射关系可知：平面的映射关系可知：在在Z平面中，单位圆内是稳定区域，单位圆外是不稳平面中，单位圆内是稳定区域，单位圆外是不稳定区域，而单位圆的周线是临界稳定的标志。定区域，而单位圆的周线是临界稳定的标志。第七十三页，本课件共有94页二、离散系统稳定的充要条件二、离散系统稳定的充要条件 典型的采样控制系统
36、典型的采样控制系统 脉冲传递函数脉冲传递函数G(s)H(s)-第七十四页，本课件共有94页系统的特征方程为：系统的特征方程为：设系统的特征根或闭环脉冲传递函数的极点为：设系统的特征根或闭环脉冲传递函数的极点为：，则，则线性离散系统稳定的充要条线性离散系统稳定的充要条件是：线性离散系统的全部特征根件是：线性离散系统的全部特征根 均分布在均分布在Z平面的单位圆内，或全部特征根的模平面的单位圆内，或全部特征根的模小于小于1，即即如果在上述特征根中，有一个位于单位圆之外如果在上述特征根中，有一个位于单位圆之外的，则系统不稳定，有位于单位圆周上的，系统的，则系统不稳定，有位于单位圆周上的，系统临界稳定。
37、临界稳定。第七十五页，本课件共有94页例例 设离散系统如图，若设离散系统如图，若a=1，T=1，试，试分别判断分别判断 和和 时系统的稳定性。时系统的稳定性。解解:由系统连续部分的传递函数由系统连续部分的传递函数得系统的开环脉冲传递函数：得系统的开环脉冲传递函数：三、线性离散系统的稳定判据三、线性离散系统的稳定判据1.直接求特征方程的根直接求特征方程的根第七十六页，本课件共有94页可求得闭环系统的脉冲传递函数可求得闭环系统的脉冲传递函数系统的特征方程为：系统的特征方程为：第七十七页，本课件共有94页当当a=1，T=1，时，系统的特征方程为：时，系统的特征方程为：解出两个特征根：解出两个特征根：
38、二者的模二者的模 ，系统是稳定的。，系统是稳定的。当当a=1，T=1，时，系统的特征方程为：时，系统的特征方程为：第七十八页，本课件共有94页对于二阶连续系统，不论对于二阶连续系统，不论K为何值，系统总是稳为何值，系统总是稳定的。而二阶的离散系统，当开环增益增大时却定的。而二阶的离散系统，当开环增益增大时却可能变为不稳定，这说明采样造成的信息丢失使可能变为不稳定，这说明采样造成的信息丢失使系统的稳定性变差。开环增益对系统稳定性的系统的稳定性变差。开环增益对系统稳定性的影响与连续系统类似，影响与连续系统类似，K加大，系统的稳定性变加大，系统的稳定性变差。差。解出两个特征根：解出两个特征根：有一个
39、特征根在单位圆外，所以系统不稳定。有一个特征根在单位圆外，所以系统不稳定。第七十九页，本课件共有94页2.劳斯判据劳斯判据 当离散系统的阶数较高时，很难直接解出特征当离散系统的阶数较高时，很难直接解出特征根，这时可以用劳斯判据来判断系统的稳定性。根，这时可以用劳斯判据来判断系统的稳定性。连续系统中的劳斯判据不能直接用于离散系连续系统中的劳斯判据不能直接用于离散系统，这是因为劳斯判据只能判断特征方程的根是统，这是因为劳斯判据只能判断特征方程的根是否全在复平面的虚轴以左，但无法判断这些根是否全在复平面的虚轴以左，但无法判断这些根是否都在单位圆以内，为了能够应用劳斯判据判断否都在单位圆以内，为了能够
40、应用劳斯判据判断离散系统的稳定性，需要通过离散系统的稳定性，需要通过W变换（又称双线变换（又称双线性变换）。性变换）。第八十页，本课件共有94页使变量使变量Z与新的变量与新的变量W之间有这样的对应关系：之间有这样的对应关系：Z平面上的单位圆周对应于平面上的单位圆周对应于W平面上的虚轴，平面上的虚轴，Z平面上的单位圆内部对应于平面上的单位圆内部对应于W平面上的左半平面，平面上的左半平面，Z平面上单位圆外部对应平面上单位圆外部对应W平面的右半平面。平面的右半平面。经经过过W变换以后，对于变换以后，对于W平面就可以应用劳斯判平面就可以应用劳斯判据了。据了。第八十一页，本课件共有94页W变换变换将将
41、代入代入 ，并整理得：，并整理得：由于由于Z和和W都是复变量，故可以写成：都是复变量，故可以写成：则：则：令令第八十二页，本课件共有94页W平面的虚轴对应于上式中的实部为平面的虚轴对应于上式中的实部为0，即，即即即Z平面上的单位圆。平面上的单位圆。所以有如下结论所以有如下结论:即即Z平面上的单位圆对应平面上的单位圆对应于于W平面上的虚轴；平面上的虚轴；即即Z平面上的单位圆以内平面上的单位圆以内对应于对应于W平面的左半平面；平面的左半平面；即即Z平面上的单位圆以外平面上的单位圆以外的对应于的对应于W平面的右半平面。平面的右半平面。第八十三页，本课件共有94页例例1 已知某离散系统的脉冲传递函数已
42、知某离散系统的脉冲传递函数试用劳斯判据判断系统的稳定性。试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：由解：由 知系统的特征方程为：知系统的特征方程为：将将 代入特征方程，有代入特征方程，有第八十四页，本课件共有94页化简得：化简得：各项系数不同号，不满足系统稳定的必要条件，各项系数不同号，不满足系统稳定的必要条件，所以系统不稳定。所以系统不稳定。列劳斯表：列劳斯表：第一列变号一次，可知系统有一个根在第一列变号一次，可知系统有一个根在Z平面的平面的单位圆以外。单位圆以外。第八十五页，本课件共有94页例例2 设离散系统如图所示，若设离散系统如图所示，若 ，试求采，试求采 样周期样周期T=1秒和秒和T=0.5
43、秒时，系统临界稳定时的秒时，系统临界稳定时的放大系数放大系数 。解：系统的开环脉冲传递函数：解：系统的开环脉冲传递函数：第八十六页，本课件共有94页闭环系统的脉冲传递函数：闭环系统的脉冲传递函数：当当 时，系统的特征方程为：时，系统的特征方程为：令令 ，得，得第八十七页，本课件共有94页列劳斯表：列劳斯表：欲使系统稳定，劳斯表第一列元素必须为正，即欲使系统稳定，劳斯表第一列元素必须为正，即第八十八页，本课件共有94页所以系统临界稳定时的放大系数所以系统临界稳定时的放大系数 。当当T=0.5(S)时，系统的特征方程为：时，系统的特征方程为：同样用劳斯判据可以求得系统临界稳定时的放大同样用劳斯判据
44、可以求得系统临界稳定时的放大系数系数令令 ，得，得第八十九页，本课件共有94页采样周期采样周期T越长，丢失的信息越多，系统的稳定越长，丢失的信息越多，系统的稳定性越差，临界开环增益越小。减小采样周期性越差，临界开环增益越小。减小采样周期T可可以提高系统的稳定性。对二阶离散系统而言，当以提高系统的稳定性。对二阶离散系统而言，当采样周期采样周期 时，系统的开环增益时，系统的开环增益K可以取任可以取任意值。因为当意值。因为当 时，离散系统实际上转化时，离散系统实际上转化为连续系统了。为连续系统了。第九十页，本课件共有94页四、离散系统的稳态误差四、离散系统的稳态误差1.1.稳态误差的计算方法稳态误差
45、的计算方法稳态误差的计算方法稳态误差的计算方法误差传递函数：误差传递函数：G(s)-第九十一页，本课件共有94页如果如果 的极点都在的极点都在Z平面的单位圆以内，系平面的单位圆以内，系统稳定。则可以利用统稳定。则可以利用Z变换的终值定理来计算系变换的终值定理来计算系统在采样瞬时的统在采样瞬时的稳态误差稳态误差:离散系统的稳态误差还与采样周期离散系统的稳态误差还与采样周期T有关，这是有关，这是因为因为 和和 与与T有关的缘故，这一点与连有关的缘故，这一点与连续系统不同。提高采样频率可以降低稳态误差。续系统不同。提高采样频率可以降低稳态误差。其他消除和减小稳态误差的结论与连续系统相同。其他消除和减小稳态误差的结论与连续系统相同。第九十二页，本课件共有94页例例 设离散系统如图，试求系统在单位速度输入设离散系统如图，试求系统在单位速度输入时的稳态误差。时的稳态误差。解：开环脉冲传递函数：解：开环脉冲传递函数：第九十三页，本课件共有94页系统的误差传递函数系统的误差传递函数当当第九十四页，本课件共有94页