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1、3.1 柯西不等式与排序不等式重点：柯西不等式与排序不等式的简单应用 一.柯西不等式1.柯西不等式的向量形式设有向量，根据向量数量积的定义，我们有：.即有： ,等号当且仅当同向或反向时成立（共线时成立）. 因此我们有如下的定理：（柯西不等式的向量形式）定理1.设为平面上的两个向量，则：，等号当且仅当共线时成立. 2.柯西不等式的代数形式（柯西不等式） 设有向量，将坐标代入：，即有：.即有：.等号当且仅当（共线时）时成立.因此，我们有下面的定理：（二维柯西不等式）定理2. 设均为实数，则: ，等号当且仅当时成立.如果向量，代入：，即有：.即有：.等号当且仅当（共线时）时成立.因此，我们又有下面的
2、定理：（三维柯西不等式）定理3. 设均为实数，则：等号当且仅当时成立.这里定理1称为柯西不等式的向量形式，定理2、定理3则称为二维、三维柯西不等式的代数形式。代数形式的记忆平方和的积大于或等于积和的平方. 向量形式的记忆向量绝对值的积大于或等于向量积的绝对值.3.维空间中的柯西不等式将二维、三维空间中的柯西不等式推广到维空间中去，我们又有如下的定理：定理4.设为大于1的自然数，为任意实数，则：，等号当且仅当时成立.二.平面上的三角形不等式设是平面上的任意三点，则由平面几何的知识我们知道：（等号成立的条件是按的顺序三点共线）.即有：因此我们有以下的定理（也称为三角形不等式）：定理：设为任意实数，
3、则：.三.排序不等式1.排序不等式的概念实例：一网吧的三台电脑同时出现故障，对其进行维修分别需要时间45min, 25min和30min。每台电脑耽误1min，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最低？ 当然，电脑等待的总时间最短时，经济损失就会最小，电脑等待的总时间最长时，经济损失就会最大。 可以验证，如果按需时为25min, 30min, 45min的顺序维修三台电脑，所花的总时间为最短，这时，当然这时的经济损失最小元；如果按需时为45min, 30min, 25min的顺序维修三台电脑，所花的总时间为最长，这时，当然这时的经济损失最大元.把
4、这个问题抽象为一般的数学模型即为：设有两组数：； ，可以得到以下6个不同的和数：； ； ； ； .其中，和数称为同序和，和数称为反序和，其它的和都称为乱序和.上面的实例，实际上告诉我们这样一个事实，对于给定的两个数组数：； ，6个不同的和数中，以同序和为最大，以反序和为最小，即反序和乱序和同序和. 实际上，这是一个普遍的规律，不仅对于3个元素的情况，对于4个元素，5个元素，个元素也有同样的结论.一般地我们有如下的定理（也称为排序不等式：反序和乱序和同序和）定理 设有两组实数与，满足； ，且为的任意一个排列，则： . 等号当且仅当或时成立.四.典型例题1.函数的最大值为 （ ） A.5 B.13
5、 C. D.2.已知，则的最小值为 （ ） A.4 B.6 C.9 D.163.已知点在圆上，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D.4.设，且，则 （ ） A. B. C. D.5.已知，且，. 求证：.6.已知，且. 求证：.7.已知，求证：.8.已知为实数，求证：.9.已知，且，求证：.10.已知都是正数，且，求证：.11.设 求证：.12.已知，求证： .13.设 求证： .14.设是互不相等的正整数，求证： .15.用排序不等式证明：设， 求证：.16.车间里有5台车床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为15min, 8min, 29min, 7min, 10min，
6、每台车床停产1min损失5元，问按怎样的顺序修复，能使经济损失降到最低. 四.课外练习：导与练.五.补充练习1.若，且，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D.2.设满足：，则的最小值为 （ ） A.14 B.7 C.3.5 D.13.设，且满足，则的最大值为 （ ）A.1 B. C. D.24.设，且，则的最大值为（ ） A. B. C.4 D.55.设，且，则与1的大小关系是 （ ）A. B. C. D.6.设，且，求的最大值.7.已知，且，求的最小值.8.已知，且 ，求的最小值.9.已知都是正数，且， 求证：.11.已知实数满足， 求证：.12.已知，求证：.13.已知，求证： .