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1、一、二维形式的柯西不等式一、二维形式的柯西不等式 ., )( 1等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当则则实实数数都都是是若若二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcaddcba 222222222222222)()(bd)(ac )(:bdacbcadcbdadbcadcba 证证明明bdacdcba 2222)1(bdacdcba 2222)2(二维形式的柯西不等式的变式二维形式的柯西不等式的变式:22222)()(bdacdcba .,., )( 2等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量当当且且仅仅当当则则是是两两个个向向量量设设柯柯西西不不等等式式的的向
2、向量量形形式式定定理理 kk 2332244)()(, 1babababa 证证明明为为实实数数已已知知例例的最大值的最大值求函数求函数例例xxy21015 3 4111,ba, 2 baRba求证求证设设例例复习复习: .,),()()()1(22222等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量当当且且仅仅当当柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kk bdacdcba 2222)2(bdacdcba 2222)3(2212212222212122
3、11)()(R,y,x,y, )( 3yyxxyxyxx 那那么么设设二二维维形形式式的的三三角角不不等等式式定定理理2212212221212221212222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x 22x )(2x 2x 2x )(:yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx 证明证明22122122222121)()(yyxxyxyx 22122122222121)()( yyxxyxyx 二二维维形形式式的的三三角角不不等等式式221221221222222212121)()()( zzyyxxz
4、yxzyx 三三维维形形式式的的三三角角不不等等式式22222112222122221)()()( nnnnyxyxyxyyyxxx 一一般般形形式式的的三三角角不不等等式式补充例题补充例题:.1,yb, 1的最小值的最小值求求且且已知已知例例yxxaRbayx 2min22222)()(.,)( )()(,1, :bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx 时时取取等等号号即即当当且且仅仅当当解解变式引申变式引申:.,94, 13222并并求求最最小小值值点点的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32, 1312.2194, 1
5、)32()11)(94(:222222222最最小小值值点点为为的的最最小小值值为为得得由由时时取取等等号号即即当当且且仅仅当当由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxyxyxyx 5,5. 10,10.102 ,102. 52 ,52-A.) (,10,. 122 DCBbabaRba的的取取值值范范围围是是则则且且若若补充练习补充练习2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的的最最小小值值是是那那么么已已知知 _1212. 3的的最最大大值值为为函函数数 xxy_2, 623,. 422值值是是的的最最大大则则满满足足设设实实数数yxPy
6、xyx _)1()1(, 1. 522的的最最小小值值是是则则若若bbaaba AB311225小结小结: .,),()()()1(22222等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba .,.(4)等等号号成成立立时时使使或或存存在在实实数数是是零零向向量量当当且且仅仅当当柯柯西西不不等等式式的的向向量量形形式式 kk bdacdcba 2222)2(bdacdcba 2222)3(22122122222121)()(5)yyxxyxyx 二二维维形形式式的的三三角角不不等等式式221221232232231231)()(x
7、)()()()()6(yyxyyxxyyxx .,:1221等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当的的柯柯西西不不等等式式化化简简后后得得二二维维形形式式将将平平面面向向量量的的坐坐标标代代入入能能得得到到从从平平面面向向量量的的几几何何背背景景baba， 2221122212221)()()(bababbaa 化化简简后后得得将将空空间间向向量量的的坐坐标标代代入入也也能能得得到到从从空空间间向向量量的的几几何何背背景景类类似似地地，, 2332211232221232221)()()(babababbbaaa .)3 , 2 , 1(, 0,等等号号成成立立时时使使得得或或存存在在一一个个数
8、数即即共共线线时时当当且且仅仅当当，ikbakii 猜想柯西不等式的一般形式猜想柯西不等式的一般形式222112222122221)()(bnnnbabababbbaaa ，aaaAn22221 设设，bbbCn22221 nnbababaB 22112BAC 则则不不等等式式就就是是分析：分析：)( )(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf 构构造造二二次次函函数数0)()()()(2222211 nnbxabxabxaxf又又0)()(4)(4, 0)(222212222122211 nnnnbbbaaabababaxf即即的的判判别别式式二二次
9、次函函数数。等等号号成成立立时时使使得得或或存存在在一一个个数数当当且且仅仅当当则则是是实实数数设设一一般般形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理,),2 , 1(,),2 , 1(0,)(321321nikbaknibbbbbaaaaiiinn 222112222122221)()(bnnnbabababbbaaa 2222122121)(1, 1nnnaaaaaanaaa 求求证证都都是是实实数数已已知知例例22122221222)111( )(111(:nnaaaaaa 证证明明22122221)( )(nnaaaaaan 22221221)(1nnaaaaaan dacdbcabdc
10、badcba 2222, 2证证明明是是不不全全相相等等的的正正数数已已知知例例dacdbcabdcbdacdbcabdcbaaddccbbadcbadacdbcabadcbdca 2222222222222222222a )()(,)( )(:即即不成立不成立是不全相等的正数是不全相等的正数证明证明的的最最小小值值求求已已知知例例222, 132 3zyxzyx 141143,71,1413211411)32()321)(:2222222222222取取最最小小值值时时即即当当且且仅仅当当证证明明zyxzyxzyxzyxzyxzyx 1111x1x:1,xx,Rx,x, 6. 4122221
11、21n21n21 nxxxxxxPnn求求证证且且设设1)()1x1 1111()x1x 11()11x(1 )111()1(:2212n222111n2n222121212222121 nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn证明证明1111x1x2222121 nxxxxnn.,16a, 8, 122222的的取取值值范范围围求求满满足足已已知知实实数数例例eedcbedcbaedcba 5160, 01651664464,)8()16(4d)cb(a )(1111( )4(a :22222222222222 eeeeeeeedcbadcb故故即即即即解解 补充补充例题
12、例题.,21,31,61,914136)321()941)(941:2222等等号号成成立立时时即即当当且且仅仅当当用用柯柯西西不不等等式式证证法法一一 zyxzyxzzyyxxzyxzyxzyx36941, 1, 2 zyxzyxRzyx求证求证且且已知已知例例36941, 1, 2 zyxzyxRzyx求证求证且且已知已知例例.,21,31,61,3,236126414)94()9()4(14)(9)(4)(1941:等等号号成成立立时时即即当当且且仅仅当当代代入入法法证证法法二二 zyxxzxyzyyzzxxzyxxyzyxzzyxyzyxxzyx补充练习补充练习3100)1()1()1
13、(:, 1,. 2222 ccbbaacbacba求证求证且且为正数为正数设设222222236)sin1sin1sin1)(:,1RCBAcbaRcbaABC 求求证证外外接接圆圆半半径径为为设设其其各各边边长长为为中中在在2221121413121174:,2. 3 nnn试证试证的正整数的正整数是不小于是不小于若若23)(1)(1)(1:, 1,. 4333 baccabcbaabcRcba试试证证明明且且满满足足设设的的和和叫叫做做数数组组则则的的任任何何一一个个排排列列是是数数组组设设),(),( ,)1(21212121nnnnbbbaaabbbcccnncacacaS 2211乱
14、序和乱序和称称为为所所得得的的和和按按相相反反顺顺序序相相乘乘和和将将数数组组 ),(),()2(2121nnbbbaaa 1231211babababaSnnnn 反序和反序和称称为为所所得得的的和和按按相相同同顺顺序序相相乘乘和和将将数数组组 ),(),()3(2121nnbbbaaa 3322112nnbabababaS 顺序和顺序和21 SSS 即即顺顺序序和和乱乱序序和和反反序序和和.,c,)( 212122112211112121212121反反序序和和等等于于顺顺序序和和时时或或当当且且仅仅当当那那么么的的任任一一排排列列是是为为两两组组实实数数设设理理排排序序不不等等式式或或称
15、称排排序序原原定定理理nnnnnnnnnnnnnbbbaaabababacacacababababbbccbbbaaa ?,10,)10, 2 , 1(,10 1多多少少这这个个最最少少的的总总时时间间等等于于少少使使他他们们等等候候的的总总时时间间最最人人的的顺顺序序应应如如何何安安排排问问只只有有一一个个水水龙龙头头时时相相同同各各不不假假定定这这些些分分个个人人的的水水桶桶需需要要设设水水龙龙头头注注满满第第人人各各拿拿一一只只水水桶桶去去接接水水有有例例iittii 2232212132131211, 2naaaannaaann 求求证证个个互互不不相相同同的的正正整整数数是是设设例例补充例题补充例题101010121212,. 1cbaabccabbcaRcba 试证试证设设23:,. 2 cbacCbBaAABC试试证证中中在在