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1、第3讲 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 知 识 梳理 (一)二元一次不等式表示的区域对于直线(A0) 当B0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域.当B0时, 表示直线下方区域; 表示直线的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线
2、性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行域内。(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数
3、学模型的解，即画出可行域，在可行域内求使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解. 重 难 点 突 破 1.重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域，掌握线性规划的图解法2.难点：如何确定不等式表示的哪一侧区域，如何寻求线性规划问题的最优解.3.重难点：如何将实际问题转化为线性规划问题并准确求得线性规划问题的最优解(1) 怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？问题1. 画出不等式组表示的平面区域点拨：（2）求线性规划的最优解问题2. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速海里/时(420)从港出发到距50海里的港去，然后乘汽车
4、以千米/时(30100)自港向距300千米的市驶去，应该在同一天下午4至9点到达市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是小时.(1)写出所满足的条件，并在所给的平面直角坐标系内，作出表示范围的图形；(2)如果已知所需的经费(元)，那么分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？点拨：(1) 由题意得：,420,30100,3x10,y.由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9x+y14,因此满足的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).(2) 因为p=100+3(5x)+2(8y),所以3x+2y=131p,设131p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且
5、斜率为的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元. 热 点 考 点 题 型 探 析考点1 二元一次不等式(组)与平面区域题型1. 求约束条件及平面区域的面积例1 .双曲线的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）A. B. C. D. 例2.不等式组表示的平面区域的面积为_【解题思路】作出平面区域,再由平面几何知识求面积.题型2.求非线性目标函数的最大（小）值例3. 已知求：（1）的最小值;（2）的范围【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解【新题导练】1. 图中阴
6、影部分是下列不等式中( )表示的平面区域.A. B.C. D.2.如果直线与圆相交于两点,且点关于直线对称,则不等式组所表示的平面区域的面积为_.3. 已知变量满足约束条件，则的取值范围是_.考点2 线性规划中求目标函数的最值问题题型: 求目标函数的最值例1. 设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值.【解题思路】按解题步骤求解.例2. 已知满足不等式组，求使取最大值的整数【解题思路】先作平面区域,再作一组平行线：平行于：进一步寻找整点.【新题导练】4. (广东省惠州市2011届高三第二次调研考试)设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）A B C D5. 已知满足约束条件,则的最小值是（ ）A
7、 B C D6. 定义符合条件的有序数对为“和谐格点”，则当时，和谐格点的个数是 考点3 线性规划在实际问题中的应用题型:在线性规划模型下的最优化问题.例1(2011揭阳一模) 为迎接2008年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志“中国印舞动的北京”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会
8、标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？【解题思路】将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型.第3讲 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题(解析)考点1 二元一次不等式(组)与平面区域例1解析双曲线的两条渐近线方程为，两者与直线围成一个三角形区域时有，故选A。【名师指引】本题考查了双曲线的渐近线方程以及平面区域画法。ABC例2解析不等式表示直线上及右上方的平面区域,表示直线 上及右上方的平面区域,表示直线上及左边的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图8-3-1中的阴影部分,其中,故所求面积【名师指引】准确无误作出平面区域是解这类题的关键.例3【解析】作出可行域，并
9、求出顶点的坐标、（1）表示可行域内任一点到定点的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故的最小值是（2） 表示可行域内任一点到定点连线斜率的两倍；因为，故的取值范围为【名师指引】求非线性目标函数的最大（小）值问题的关键是从目标函数联想到相对应的几何意义.最常见的是两点间的距离和斜率公式.考点2 线性规划中求目标函数的最值问题l0例1解析作出可行域如图8-3-6所示,作直线:上,作一组平行于的直线：，可知:直线往右平移时，随之增大。由图象可知,当直线经过点时，对应的最大，当直线经过点时，对应的最小，所以，【名师指引】要注意到线性目标函数的最大(小)值往往是在边界处取到.例2解
10、析不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，作一组平行线：平行于：，当往右上方移动时，随之增大，当过点时最大为，但不是整数解，又由知可取，当时，代入原不等式组得， ；当时，得或， 或；当时， ，故的最大整数解为或【名师指引】在平行域内找整点最优解，一般采用平移找解法，即打网格，描整点，平移直线，找出最优解考点3 线性规划在实际问题中的应用例1解析:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为套，月利润为元，由题意得 （）目标函数为作出可行域如图所示目标函数可变形为，当通过图中的点A时，最大，这时Z最大。解得点A的坐标为（20,24），
11、将点代入得元答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20，24套时月利润最大，最大利润为42800元.【名师指引】要注意到生产的产品数量是整数这一隐含条件.【新题导练】1解析:用原点作检验.选C2解析:因为M、N两点关于直线对称，所以直线的斜率，而圆的圆心在直线上，所以，则不等式组表示的平面区域就是一个斜边长为1的等腰直角三角形，面积为3解析：由得 ；由得 表示过可行域内一点及原点的直线的斜率 由约束条件画出可行域（如图），则的取值范围为，即；4解析：画出可行域与目标函数线如下图可知，目标函数在点（2，2）取最小值8选D5解析:表示的可行域上的点与点的距离的平方值减1. 选D6【解析】作出可行域，数出和谐格点个数为7