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1、第第2章章 齐次次变换现在学习的是第1页，共51页n机器人操作定义:指通过某种机构使零件和工具在空间运动.n这自然就需要表达零件、工具以及机构本身的位置和姿态。n为了定义和运用表达位姿的数学量，必须借助于坐标系并给出表达的规则。2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示现在学习的是第2页，共51页1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系B的三个单位主矢量xB,yB,zB相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.2.1 位置和姿态的表示位置和
2、姿态的表示现在学习的是第3页，共51页 上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的.即 若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示现在学习的是第4页，共51页 这些旋转变换可以通过右图推导这是绕Z轴的旋转.其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果.2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示现在学习的是第5页，共51页旋转矩阵的几何意义:1)可以表示固定于刚体上的坐标系B对参考坐标系A的姿态矩阵.2)可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系B中的点的坐标 变换成A中点的坐标 .3)可作为算子,将B中的矢量或物体变换到A中.2.1 位置和
3、姿态的表示位置和姿态的表示现在学习的是第6页，共51页3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示，即2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示现在学习的是第7页，共51页1.1.平移坐标变换平移坐标变换 坐标系A和B具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式:2.2 坐标变换坐标变换现在学习的是第8页，共51页2.2.旋转变换旋转变换 坐标系A和B有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系:例12.2 坐标变换坐标变换现在学习的是第9页，共51页3.3.复合变换复合变换 一般情况原点既不重合,方位也不
4、同.这时有:(2-13)2.2 坐标变换坐标变换现在学习的是第10页，共51页例例2.12.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合,首先B相对于A的ZA轴转30,再沿A的XA轴移动12单位,并沿A的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在B坐标系中的位置为BP=3,7,0,求它在坐标系A中的位置.2.2 坐标变换坐标变换现在学习的是第11页，共51页1.1.齐次变换齐次变换 (2-13)式可以写为:(2-14)P点在A和B中的位置矢量分别增广为:而齐次变换公式和变换矩阵变为:(2-15,16)2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换现在学习的是第12页，共51页2.2.平移齐次坐标变
5、换平移齐次坐标变换 A A分别沿B的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。例例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换现在学习的是第13页，共51页3.3.旋转齐次坐标变换旋转齐次坐标变换将上式增广为齐次式：例22.3 齐次坐标变换齐次坐标变换现在学习的是第14页，共51页 引入齐次变换后，连续的变换可以变成矩阵的连乘形式。计算简化。例2-4：U=7i+3j+2k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换例2-5：在上述基础上再平移（4，-
6、3，7）。现在学习的是第15页，共51页由矩阵乘法没有交换性，可知变换次序对结果影响很大。2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换现在学习的是第16页，共51页1.1.物体位置描述物体位置描述 物体物体可以由固定于其自身坐标系上的若干特征点描述。物体的变换也可通过这些特征点的变换获得。2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换现在学习的是第17页，共51页1.1.物体位置描述物体位置描述2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换现在学习的是第18页，共51页2.2.齐次坐标的复合变换齐次坐标的复合变换B相对于A:ABT;C相对于B:BCT;则C相对于A:2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换
7、现在学习的是第19页，共51页3.3.齐次坐标的逆变换齐次坐标的逆变换B相对于A:ABT;A相对于B:BAT;两者互为逆矩阵.求逆的办法:1.直接求ABT-12.简化方法2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换现在学习的是第20页，共51页3.3.齐次坐标的逆变换齐次坐标的逆变换一般,若则例32.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换现在学习的是第21页，共51页3.3.变换方程初步B:基坐标系T:工具坐标系S:工作台坐标系G:目标坐标系 或工件坐标系满足方程2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换现在学习的是第22页，共51页1.通用旋转变换公式求:绕从原点出发的f旋转角时的旋转矩
8、阵.S:物体上固接的坐标系T:参考坐标系C:Z轴与f重合的辅助坐标系xTYTZTTCSzSf,ZcO2.5 通用旋转变换通用旋转变换现在学习的是第23页，共51页在S上取一点p,其坐标为向量P,它绕T中直线f旋转角。1）将S上p点坐标变换到T中，其坐标为2）直接计算绕f旋转的坐标为 ，目前上式在T无法直接求。采取如下步骤：3）建立辅助坐标系C，使其Z轴与f重合。这样问题 变为绕ZC旋转。将S中的点p变换到C中，变换 为：4）在C中绕Z轴旋转有：5）将C中坐标变换回T中有 ，2.5 通用旋转变换通用旋转变换现在学习的是第24页，共51页步骤2）和5）中的结果应该相同，即：由于C的Z轴与f重合,所
9、以2.5 通用旋转变换通用旋转变换现在学习的是第25页，共51页根据坐标轴的正交性,有令 ,则2.5 通用旋转变换通用旋转变换现在学习的是第26页，共51页2.等效转角与转轴给出任一旋转变换,能够由上式求得进行等效旋转角的转轴.已知旋转变换R,R,令令R=R=Rot(f,),即有将上式对角线元素相加,并简化得2.5 通用旋转变换通用旋转变换现在学习的是第27页，共51页非对角元素成对相减,有平方后有设 ,2.5 通用旋转变换通用旋转变换现在学习的是第28页，共51页例2-7 一坐标系B与参考系重合,现将其绕通过原点的轴 转30,求转动后的B.以 ,代入算式,有2.5 通用旋转变换通用旋转变换现
10、在学习的是第29页，共51页一般情况,若f不通过原点,而过q点(qx,qy,qz),则齐次变换矩阵为:其中,2.5 通用旋转变换通用旋转变换现在学习的是第30页，共51页例2-8 一坐标系B与参考系重合,现将其绕通过q=1,2,3T的轴 转30,求转动后的B.以 ,代入算式,有2.5 通用旋转变换通用旋转变换现在学习的是第31页，共51页Matlab是美国Mathworks公司推出的数值计算软件.在数值计算及科学研究中,是其它语言无法相比的.其主要特点有:1.1.语言简洁紧凑语言简洁紧凑,使用方便灵活使用方便灵活,库含数极其丰富库含数极其丰富.2.2.具有非常多的矩阵函数具有非常多的矩阵函数,
11、矩阵计算异常方便矩阵计算异常方便.3.3.具有多种功能的工具包具有多种功能的工具包.4.4.具有与具有与FORTRANFORTRAN、C C等同样多的运算符和结构控制指等同样多的运算符和结构控制指 令的同时，语法限制却不严格，使程序设计很自由令的同时，语法限制却不严格，使程序设计很自由.5.5.图形功能强大图形功能强大,数据可视化好数据可视化好.6.6.原程序和库函数代码公开原程序和库函数代码公开.但但.程序执行效率较低程序执行效率较低.本节主要介绍其矩阵计算在机器人分析中的应用本节主要介绍其矩阵计算在机器人分析中的应用.Matlab使用与矩阵计算使用与矩阵计算现在学习的是第32页，共51页矩
12、阵的输入:1)矩阵的直接输入.(操作)以 作为首尾,行分隔用”;”,元素分隔用”,”或空格.2)矩阵编辑器.(操作)先在工作区定义矩阵,用编辑器修改矩阵.3)用函数创建矩阵,如.(操作)zeros(m,n):zeros(m,n):零矩阵零矩阵 ones(m,n):ones(m,n):全部元素都为全部元素都为1 1的矩阵的矩阵 eye(m,n):eye(m,n):单位阵单位阵 randn(m,n):randn(m,n):正态分布的随机矩阵正态分布的随机矩阵 vander(A):vander(A):由矩阵由矩阵A A产生的产生的VandermondeVandermonde矩阵矩阵Matlab使用与
13、矩阵计算使用与矩阵计算现在学习的是第33页，共51页矩阵的计算矩阵的计算.(操作)1)1)加减加减2)2)转置转置3)3)乘法乘法4)4)除法与线性方程组除法与线性方程组5)5)逆逆6)6)幂和指数幂和指数Matlab使用与矩阵计算使用与矩阵计算现在学习的是第34页，共51页例:Matlab使用与矩阵计算使用与矩阵计算计算:现在学习的是第35页，共51页习题习题:2.3:2.3坐标系坐标系BB初始与初始与AA重合重合,让让BB绕绕Z ZB B旋转旋转角角;然后再然后再绕绕X XB B转转角角.求把求把B BP P变为变为A AP P的旋转矩阵的旋转矩阵.Matlab使用与矩阵计算使用与矩阵计算
14、现在学习的是第36页，共51页习题习题:2.3:2.3变化变化坐标系坐标系BB初始与初始与AA重合重合,让让BB绕绕Z ZB B旋转旋转角角;然后再然后再绕绕X XA A转转角角.求把求把B BP P变为变为A AP P的旋转矩阵的旋转矩阵.现在学习的是第37页，共51页习题习题:2.3:2.3变化变化坐标系坐标系BB初始与初始与AA重合重合,让让BB绕绕Z ZB B旋转旋转角角;然后再然后再绕绕X XA A转转角角.求把求把B BP P变为变为A AP P的旋转矩阵的旋转矩阵.现在学习的是第38页，共51页习题习题:2.9:2.9将图将图(a)(a)变换到变换到(b).(b).现在学习的是第
15、39页，共51页习题习题:2.9:2.9 解一解一现在学习的是第40页，共51页习题习题:2.9:2.9 解一解一现在学习的是第41页，共51页习题习题:2.9:2.9 解一解一现在学习的是第42页，共51页习题习题:2.9:2.9 解一解一现在学习的是第43页，共51页习题习题:2.9:2.9 解一解一现在学习的是第44页，共51页习题习题:2.9:2.9 解一解一现在学习的是第45页，共51页习题习题:2.9:2.9 解二解二现在学习的是第46页，共51页习题习题:2.9:2.9 解二解二现在学习的是第47页，共51页习题习题:2.9:2.9 解二解二现在学习的是第48页，共51页习题习题:2.9:2.9 解三解三现在学习的是第49页，共51页习题习题:2.9:2.9 解三解三现在学习的是第50页，共51页习题习题:2.9:2.9 解三解三现在学习的是第51页，共51页