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1、第二章位姿描述和齐次变换1第一页，本课件共有44页第二章第二章 数学基础数学基础齐次坐标和齐次变换齐次坐标和齐次变换机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以操纵物体人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动学问题。机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系。u引言 机械臂抓举或机械臂抓举或搬运零件搬运零件.AVI第二页，本课件共有44页运动学研究的问题Where is my hand?Direct KinematicsHERE!How do
2、 I put my hand here?Inverse Kinematics:Choose these angles!运动学正问题运动学正问题运动学正问题运动学正问题运动学逆问题运动学逆问题运动学逆问题运动学逆问题第三页，本课件共有44页丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg）于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题D-H方法具有直观的几何意义能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题其数学基础即是齐次变换第四页，本课件共有44页位姿的定义：2.1、刚体位姿描述刚体位姿描述刚体参考点的位置和刚体的姿态。姿态的描述方法：齐次变换法、矢量法、旋量法、四元数法等等。一
3、、位置的描述（位置矢量）在三维空间内，刚体有6个自由度：对于直角坐标系A，空间任一点p的位置可用3x1的列矢量Ap表示：第五页，本课件共有44页式中PX,PY,PZ是点P在坐标系A中的三个位置坐标分量,如图2-1所示。第六页，本课件共有44页u 齐次坐标表示：齐次坐标表示：如用四个数组成的如用四个数组成的(41)(41)列阵。列阵。表示三维空间直角坐标系表示三维空间直角坐标系A中点中点p,则列阵则列阵Px Py Pz 1T称为三维空间点称为三维空间点P的齐次坐标。的齐次坐标。第七页，本课件共有44页必须注意必须注意,齐次坐标的表示不是唯一的。我们将齐次坐标的表示不是唯一的。我们将其各元素同乘一
4、非零因子其各元素同乘一非零因子w后后,仍然代表同一点仍然代表同一点P,即即:式中：式中：a=w px;b=w py;c=w pz第八页，本课件共有44页二、方位的描述（旋转矩阵）2.1、刚体位姿描述刚体位姿描述(续续)第九页，本课件共有44页三、位姿的描述（固接坐标系）2.1、刚体位姿描述刚体位姿描述(续续)旋转矢量位置矢量 机器人的一个连杆可以看作一个刚体。若给定了刚体上某一点的机器人的一个连杆可以看作一个刚体。若给定了刚体上某一点的位位位位置置置置和该刚体在空间的和该刚体在空间的姿态姿态姿态姿态,则这个则这个刚体在空间上是完全确定的。刚体在空间上是完全确定的。第十页，本课件共有44页四、手
5、爪坐标系2.1、刚体位姿描述刚体位姿描述(续续)机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系BB的的位姿来表示位姿来表示,如图如图2-62-6所示。所示。坐标系坐标系B可以这样来确定可以这样来确定:取手取手部的中心点为原点部的中心点为原点OB:关节轴为关节轴为ZB轴轴,ZB轴的单位方向矢量轴的单位方向矢量O称为称为接近矢量接近矢量,指向朝外指向朝外;二手指的连线为二手指的连线为yB后轴后轴,yB轴的单位方向矢量称为轴的单位方向矢量称为姿态矢量姿态矢量,指向可任意选定指向可任意选定,xB轴与轴与yB后铀及后铀及ZB轴垂直轴垂直,X后轴的单位方向
6、矢量后轴的单位方向矢量n为为法向法向矢量矢量,且且n=oa,指向符合右手法则。指向符合右手法则。第十一页，本课件共有44页 描述的是：空间任一点p在不同坐标系中表示方法的一种联系。即：已知两坐标系A、B之间的关系，空间任一点p在A中坐标表示，求p在B中的坐标表示？2.2、坐标变换坐标变换一、坐标平移B坐标系的原点在A坐标系中的坐标第十二页，本课件共有44页2.2、坐标变换坐标变换(续续)二、坐标旋转第十三页，本课件共有44页2.2、坐标变换坐标变换(续续)三、一般变换第十四页，本课件共有44页2.2、坐标变换坐标变换(续续)第十五页，本课件共有44页2.3、齐次坐标和齐次变换齐次坐标和齐次变换
7、4X4的方阵 坐标B相对于A的旋转矩阵（3X3）坐标B的原点在A坐标系中的坐标。（3X1）标示符，“1”位置；“0”方向第十六页，本课件共有44页2.3、齐次坐标和齐次变换齐次坐标和齐次变换(续续)第十七页，本课件共有44页2.3、齐次坐标和齐次变换齐次坐标和齐次变换(续续)平移变换矩阵旋转变换矩阵 表示绕过坐标原点的轴k旋转角度。“左乘左乘”的概念！的概念！第十八页，本课件共有44页2.4、齐次变换矩阵的运算齐次变换矩阵的运算一、变换矩阵相乘第十九页，本课件共有44页2.4、齐次变换矩阵的运算齐次变换矩阵的运算(续续)二、变换矩阵求逆u方式1：u方式2：第二十页，本课件共有44页2.4、齐次
8、变换矩阵的运算齐次变换矩阵的运算(续续)第二十一页，本课件共有44页2.4、齐次变换矩阵的运算齐次变换矩阵的运算(续续)第二十二页，本课件共有44页第二十三页，本课件共有44页刚体位置描述：刚体位置描述：利用齐次坐标变换可以描述刚体的利用齐次坐标变换可以描述刚体的位置和姿态位置和姿态。刚体上其它点在。刚体上其它点在参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获得。参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获得。例题：下图中的物体可以由(1,0,0),(-1,0,0),(-1,0,2),(1,0,2),(1,4,0),(-1,4,0)表示。如果该物体在基坐标系中
9、先绕z轴旋转90，再绕y轴旋转90，再沿x轴平移4，求物体6个顶点的位置。xyzoo1xyzoo1x1y1z1xyzoo1x1z1y1xyzoo1x1 y1z1选取物体上与o点重合的点o1为刚体坐标系原点，其初始坐标轴x1y1z1方向与xyz坐标系相同。变换后刚体的位姿为：第二十四页，本课件共有44页齐次坐标变换第二章 机器人运动学xyzoo1xyzoo1x1z1y1xyzoo1x1z1y1x1o1xyzoz1y1第二十五页，本课件共有44页Robotics 数学基础数学基础思考题思考题:将图将图(a)(a)变换到变换到(b)(b)，求变换矩阵，求变换矩阵T?T?第二十六页，本课件共有44页R
10、obotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解一解一第二十七页，本课件共有44页Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解一解一第二十八页，本课件共有44页Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解一解一第二十九页，本课件共有44页Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解一解一第三十页，本课件共有44页Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解一解一第三十一页，本课件共有44页Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解一解一第三十二页，本课件共有44页Robotics 数学基础数
11、学基础习题习题:2.9:2.9 解二解二第三十三页，本课件共有44页Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解二解二第三十四页，本课件共有44页Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解二解二第三十五页，本课件共有44页Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解三解三第三十六页，本课件共有44页Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解三解三第三十七页，本课件共有44页Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9 解三解三第三十八页，本课件共有44页第三十九页，本课件共有44页2.5、变换方程变换方程第四十页，本课件共有44页2.6、欧拉角与欧拉角与RPY角角单位正交矩阵！9 9个元素，实际只有个元素，实际只有3 3个变量。个变量。不方便！不方便！一、绕固定轴x-y-z旋转(RPY角)第四十一页，本课件共有44页2.6、欧拉角与欧拉角与RPY角角P24 P24 求逆问题！求逆问题！第四十二页，本课件共有44页2.6、欧拉角与欧拉角与RPY角角(续续)二、z-y-x欧拉角第四十三页，本课件共有44页2.6、欧拉角与欧拉角与RPY角角三、z-y-z欧拉角P25 自学第四十四页，本课件共有44页