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1、第05章-大数定律与中心极限定理现在学习的是第1页，共66页第一节第一节大数定律大数定律现在学习的是第2页，共66页切比雪夫不等式切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则越小，则事件事件|X-E(X)|的概率越大，即随机变量的概率越大，即随机变量X 集集中在期望附近的可能性越大中在期望附近的可能性越大.现在学习的是第3页，共66页证证我们只就连续型随机变量的情况来证明我们只就连续型随机变量的情况来证明.现在学习的是第4页，共66页当方差已知时，切比雪夫不等式给出了随机变量当方差已知时，切比雪夫不等式给出了随机变量X与它的期望的偏差不小于与它的期望的
2、偏差不小于 的概率的估计式的概率的估计式.如取如取 可见，对任给的分布，只要期望和方差可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，存在，则则 X 取值偏离取值偏离 E(X)超过超过 3 的概率小于的概率小于0.111.现在学习的是第5页，共66页例例1 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平，每一毫升白细胞数平均是均是7300，均方差是，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率.解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X 依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求
3、为所求为 P(5200 X 9400)P(5200 X 9400)=P(-2100 X-E(X)2100)=P|X-E(X)|2100现在学习的是第6页，共66页由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P|X-E(X)|2100即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小之间的概率不小于于8/9.现在学习的是第7页，共66页 例例2 在每次试验中，事件在每次试验中，事件A发生的概率为发生的概率为 0.75,利用切利用切比雪夫不等式求：比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在需要多么大时，才能使得在n次独立重复次独立重复试验中试验中,事件事件A出现的频率在出现的频率在0
4、.740.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90?解：设解：设X为为n 次试验中，事件次试验中，事件A出现的次数，出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的的最小的n.则则 XB(n,0.75)所求为满足所求为满足D(X)=0.750.25n=0.1875n现在学习的是第8页，共66页 =P(-0.01nX-0.75n 0.01n)=P|X-E(X)|0.01n P(0.74n X0.76n)可改写为可改写为在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，则，则=P|X-E(X)|0，有，有 贝努利大数定律：贝努利大数定律：或或也就是：也就是：伯努利伯努利现在学习的是第18页，共66页 贝努
5、里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，充分大时，事件事件A发生的频率发生的频率NA/n与事件与事件A发生的概率发生的概率p有较大偏差的有较大偏差的概率很小概率很小.这就是所谓的这就是所谓的“频率稳定性频率稳定性”。现在学习的是第19页，共66页证明证明:现在学习的是第20页，共66页注：注：切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律与与贝努里大数定律贝努里大数定律都是都是通过切比雪夫不等式建立的，故需要条件通过切比雪夫不等式建立的，故需要条件 现在学习的是第22页，共66页辛钦大数定律：辛钦大数定律：设设X1,X2,是是相互独立，相互独立，服从同一分布服从同一分布的
6、随机变量序列，且的随机变量序列，且具有具有数学期望数学期望E(Xk)=(k=1,2,)。则对于任意。则对于任意正数正数有有也就是：也就是：注：辛钦大数定律用于判断注：辛钦大数定律用于判断具有数学期望具有数学期望的的独立同分布独立同分布随机变量序列是否服从大数定律，随机变量序列是否服从大数定律，不要求方差存在不要求方差存在。辛钦辛钦现在学习的是第23页，共66页 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径，是数理统计中参数估供了一条实际可行的途径，是数理统计中参数估计的理论基础计的理论基础.注注2、贝努里大数定律是辛钦定理的特殊情况、贝努
7、里大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性、辛钦定理具有广泛的适用性.要估计某地区的平均亩产量要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性块，例如要收割某些有代表性块，例如n 块块地地.计算其平均亩产量，则当计算其平均亩产量，则当n 较较大时，可用它作为整个地区平均亩大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计产量的一个估计.现在学习的是第25页，共66页例例 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同样的球，的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码码.设设，k=1,2,问对序列问对序列X
8、k能否应用大数定律？能否应用大数定律？即对任意的即对任意的0,解解:k=1,2,E(Xk)=0.1,诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.现在学习的是第26页，共66页三、小结三、小结大大数数定定律律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：本的性质之一：平均结果的稳定性平均结果的稳定性贝努里贝努里大数定律大数定律独立独立随机随机变量变量序列序列现在学习的是第27页，共66页第二节第二节中心极限定理中心极限定理现在学习的是第28页，共66页 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背
9、景在客观实际中，许多随机变量是由大量的相互独立的在客观实际中，许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。而其中每一个别因素随机因素的综合影响所形成的。而其中每一个别因素所起的作用都是微小的。所起的作用都是微小的。例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的。每个合影响的。每个随机因素的对随机因素的对弹着点（随机变量和）弹着点（随机变量和）所所起的作用都是很小的。起的作用都是很小的。这样的随机变量往往近似地服从正态分布！这样的随机变
10、量往往近似地服从正态分布！现在学习的是第29页，共66页下面演示不难看到中心极限定理的客观背景下面演示不难看到中心极限定理的客观背景例例:20个个0-1分布的和的分布分布的和的分布 X1 f(x)X1+X2g(x)X1+X2+X3 h(x)几个几个(0,1)上均匀分布的和的分布上均匀分布的和的分布 0123xfgh现在学习的是第30页，共66页 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研，故我们不研究究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量.在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这在概率论中，习惯于把和的分布
11、收敛于正态分布这一类定理都叫做一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理.现在学习的是第31页，共66页一、中心极限定理一、中心极限定理定理定理1（独立同分布情形下的中心极限定理独立同分布情形下的中心极限定理）现在学习的是第32页，共66页注注 3、在一般情况下，我们很难求出、在一般情况下，我们很难求出 的分布函的分布函数。但当数。但当n很大时，可用正态分布来近似求解。很大时，可用正态分布来近似求解。现在学习的是第33页，共66页定理定理2（德莫佛拉普拉斯中心极限定理）（德莫佛拉普拉斯中心极限定理）设随机变量设随机变量 (n=1,2,)(n=1,2,)服从参数服从参数n,p(0p1920)设第设第
12、i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16例例1解答：解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119现在学习的是第50页，共66页例例2 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同样的球，从罐的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.设设，k=1,2,(1)至少应取球多少次才能使至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.11之之间的概
13、率至少是间的概率至少是0.95?(2)用中心极限定理计算在用中心极限定理计算在100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出现次数出现次数在在7和和13之间的概率之间的概率.现在学习的是第51页，共66页（1)解：设应取球解：设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为由中心极限定理由中心极限定理例例2解答：解答：现在学习的是第52页，共66页欲使欲使即即查表得查表得从中解得从中解得即至少应取球即至少应取球3458次才能使次才能使“0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95.现在学习的是第53页，共66页（2）解：在）解：在100次抽取中次抽取中,数码数码“0
14、”出现次数为出现次数为由中心极限定理由中心极限定理,即即其中其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09现在学习的是第54页，共66页即在即在100次抽取中，数码次抽取中，数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间之间的概率为的概率为0.6826.=0.6826现在学习的是第55页，共66页例例3 3 甲乙两电影院在竞争甲乙两电影院在竞争10001000名观众，假设每位观众名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1 1？例例3 3解答
15、解答 设设X表示来甲电影院的人数，甲至少设表示来甲电影院的人数，甲至少设N个座位。个座位。现在学习的是第56页，共66页现在学习的是第57页，共66页例例4 (供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床,在生产期间由于在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车车.设开工率为设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力且在开工时需电力1千瓦千瓦.问应供应多少瓦电力就能以问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产的概率保证该车间不会因供电不足而影
16、响生产?解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作是观察该台车床在某时刻是否工作,工作的概率工作的概率0.6 ,共进行共进行200次独立重复试验次独立重复试验.现在学习的是第58页，共66页用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数，依题意，依题意，XB(200,0.6),现在的问题是：现在的问题是：P(XN)0.999的最小的的最小的N.求满足求满足设需设需N台车床工作，台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，千瓦，N台台工作所需电力即工作所需电力即N千瓦千瓦.）由由德莫佛拉普拉斯中心极限定理德莫佛拉普拉斯中心极限定理近似近似N(0,1),这里这里 np=120,np(1-p)=48现在学习的是第59页，共66页于是于是 P(XN)=P(0XN)由由3准则，准则，此项为此项为0。查正态分布函数表得查正态分布函数表得从中解得从中解得N141.5,即所求即所求N=142.3.1,故故现在学习的是第60页，共66页现在学习的是第61页，共66页现在学习的是第62页，共66页现在学习的是第63页，共66页现在学习的是第64页，共66页现在学习的是第65页，共66页现在学习的是第66页，共66页