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1、第05章-大数定律及中心极限定理第1页，本讲稿共43页第一节第一节大数定律大数定律第2页，本讲稿共43页 大量随机试验中大量随机试验中大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率大量抛掷硬币正面出现频率生产过程中的废品率生产过程中的废品率字母使用频率字母使用频率例如：例如：第3页，本讲稿共43页弱大数定理弱大数定理（辛钦大数定理）（辛钦大数定理）设设X1,X2,是相互独立，是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望E(Xk)=(k=1,2,)。则对于任意正数。则对于任意正数有有前前n个变量的算术平均个变量的算术平均证明：证明
2、：我们只在随机变量的方差我们只在随机变量的方差D(Xk)=2(k=1,2,)存在存在这一条件下证明这个定理。这一条件下证明这个定理。第4页，本讲稿共43页由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式上式中令上式中令得得第5页，本讲稿共43页定理的理解定理的理解:第6页，本讲稿共43页定义定义性质性质第7页，本讲稿共43页注意注意:第8页，本讲稿共43页弱大数定理弱大数定理（辛钦大数定理）（辛钦大数定理）第9页，本讲稿共43页 设设 nA 是是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的次数，发生的次数，p是是事件事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 0，
3、有，有 伯努利大数定理伯努利大数定理：（辛钦大数定理的推论）（辛钦大数定理的推论）或或第10页，本讲稿共43页 证毕证毕或或证明证明由辛钦大数定理即得第11页，本讲稿共43页当重复试验次数当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件“频率频率nA/n与概率与概率p的偏的偏差小于差小于”概率趋于概率趋于1。由实际推断原理，实际上这个。由实际推断原理，实际上这个事件几乎是必定要发生的。这就是所谓的事件几乎是必定要发生的。这就是所谓的“频率稳频率稳定性定性”。在实际应用中，当试验次数很大时，就可以用事件的频在实际应用中，当试验次数很大时，就可以用事件的频率来代替事件的概率。率来代替事件的概率。定理的
4、理解定理的理解:第12页，本讲稿共43页第二节第二节中心极限定理中心极限定理第13页，本讲稿共43页 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景在客观实际中，许多随机变量是由大量的相互独立的在客观实际中，许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。而其中每一个别因素随机因素的综合影响所形成的。而其中每一个别因素所起的作用都是微小的。所起的作用都是微小的。例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的。每个响的。每个随机因素的对弹
5、着点（随机变量和）随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的所起的作用都是很小的。作用都是很小的。这样的随机变量往往近似地服从正态分布！这样的随机变量往往近似地服从正态分布！第14页，本讲稿共43页下面演示不难看到中心极限定理的客观背景下面演示不难看到中心极限定理的客观背景例例:20个个0-1分布的和的分布分布的和的分布 X1 f(x)X1+X2g(x)X1+X2+X3 h(x)几个几个(0,1)上均匀分布的和的分布上均匀分布的和的分布 0123xfgh第15页，本讲稿共43页 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标
6、准化的随机变量个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量.在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理.第16页，本讲稿共43页一、中心极限定理一、中心极限定理定理定理1（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）第17页，本讲稿共43页注注 3、在一般情况下，我们很难求出、在一般情况下，我们很难求出 的分布函数。的分布函数。但当但当n很大时，可用正态分布来近似求解。很大时，可用正态分布来近似求解。第18页，本讲稿共43页定理定理2（李雅普诺夫定理）（李雅普诺夫定理）第19页，本讲稿共43
7、页第20页，本讲稿共43页定理的理解定理的理解:第21页，本讲稿共43页定理定理3（棣莫弗拉普拉斯定理）（棣莫弗拉普拉斯定理）设随机变量设随机变量 (n=1,2,)(n=1,2,)服从参数服从参数n,p(0p1920)设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16例例1解答：解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第36页，本讲稿共43页例例2 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同样的球，从罐中有的同样的
8、球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.设设，k=1,2,(1)至少应取球多少次才能使至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95?(2)用中心极限定理计算在用中心极限定理计算在100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出现次出现次数在数在7和和13之间的概率之间的概率.第37页，本讲稿共43页（1)解：设应取球解：设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为由中心极限定理由中心极限定理例例2解答：解答：第38页，本讲稿共43页欲使欲使即即查表得查表得从中解得从中解得即至少应取球即至
9、少应取球3458次才能使次才能使“0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95.第39页，本讲稿共43页（2）解：在）解：在100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出现次数为出现次数为由中心极限定理由中心极限定理,即即其中其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09第40页，本讲稿共43页即在即在100次抽取中，数码次抽取中，数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间之间的概率为的概率为0.6826.=0.6826第41页，本讲稿共43页例例3 3 甲乙两电影院在竞争甲乙两电影院在竞争10001000名观众，假设每位观名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于小于1 1？例例3 3解答解答 设设X表示来甲电影院的人数，甲至少设表示来甲电影院的人数，甲至少设N个座位。个座位。第42页，本讲稿共43页第43页，本讲稿共43页