空间与几何讲稿.doc

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1、义务教育数学课程标准（2011年版） “图形与几何”绥中县教师进修学校中学研训部李成军义务教育数学课程标准（2011年版） “图形与几何”提纲：“图形与几何”部分的结构变化“图形与几何”部分的内容分析“图形与几何”部分的内容调整“图形与几何”的核心概念分析一、“图形与几何”部分的结构变化图形的认识 “四主线”变“三主线”图形的认识图形与变换图形与坐标图形与证明图形的性质图形的变化图形与坐标原来课程标准实验稿的几何框架是按照图形的认识、图形与变换、图形与坐标和图形与证明四条主线来划分的，新的课程标准修订稿把四条主线变成三条主线，这三条主线分别是图形的性质、图形的变化、图形与坐标。四条主线变成三条

2、主线，首先是图形的性质这条主线基本上涵盖了原来图形的认识和图形与证明的内容，除了对一些基本图形的认识之外，还包含着对图形一些命题的证明，同时还发展了学生的空间观念和推理能力。第二条主线是图形的变化，原来叫图形与变换或图形的运动，但这次用的是变化，这是因为在这部分内容里，不光是数学上变换的东西，后面还有一些投影与视图的内容，另外解直角三角形也囊括在这里面，所以在这个里面叫变换显得不那么纯粹，叫运动，像解直角三角形这样的内容也有点牵强，我想用变化这个词可能能够比较好地把刚才那些问题给规避掉，所以就起了这样一个名字。第二条主线的内容就比较丰富了，这里面包含了合同变换图形的轴对称、图形的平移、图形的旋

3、转，以及图形的相似（包括位似），由于和相似关系密切，因此直角三角形的边角关系也包含其中，还有一类变换是仿射变换，在标准中呈现的标题就是投影。这部分主要研究图形之间的关系，特别是从运动的观点和变化的角度来研究图形，这个方法本身也是十分重要的。 第三条主线叫做图形与坐标，它包含坐标与图形的位置，还有坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等。 二第三学段“图形与几何内容分析 第三学段“图形与几何的课程内容，分为图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个部分。（一）图形的性质，从七个方面介绍:1关于“点、线、面、角” 2关于“相交线与平行线” 3关于“三角

4、形” 4关于“四边形” 5关于“圆”。 6.关于“尺规作图” 7关于“定义、命题、定理”包括9个基本事实，探索并证明一些基本图形的性质，以及基本作图和定义，命题、定理等内容。1关于“点、线、面、角”这部分内容主要介绍了一些最基本的橛念，是研究图形性质的基础。这里，有两点应当予以注意：一是“比较线段的大小”“比较角的大小”，在运用图形运动的方法研究图形性质时会有所应用；二是“会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差”，课程标准（2011年版）不要求进行角的倍、分的计算。2关于“相交线与平行线”(1)两条直线的位置关系有相交、平行两种，课程标准（2011年版）没有把两条直线重合作为第三种位

5、置关系。(2)两条直线互相垂直，是两条直线相交的特殊位置关系。这里，不仅有特殊与一般的关系，而且还蕴涵着数量变化与位置关系变化的内在联系两直线相交所成的角的大小成为特殊值(90)时，两直线的位置关系就是特殊的相交（垂直）。(3)“两条直线相交，只有一个交点”，课程标准（2011年版）既没有把这个显然的结论作为基本事实(若作为基本事实，它与基本事实(1)不独立），也没有要求根据基本事实(1)用反证法加以证明。(4)需要指出：课程标准（2011年版）没有把“两直线平行，同位角相等”作为基本事实，而把它作为平行线性质定理。这样处理一是为了减少“基本事实”的个数，二是避免学生产生难以证明的结论就可以作

6、为“基本事实”的误解。这个定理的证明要运用反证法完成（参见课程标准（2011年版）附录2例59），只要求学生“了解”。(5)识别同位角、内错角、同旁内角，是研究平行线的基础。这里，重要的不是在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角的训练，而是引导学生感受同位角、内错角、同旁内角的大小关系（数量关系）与两直线是否平行（位置关系）的内在联系。3关于“三角形”(1)三角形内角和定理是一个十分重要的定理。第二学段要求学生“了解三角形内角和是180，第三学段则应在此基础上注重用演绎推理的方法证明这个结论。(2)课程标准（2011年版）表述判定三角形全等的三个基本事实，使用了对应边或角“分别”，相等（不用

7、“对应相等）的表述方式，这是因为“对应相等”的意义难以给出明确定义，又可能与全等三角形的对应边、对应角混淆。另外，“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)”的表述中，特别指出“一组等角的对边相等”，是为了避免理解这个定理时可能发生歧义。(3)线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质定理，可以通过图形的轴对称获得猜想，然后再运用三角形全等证明。这种获得猜想的过程有助于学生找到证明的思路。(4)关于直角三角形的性质，课程标准（2011年版）只要求探索并掌握“直角三角形的两个锐角互余，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这两个定理，没有把“直角三角形中30角所对的边等于

8、斜边的一半”作为定理；关于直角三角形的判定，除“两个角互余的三角形是直角三角形”和勾股定理的逆定理外，不要求证明其他的判定方法（比如，若一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形）。(5)关于三角形的“心”，课程标准（2011年版）要求“了解”三角形的重心，“知道”三角形的内心、外心，会“作三角形的外接圆、内切圆”，不要求再做进一步的延伸（比如，三角形的重心把中线分成的两条线段之比为2：1等）；课程标准（2011年版）不要求介绍三角形的“垂心”的概念。4关于“四边形”(1)运用归纳的方法可以得到多边形的外角和公式。多边形的外角和公式与三角形的内角和定理之间有着密切的联系：由

9、三角形内角和定理，可以推导出多边形内角和公式，进而推导出多边形的外角和等于360的结论；也可以先推出多边形的外角和等于360的结论，然后得到多边形内角和公式、三角形内角和定理。(2)“理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系，这种“关系”是特殊与一般的关系，即图形越来越特殊，它的性质就越来越多，判定它需要的条件也越来越多，这对于研究平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定有着重要的作用。这部分知识像链条一样环环紧扣，这条“知识链”不仅蕴涵着“一般和特殊”的思想而且也是引导学生感悟“分类”思想的好素材(3)四边形与三角形有着紧密的联系，研究四边形性质常常借助三角形的有关知识

10、。但是四边形与三角形有一个本质的差异：四边形不具有稳定性，三角形具有稳定性。如果不重视这种差异，就会给理解和掌握相关的知识带来困难。比如，学生常常不能正确掌握正多边形的定义，其原因就在于边数大于或等于4的多边形不具有稳定性，由各边相等不能推出各个角相等，所以必须定义“各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形；而三角形具有稳定性，由三边相等可以推出三个角相等，所以只需定义“各边相等的三角形叫做正三角形”。(4)平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，除课程标准（2011年版）列出的条目外，不要求增加其他的判定定理（如“一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形”等）。(5)三角形的

11、中位线定理的探索和证明，可以完整地展示“合情推理一提出猜想一演绎推理”的过程，引导学生经历这样的过程，有利于他们体会两种推理功能不同，但相辅相成。5关于“圆”。(1)课程标准（2011年版）把“探索并证明垂径定理”“探索并证明切线长定理”作为选学内容，主要是出于控制教学和考试难度的考虑，同时又为学有余力的学生提供了进一步学习的空间。这两个定理的探索和证明过程，同样可以展示合情推理和演绎推理相辅相成的过程。课程标准（2011年版）要求“了解圆周角定理及其推论的证明，”这个定理的证明需要对图形的位置关系进行分类，这在几何定理的证明中并不多见。(2)点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，比较典型地体

12、现了“形”与“数”的内在联系一一图形的位置关系确定了相应的数量关系，反之亦然。这样的课程内容、有关的结论固然重要，但更重要的是其中蕴涵的数形结合的思想。(3)关于“探索切线与过切点的半径的关系”，课程标准（2011年版）只要求知道这种关系，并“会用三角尺过圆上一点画圆的切线”，没有把圆的切线的性质和判定作为定理。(4)对于“正多边形与圆的关系”，课程标准（2011年版）只要求知道通过等分圆周可以作正多边形，并且只要求“作圆的内接正方形和正六边”，不要求进行有关半径、（半）边长、弦心距三者之间的有关计算；对于“正多边形的概念防止“正三角形”的概念对“正多边形”概念教学的负迁移。6.关于“尺规作图

13、”（1）用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，是完成其他尺规作图（如作三角形、作圆）的基础。（2）像证明要做到“言必有据”一样，课程标准（2011版）要求“在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹”，即作图也要做到有根有据。课程标准（2011年版）的这种要求有助于发展学生的理性精神，应当予以重视。不同的尺规作图，其“道理”可能是一样的。比如，用尺规作一个角的平分线、过一点作已知直线的垂线、作线段的垂直平分线，这三者本质上没有区别：作图过程都是构造等腰三角形，“道理”都是线段垂直平分线的判定（或者说是等腰三角形的性质）。尺规作图与图形的判定有着本质的联系。比如，已知三边、两边及其

14、夹角、两角及其夹边，可以作出（确定）一个三角形，这与判定两个三角形全等的“SSS，SAS，ASA”在本质上是一致的。已知两边和一角，作出的三角形不唯一，判定三角形全等也没有所谓的“SSA”。7关于“定义、命题、定理”(1)对于命题的条件和结论、互逆命题等有关内容，课程标准（2011年版）的要求是：“结合具体事例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。”不要求学生自己编制一个命题的逆命题，特别是条件和结论多于一个的命题的逆命题。事实上，学生在这部分内容学习中的困难主要源于对文字语言的理解、表述和句式的变换（简单句变换为复合句）

15、。加强文字语言与结合图形的符号语言之间的“翻译”，是帮助学生克服这种困难的有效途径。(2)课程标准（2011年版）要求学生“知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑”。应当通过生活中、数学中的实例，使学生知道由合情推理发现的结论不一定正确，通过演绎推理才能确认其正确性，因而证明是必要的并且证明必须合乎逻辑。“知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。”用三段论形式证明命题时，可以有不同的表达形式（参见课程标准（2011年版）例62），对此应让学生了解。在此基础上，可以让学生学会简化的三段论表达形式。(3)对于“反例”，课程标准（2011年版）的要求是“了解反例的作用，知道

16、利用反例可以判断一个命题是错误的”。反例，有助于加深学生对命题的条件和结论之间关系的认识，但是构造反例往往是困难的，课程标准（2011年版）不要求学生自己构造反例。(4)对于“反证法”课程标准（2011年版）的要求是“通过实例体会反证法的含义”，不要求学生独立运用反证法证明命题。反证法是一种间接证法，它在思维方式上与直接证法有所不同。虽然用反证法证明命题的过程可以归纳成“作出反设、推出矛盾、肯定结论”三个步骤，但是真正掌握反证法需要一个长朝的过程：通过实例体会反证法的含义一借助相当数量的实例感悟反证法的思想，不断积累经验，然后在适当的时机结合有关课程内容正式呈现反证法及其步骤一在反复应用的过程

17、中不断加深对反证法的认识。把反证法作为一种操作步骤进行训练，是难以取得好的教学效果的。顺便指出两点：一是反证法与举反例是有区别的。前者用于证明一个命题为真，其过程是先否定命题的结论，再由此推出与已知事项矛盾的结果，从而肯定结论成立；后者是通过举出“命题的条件成立，结论却不成立的例子，断定一个命题为假。二是反证法的依据不是原命题与逆否命题的同真同假，原命题与逆否命题的同真同假却是运用反证法加以证明的。（二）图形的变化 三个方面介绍:1图形的轴对称、旋转、平移 2图形的相似 3图形的投影1图形的轴对称、旋转、平移(1)对于轴对称、旋转、平移的概念。课程标准（2011年版）的要求是“了解”或“认识”

18、，这种要求借助图形直观不难达到，义务教育阶段不可能也不必要给出图形变换的严格定义。(2)对于轴对称、旋转、平移的基本性质。课程标准（2011年版）要求通过“探索”得到，即通过图形的运动变化去发现这些性质，而不是单纯地把这些性质作为现成的结论呈现给学生。进行这样的探索活动，有助于学生感受图形运动变化过程中的不变量和不变关系，从而为运用图形运动的方法研究图形性质奠定基础。(3)“探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质”“探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质”的含义，不仅是知道这些图形是轴对称图形或中心对称图形，而且还包括运用轴对称性或中心对称性探索这些图形的其他性质。(4

19、)轴对称与轴对称图形（中心对称与中心对称图形）是两个有联系又易泥淆的概念。“轴对称（中心对称）”的意义是两个图形关于一条直线（一个点）对称，它揭示的是两个图形所具有的一种特殊位置关系；“轴对称图形（中心对称图形）”揭示的是一个图形自身具有的特殊性质（对称性）。(5)课程标准（2011年版）还要求：能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形、中心对称图形，认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。这些画图和设计图案的活动，既可以加深学生对图形对称性的理解，又能激发他们的学习兴趣，感悟数

20、学的美及其应用价值，应当认真落实课程标准（2011年版）的这些要求。2图形的相似(1)相似，是不同于轴对称、旋转、平移的另一种图形变换，相似变换改变图形的大小，不改变图形的形状（即改变两点间距离的大小，不改变角的大小），也称为“保角变换”。相似图形的性质在现实生活和数学中都有着广泛的应用。但是，若要用演绎推理的方法研究相似形的判定和性质，则需要许多相应的知识作基础。为了降低探索相似三角形性质和判定的难度，课程标准（2011年版）把“两条直线祓一组平行线所截，所得的对应线段成比例”作为基本事实，且只要求“了解”相似三角形的判定定理和性质定理的证明，不要求运用这些定理证明其他命题。三角形相似与三角

21、形全等有着紧密的内在联系（两个相似三角形的相似比k=1时，这两个三角形全等），可通过与三角形全等的判定定理进行类比，引导学生探索相似三角形的判定定理，进一步感受特殊与一般的关系。(2)“比例的基本性质、线段的比、成比例的线段是研究相似形的基础。课程标准（2011年版）除“比例的基本性质外，不要求研究比例的其他性质（如合比定理、分比定理等）。对于“黄金分割”，课程标准（2011年版）要求“通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割”，感悟数学的美。线段的“黄金比”，可以作为一元二次方程求根公式的应用给予介绍。(3)图形的相似，课程标准（2011年版）要求“通过具体实例认识图形的相似”，“了解相似多边形和

22、相似比。对于相似形的定义，可以用“各角相等，各边成比例来定义相似多边形。三角形的相似要特殊一些，它的相似条件的获得由课程标准( 2011年版)的一条基本事实加以保证，即“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。相似比，在解决有关图形的计算问题时常有应用，应当予以关注。图形的位似，课程标准（2011年版）只要求“了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。借助实际生活经验，学生不难达到课程标准（2011年版）的这个要求，不必进一步介绍关于“图形的位似”的其他知识。(4)对于“会利用图形的相似解决一些简单的实际问题”这个要求，应当予以足够的重视。利用图形的相似解决一些简单的实际问

23、题，必然经历“把实际问题抽象成为数学问题一解决数学问题一对解得的结果作出符合实际意义的解释”的过程，学生经历这样的过程，有助于他们感悟模型思想，感受数学的价值。上述要求中“简单”的意义，通常是指：当实际问题抽象为数学问题后，就可以直接运用相似形的有关知识予以解决。(5)课程标准（2011年版）要求“利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)。不难探索发现：相似的直角三角形的边与边的比值，随锐角大小的变化而变化，随锐角大小的确定而唯一确定，利用相似的直角三角形定义锐角三角函数便顺理成章。(6)锐角三角函数进一步丰富了直角三角形的边与角之间的关系。对于课程标

24、准（2011年版）“能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题”的要求，不应简单把“解直角三角形”分为几种类型进行训练，而应注重引导学生在全面掌握宜角三角形边角关系的基础上，根据实际情况选择恰当的方法求解。在用解直角三角形的相关知识“解决一些简单的实际问题”的过程中，应当注重引导学生感悟模型思想，感受数学的价值需要指出：课程标准（2011年版）中“会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角”的要求，应当认真加以落实。如果不掌握用计算器进行计算的技能，那么上述“解直角三角形”“解决一些简单的实际问题”的要求将难以真正落实。3图形的投影(1)日常生

25、活中，有许多关于中心投影、平行投影的实例，可以“通过丰富的实例”，引导学生“了解中心投影和平行投影的概念”(2)平行投影是学习三视图的基础。画一个物体的三视图、根据视图描述几何体，有助于发展学生的空间观念。课程标准（2011年版）要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体”，这里的“简单物体”应是直棱柱、圆柱、圆锥、球，或它们的组合。课程标准（2011年版）没有给出“三视图”的概念，其要求也与机械制图中的三视图有一定的区别，机械制图中画三视图有其自身的规定。比如，左视图应画在主视图的右面，俯视图应画在主视图的下面，且主视图与俯视

26、图应“长对正”，主视图与左视图应“高平齐”，左视图与俯视图应“宽相等”。但课程标准（2011年版）的要求主要是“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体”，主要目标还是对学生空间观念的培养。(3)画直棱柱、圆锥的侧面展开图，根据展开图想象和制作实物模型，有助于学生感受三维室间与二维平面的相互转换，可以有效地发展学生的空间观念。通过制作包装盒这样的实践活动，有助于学生感受数学与生活的联系，以及数学的应用价值。（三）图形与坐标 包括两个方面:1坐标与图形位置2坐标与图形运动1坐标与图形位置(1)课程标准（2011年版）把平面直角坐标系的

27、有关内容安排在“图形与几何”的课程内容里，更好地体现了数与形的紧密联系。结合实例“用有序数对表示物体的位置”，能有效地引导学生感悟数与形的这种联系。(2)课程标准（2011年版）要求“理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标”。对于平面直角坐标系，不仅应要求学生理解和掌握有关知识，更应注重引导学生感悟“有序数对”与“点的位置”的对应关系，“数量关系”与“图形位置关系”的内在联系，这对于“数与代数”中相关内容（如函数的图象）的学习有着重要的作用。(3)课程标准（2011年版）要求“在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描

28、述物体的位置”。建立坐标系的难度应当控制，但应使学生知道：在不同的坐标系中，描述图形或物体位置的结果也不同。(4)“在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置”，蕴涵了极坐标的思想。在日常生活中，人们用“从这里往东南方向走3千米来描述某个村庄的位置，实际上就是用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。2坐标与图形运动(1)课程标准（2011年版）要求“在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系”，这实际上是图形的轴对称（反射）变换。画一个图形的轴对称图形，关键是画一些点的轴对称点，课程标准（2011年版）规定“以对称轴为

29、坐标轴”就控制了画图的难度。知道关于坐标轴对称的“对应顶点坐标之间的关系”，有助于学生学习“数与代数”中函数（如二次函数）图象的画法，以及判断函数图象是否具有轴对称性。(2)课程标准（2011年版）要求“在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系”，这实际上是图形的平移变换。知道沿坐标轴方向平移后“对应顶点坐标之间的关系”，有助于学生掌握一次函数y=ax+b与正比例函数了y=ax图象之间的关系，二次函数y=ax2与y= ax2 +c图象之间的关系。(3)课程标准（2011年版）要求“在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两

30、个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化”。一个图形依次沿两个坐标轴方向平移，可以看成它沿某个方向的一次平移（课程标准（2011年版）不要求沿非坐标轴方向的平移）。体会经过这样的两次平移后“图形顶点坐标的变化”，有助于学生掌握二次函数y=ax2与y=a(x一h)2 +k图象之间的关系。(4)课程标准（2011年版）要求“在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的”，这实际上是图形的位似变换，有助于学生体会如何在坐标系中画一个图形的位似图形。经过这种变换，“对

31、应顶点的坐标之间的关系”是显然的，但给出的多边形的顶点坐标以整数为宜，以避免给画图带来不便。三、“图形与几何”部分的内容调整四个领域中一些具体的内容的变化主要表现在以下几个方面，一个是删除了一些条目，第二是新增了一些内容（包括必学和选学内容），第三是对相同内容的要求不同（包括程度上的不同以及要求的进一步细化），具体如下。（一）删除了一些条目；（二）新增了一些内容；（三）对相同内容的要求不同；（四）列出了9个“基本事实”。 （一）删除了一些内容（1）关于梯形、等腰梯形的相关要求，等腰梯形的性质和判定定理等内容；（2）探索并了解圆与圆的位置关系；（3）关于影子、视点、视角、盲区等内容；（4）对雪花

32、曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏；（5）关于镜面对称的要求。（二）新增了一些内容增加的内容包括两种： 1、一个是必学内容； 2、一个是选学内容。1、新增必学内容（1）会比较线段的大小，理解线段的和、差以及线段中点的意义；（2）了解平行于同一条直线的两条直线平行；（3）会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类；（4）了解并证明圆内接四边形的对角互补；（5）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系；（6）过一点作已知直线的垂线；（7）已知一直角边和斜边作直角三角形；（8）作三角形的外接圆、内切圆；（9）作圆的内接正方形和正六边形。2、新增选学内容（1）图形与几何领域的了解相似三角形判定定理的证明，（2

33、）探索并证明垂径定理，（3）探索并证明切线长定理等。 （三）对相同内容的要求不同例1（课标31页）【实验稿】通过丰富的实例，进一步认识点、线、面。【修订稿】通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点。例2（课标33页）【实验稿】了解线段垂直平分线及其性质。【修订稿】探索并证明线段垂直平分线的性质定理。例3（课标34页）【实验稿】探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件。【修订稿】探索并证明平行四边形的性质定理。（四）列出了9个“基本事实”1、两点确定一条直线。 2、两点之间线段最短。 3、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。4、两条直线被第三条直线所截，如

34、果同位角相等，那么两直线平行。 5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 。7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 。8、三边分别相等的两个三角形全等。 9、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 对于基本事实，它们是进行逻辑推理的起点，我们不怀疑它的正确性，并以它作为依据展开我们的推理证明。标准实验稿的基本事实是 6 条，现在做了一些调整，是 9 条，从这些基本事实出发，证明了关于线段、角、三角形，四边形大概 40 几个结论，还包括圆，相似形的一些性质。四、“图形与几何”的核心概念分析1、空间观念空间观念主要是指根据物体特征抽象出

35、几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。空间观念在我们国家的以前教学大纲中就有这样的提法，但以前的课程中，用来支撑空间观念，或者培养学生空间观念的内容和素材却相对贫乏，这次课程标准的实验稿和修改稿，不仅把空间观念作为一个核心概念提出来，同时在内容的设置上、以及在教学的要求上，都有相应的支撑的它的素材。那么，在课程内容中有哪些内容可能更多地和空间观念的培养有密切的联系？从课程的设计中就非常重视二维和三维图形的转换，因为这样的转换对发展学生的空间观念是非常有益的。包括展开与折叠、截一个几何体、视图与投影等内

36、容，都可以属于这个范围。另外用运动的观点来看待这个图形，如轴对称、中心对称，通过变换的角度，我们想象这个图象，想象它的形状，想象它的变化，就是培养空间观念非常好的素材。同时，象图形与坐标、一个图形可以看成是由另一个图形做怎样的变化得到的，这些内容都是非常重要的。老师在这些内容的教学当中要重视这个过程，把培养空间观念作为我们的教学目标，给学生时间和空间，让他们去探究、让他们去交流、让他去表达，说他的感受，说他的想象，这样才能使培养学生的空间观念落到实处。 另外，空间观念培养，核心的东西就是想象，比如在二维图形和三维图形转换过程当中，实际上也是看见二维图形去想象和它对应的三维图形；有了三维图形去想

37、象跟它相关的二维图形。再如截一个几何体，我们用一个平面去截一个圆锥体，这个平面和锥体的相交的位置不一样，它的截面就不同，有时是一个圆，有时是一个椭圆，有时又是一条双曲线，这同样需要想象；类似的展开折叠也是这样，一个平面图能否折叠成一个三维图形，都是想象在起作用。图形的运动，图形的位置的确定，中间也都有很多想象的成份在里面，所以我们要抓住空间观念的核心要素想象。 空间观念想要真正能够落实，还需要我们在教学过程中，充分地留给学生感受体验的过程。唯有过程充分了，观念和能力才能有所提升。所以，我们尽量不要把关乎空间观念的这些课程，上成完成数学结论的课。比如正方体的展开图，虽然都是由 6 个正方形组成的

38、，但是由于我们剪开的棱的相对位置不同，这六个正方形连接的相互位置不同，它的展开图画起来会有很多种。这节课的目的，就是希望同学们能够在头脑里，把一个正方体给剪开，同时又能够把一个展开图给折上，通过在头脑当中不断地想象完成这个工作，以提升你的空间观念。但在实践教学当中有老师把展开图的形式都一一展示总结出来，希望学生能够记住（大概 11 种情况），我想就变成另一种味道了。还是应该把过程做足，淡化这些结论，才能更好地培养空间观念。 2、几何直观几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，

39、在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。关于几何直观，我想首先是针对图形，我们根据直观可能对图形的性质会有一些判断，而不是依据测量或计算。另外，几何直观不管是在代数当中，还是在统计概率当中，可能都要用到。面对一个比较复杂的、比较抽象的对象，如果我们能用直观的办法，用图形的办法，把它描述刻画出来，会使这个对象更容易理解，这是一种能力。例如在数学中画函数图象，对于理解函数的性质有非常大的帮助，就因为它直观，我们可以对函数的变化情况与趋势进行预测，这方面比解析式、表格都更清楚。再如在统计里面，如扇形统计图，我们一看就知道哪一部分占的比重更大。我们说几何直观是很好的一种能力，一个学生如果能用直观的方式来

40、进行描述、来进行刻画，那么说明他对这个概念本身的理解比较深刻。 在这里有一个例子，我们研究反比例函数时，老师可能会给几个 x 不同的值，然后去比较函数值的大小，我听过一节课，很多孩子就是把这些 x 代到解析式里计算得到的，这样当然可以，但老师若仅仅到这儿显然就不行了，可以借助图象，会来得更直接，甚至可能还可以得到更多的信息，因为数字更多都是具体的、零散的，而从图象上，我们可以整体全面的把握函数的变化。所以我想这可能也是我们学会用图形来说事情，用图形来做事情的一个很重要的体现。当然几何直观，作为一个新出现的核心概念，可能我们对它的认识和理解还是要有一个过程的。 虽然原来的教学中，没有专门提出这样

41、一个核心概念，但很多老师在实践教学过中，可能都在用，比如从小学开始，我们解算术或代数应用题所画的线段图，遇到比较复杂的应用问题，我们可能用一个表把数量关系展示出来，包括统计图，有些时候你会发现，有的人遇到一个问题，想要说明急于说明的时候，它会不断地随手拿笔去画图给你说，现在从这个核心概念的角度来看，就是几何直观这方面的数学素养在起作用。 可能我们也是在不自觉地做一些这样的事情，我们以后可能要把这种不自觉的行为，变成一种更自觉的行为，更有意识地培养学生运用图形说话，通过画图来解释，来分析问题，从而对学生的几何直观能力给予关注和培养。例4、若ab，xy，则ax+bybx+ay例5、一次会议上，每两

42、个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次，这次会议到会的人数是多少？ 例6、例7、1+3+5+7+9+ 是什么3、推理能力标准修改稿当中的另外一个核心概念推理能力。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。大家知道在标准实验稿当中，就已经有这个核心概念出现了，只不过那时我们没有明确地提出合情推理与演绎推理作为推理能力的两种不同形式，这次在我们标准修改稿中，就已经明确地提出，推理能力包含了合情推理能力与演绎推理能力，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括

43、定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。我们在判断一个命题是否正确的时候，首先运用合情推理的方法，包括直观、操作、猜测，然后得出假设。这些假设是否能成立呢？我们就需要用演绎推理的方式去进行证明。所以合情推理往往是一种发现的方法和手段，而演绎推理是一种证实的手段，它们相辅相成，共同完成对一个命题的认识。这个合情推理，在我们日常对人的发展过程中的作用，其实是非常大的，不专门从事数学，可能很少有机会接触严格的演绎推理，但是合情推理它却要经常使用到，我们日常生活中的很多

44、现象，其实往往都是由合情推理得来的，比如说我记得有一句谚语叫“八月十五云遮月， 正月十五雪打灯。”你说这个生活经验和常识的积累，我们怎么用演绎的方法去证明呢，它就是由合情推理产生的，但是它却能够指导我们很多的生活实践。所以在日常的教学中，我们要让孩子们大胆地去发现、大胆地去归纳，大胆地去猜想。我们在课堂上通过动手操作，通过发现，通过你的灵机一动感悟到的东西，一定要大胆地说出来，敢于去猜，你才能迈出研究的第一步。这之后，再利用演绎的方法去从逻辑上去证明，也就有的放矢了。所以在咱们日常的教学过程当中，千万不要把合情推理作为演绎推理的一个简短的前奏，很快过渡到所谓的“主旋律”了。 合情推理的落实，跟

45、老师自身对问题的设计也是很有关系的，如果我们只设计一些学生一看就很容易知道结论的问题，他就会觉得老师设计的这个合情推理环节很假，时间长了就对合情推理的环节提不起足够的兴趣。如果我们能够设置好的问题情景，给他一个很开阔的空间，才能够感受到合情推理的价值和意义所在。比如说在学习三角形中位线定理时，我们可能遇到过这样的问题画一个任意的四边形，连接这个四边形四边中点，得到了一个我们叫做中点四边形的图形。同样是这个素材，如果我们老师让学生求证这个中点四边形是一个平行四边形，他很快的就会过渡到演绎推理；可如果老师提出一个更开放性的问题“同学们观察我们新得到的这个四边形你觉得它的形状有什么特点，可能是怎样的

46、四边形呢？”那学生可能就要通过很多的手段直观的观察、测量、猜想等一系列手段去思考，而这个问题又不像有一些问题那么肤浅，它确实有一定的思考空间，真得琢磨琢磨，只有通过观察、测量、想象才会产生它可能是平行四边形的猜想，这个过程就显得更真实。有了这样一个过程，我们进而再去提问“为什么它是一个平行四边形？”，通过连接对角线的辅助线，构造三角形的中位线，逐渐把这个问题证明了。当然这样的例子不只一个，我们应该更多地去挖掘。 其实在代数的学习当中也有类似的例子，例如，先观察下面算式：152 -112 =104 ， 92 -72 =32 ， 132 -72 =120 ，能不能自己也写一个跟它们有同样规律的算式

47、呢？能不能用字母来表达刚才所呈现出规律呢？进一步，能不能证明刚才你所猜想的规律呢？实际上当这些算式共同的规律就是奇数的平方差，它们结果都是 8 的倍数。然后我们用字母 2m +1 和 2n+1 来表达这两个奇数，要做适当的变形，最后得出它含有 8 这个因数。这个问题是由一些特殊的例子得到的一些特殊的规律，尽管前要求学生再举几个例子，但都不能替代证明。 同样这样一个问题，如果我们直接要求“请证明两个奇数的平方差是 8 的倍数”，从结果上好像是一样的，但像前面那样设置问题的话，给学生的就不仅仅是得到这个结论了，而是他经历了观察猜想，自己又举案例去支持他的猜想，再想办法用数学符号来表达规律，进一步通过代数运算去证明。这个例子启示我们，把以前一些纯粹只有演绎这样成分的问题，尽可能改造成既有演绎又有合情推理的过程，在这当中学生的能力就得到了培养。 怎样才能够使学生经历合情推理的过程？首先应该有一个恰当的问题情境，提供一个背景问题让学生充分地去展开探讨。给了他这个情境和机会，给了他这个时间和空间，他的探讨过程才充分，他才真正能经历合情推理的过程，得到相应的数学结论，然后再去证明。所