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1、复数的向量表示第1页,本讲稿共13页一、引入一、引入 事实上事实上,把数系从实数集扩充为复数集后把数系从实数集扩充为复数集后,不仅可以把原不仅可以把原来在实数集中开方运算不总可以实施的矛盾得以解决来在实数集中开方运算不总可以实施的矛盾得以解决,而且还而且还可以用来表示坐标平面上的点可以用来表示坐标平面上的点.根据复数相等的定义根据复数相等的定义,我们知道我们知道,任何一个复数任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定唯一确定;我们还知道我们还知道,有序实数对有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的与平面直角坐标系中的点是一一对应的.由
2、此由此,可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应一对应.第2页,本讲稿共13页二、基础知识二、基础知识 1.复数的点表示复数的点表示建立复平面建立复平面:在直角坐标系中在直角坐标系中,把把x轴叫做实轴轴叫做实轴,y轴叫做虚轴轴叫做虚轴,这个坐标系叫做复平面这个坐标系叫做复平面.复数复数z=a+bi 可用点可用点Z(a,b)表示表示,横坐标横坐标a是复数是复数z的实部的实部,纵坐标纵坐标b是复数是复数z的虚部的虚部,其中其中a,b R.Z:a+biO a xyb实轴上的点都表示实数实轴上的点都表示实数;除了原除了原点以外点以外,虚轴上的点
3、都表示虚数虚轴上的点都表示虚数.复数复数z=a+bi 复平面点复平面点Z(a,b)一一对应一一对应这是复数的一种几何意义这是复数的一种几何意义.第3页,本讲稿共13页2.共轭复数共轭复数当两个复数实部相等当两个复数实部相等,虚部互为相反数时虚部互为相反数时,这两个复数这两个复数称为称为共轭复数共轭复数.特别地特别地,虚部不等于虚部不等于0的两个共轭复数也的两个共轭复数也叫做共轭虚数叫做共轭虚数.复数复数z的共轭复数用的共轭复数用 表示表示,即即z=a+bi,则则 =a-bi.的充分必要条件是的充分必要条件是 .z纯虚数纯虚数的充分必要条件是的充分必要条件是 .复平面内与一对共轭复数对应的点复平
4、面内与一对共轭复数对应的点Z和和 关于实轴关于实轴对称对称.:a-bi-bO a xyZ:a+bib第4页,本讲稿共13页3.复数的向量表示复数的向量表示设复数设复数z=a+bi对应点对应点Z(a,b),连结连结OZ,则向量则向量OZ表示复表示复数数z,(规定实数规定实数0与零向量对应与零向量对应).复数复数z=a+bi 平面向量平面向量OZ一一对应一一对应Z:a+biybO a x oz我们常把复数我们常把复数z=a+bi说成点说成点Z或向或向量量OZ,并规定并规定,相等的向量表示同相等的向量表示同一个复数一个复数.向量向量OZ的模的模r叫做复数叫做复数z=a+bi的模的模(绝对值绝对值),
5、记作记作|z|或或|a+bi|.即即|z|=|a+bi|=r=a2+b20.模的几何意义模的几何意义:表示该复数在复平面内对应点与原点表示该复数在复平面内对应点与原点之间的距离之间的距离.注意注意:任意两个复数不一定可以比较大小任意两个复数不一定可以比较大小,但它们的模但它们的模 由于都是由于都是非负的非负的实数实数,所以一定能比较大小所以一定能比较大小.显然有显然有 .第5页,本讲稿共13页4.复平面上的区域或轨迹问题复平面上的区域或轨迹问题模的几何意义表明模可以用来表示点的轨迹模的几何意义表明模可以用来表示点的轨迹.例如满足例如满足|z|=r(0)的点的轨迹是以原点为圆心的点的轨迹是以原点
6、为圆心,r为半径的圆为半径的圆.复数与点的一一对应复数与点的一一对应,使复数问题与解析几何问题相互转化使复数问题与解析几何问题相互转化.如果复数的实部与虚部是一对实变量如果复数的实部与虚部是一对实变量,那么对应的点在复平那么对应的点在复平面上就是动点面上就是动点.如果变量按某种条件变化如果变量按某种条件变化,那么复平面上对应那么复平面上对应点就构成具有某种特征的点的集合点就构成具有某种特征的点的集合或轨迹或轨迹,这样就把数与形有机地结合起来了这样就把数与形有机地结合起来了.下面的图形是几种常见的轨迹图下面的图形是几种常见的轨迹图.z=a+biZ(a,b)OZ一一对应一一对应一一 一对应一对应一
7、一对应一一对应第6页,本讲稿共13页-a o a x-a o a x-a -b o b a xyyy|z|=a|z|ab|z|a -a o a x o x o xyyy|Re(z)|a|Im(z)|b|Im(z)|bbb第7页,本讲稿共13页三、例题分析三、例题分析例例1:试求实数试求实数m的值或取值范围的值或取值范围,使复数使复数z=(m2-m+2)+(m2-3m+2)i在复平面内的对应点在在复平面内的对应点在 (1)实轴的负半轴上实轴的负半轴上;(2)第二象限第二象限.解解:(1)(2)第8页,本讲稿共13页例例2:解方程解方程:3z+|z|=1-3i.解解:设设z=x+yi(x,yR),
8、则则3(x+yi)+|x+yi|=1-3i,即即 3x+3yi=1-3i.由复数相等的条件得由复数相等的条件得:所以所以z=-i.延伸延伸1:已知已知z=|z|i,求复数求复数z的对应点的轨迹的对应点的轨迹.解解:设设z=x+yi(x,yR),则则x+yi=所以复数所以复数z的对应点的轨迹是虚轴的上半轴和原点的对应点的轨迹是虚轴的上半轴和原点(即轨迹是一条射线即轨迹是一条射线).第9页,本讲稿共13页例例3:设全集为设全集为C,A=z|z|-1|=1-|z|,zC,B=z|z|1,z C,若若zA(C CCB),求复数求复数z在复平面内对应点的在复平面内对应点的 轨迹轨迹.解解:由由|z|-1
9、|=1-|z|R,得得|z|-10,即即|z|1;故故A=z|z|1,zC.由由B=z|z|Imz;(3)z=-1+ai且且|z|.所以轨迹是连接所以轨迹是连接(-1,-1)与与(-1,1)的线段的线段(包括端包括端点点).-1 O x-1y1第11页,本讲稿共13页四、小结四、小结1.复数与点及向量均建立了一一对应关系复数与点及向量均建立了一一对应关系,这两种对应关这两种对应关系是把复数给以几何解释的依据系是把复数给以几何解释的依据.学习时要注意从不同的学习时要注意从不同的角度认识并分析复数问题角度认识并分析复数问题,以便寻求最佳的解题途径以便寻求最佳的解题途径.2.由复平面内适合某种条件的
10、点的集合来求其对应的复由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对应的复 数集时数集时,通常是由其对应关系列出方程或不等式通常是由其对应关系列出方程或不等式(组组)成成 混合组混合组,求得复数的实部、虚部的值或范围求得复数的实部、虚部的值或范围,来确定所来确定所 求的复数集求的复数集.3.复数与其对应点之间的相互转化是通过复数的实部、复数与其对应点之间的相互转化是通过复数的实部、虚部与点的坐标间的关系来实现的虚部与点的坐标间的关系来实现的.4.数的范围扩充后数的范围扩充后,原有的运算性质在新的数域内不一原有的运算性质在新的数域内不一 定成立定成立,所以实数范围内的运算性质所以实数范围内的运算性质,
11、在复数范围内需在复数范围内需 证明后方可使用证明后方可使用.第12页,本讲稿共13页五、作业五、作业5.要重视共轭复数及其性质的应用要重视共轭复数及其性质的应用,很多时候很多时候,运用共轭运用共轭 复数的性质解题复数的性质解题,能使解题过程简洁明了能使解题过程简洁明了.6.对于复数的模对于复数的模,可以从以下两个方面进行理解可以从以下两个方面进行理解:一是任一是任 何复数的模都表示一个非负的实数何复数的模都表示一个非负的实数;二是复数的模表二是复数的模表 示该复数在复平面内对应点与原点的距离示该复数在复平面内对应点与原点的距离.所以复数的所以复数的 模是绝对值概念由实数的一维空间向二维空间的一种模是绝对值概念由实数的一维空间向二维空间的一种 推广推广.第13页,本讲稿共13页