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1、高三年级第一学期第三次学分认定考试数学试题一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1.函数的最小正周期是 .2已知函数是偶函数，则 3. 抛物线的焦点坐标是 . 4 5. 已知复数满足（2i）5(i为虚数单位)，则_ 6.已知，则值为 7已知，求8已知满足，则最大值为_9设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则 10. 与曲线共焦点并且与曲线共渐近线的双曲线方程为 .11. 直线与曲线相切于点，则b的值为 . 12.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得OMN=45，则的取值范围是_.13.为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数.则
2、，这6个数中的最大值是 14设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 。二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15. （本题满分14分）已知函数，（1）若，求函数的最大值与最小值；（2）若，且，求的值.16. (本小题满分14分)已知圆C：点A(-5，0),直线 （1）求与圆C相切，且与直线垂直的直线方程。（2）若在直线OA上（O为原点坐标），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任意一点P，都有为一常数，求所有满足条件的定点B的坐标17. (本小题满分14分)某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如
3、图所示的抛物线一段.已知跳水板AB长为2m,跳水板距水面CD的高BC为3m.为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm(h1)时达到距水面最大高度4m.规定:以CD为横轴,BC为纵轴建立直角坐标系.(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时h的取值范围.ACDBFE23562+h18. (本小题满分16分) 在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且.()求直线与交点的轨迹的方程;()已知点()是轨迹上的定点,是轨迹上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率满足,试探究直线的斜率是否是定值?若是定值,求出
4、这个定值,若不是,说明理由.19(本小题满分16分)设为关于n的k次多项式数列an的首项，前n项和为对于任意的正整数n，都成立（1）若，求证：数列an是等比数列；（2）试确定所有的自然数k，使得数列an能成等差数列20.(本小题满分16分)已知函数图象上一点处的切线方程为（）求的值；（）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数） （）令，如果图象与轴交于,()，中点为，求证：在处的导数附加题1. （10分）已知矩阵，求矩阵2（10分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆的位置关
5、系3(10分) 如图，在正方体中，是棱的中点，在棱上.且，若二面角的余弦值为，求实数的值.4（ 10分）已知抛物线L的方程为，直线截抛物线L所得弦求p的值；抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由参考答案.1. 2. -2 3. 4. 1 5. 6. 7 7. 8。25。 9. 410. 11. 3 12. 13. 14.515.答案：（1） ，2分， 6分分别在时取得. 8分（2），11分又， . 14分16.解：（1）设所求直线方程为y=2x+b，即2x+yb=0，直线与圆相切， ，得，所求直
6、线方程为，.6分（2）假设存在这样的点B（t，0），使得为常数，则=2PA2，（xt）2+y2=2（x+5）2+y2，将y2=9x2代入得， x22xt+t2+9x2=2（x2+10x+25+9x2），即2（52+t）x+342t29=0对x3，3恒成立，解得或（舍去），所以存在点对于圆C上任一点P，都有为常数14分则,答,此时h的取值范围. 18.19.【证】（1）若，则即为常数，不妨设（c为常数）因为恒成立，所以，即而且当时， ， 得 若an=0，则，a1=0，与已知矛盾，所以故数列an是首项为1，公比为的等比数列4分（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去 (ii) 若k=1，
7、设（b，c为常数），当时， ， 得 7分要使数列an是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数），而a1=1，故an只能是常数数列，通项公式为an =1，故当k=1时，数列an能成等差数列，其通项公式为an =1，此时9分(iii) 若k=2，设（，a，b，c是常数），当时， ， 得 ， 12分要使数列an是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有，且d=2a，考虑到a1=1，所以故当k=2时，数列an能成等差数列，其通项公式为，此时（a为非零常数）14分(iv) 当时，若数列an能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2，故数列an不能成等差数列综上得，当且仅当k=1或2时，数列an能成等
8、差数列 16分20. 解：（），且 2分解得 4分（），令，则，令，得（舍去）在内，当时， 是增函数；当时， 是减函数 5分则方程在内有两个不等实根的充要条件是7分即 8分（），假设结论成立，则有 12分，得 10分由得，即即 11分令，（)， 12分则0在上增函数， ，式不成立，与假设矛盾 16分附加题1.解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故，b=0，c=0，d=.6分从而A的逆矩阵为=10分2解：（1）消去参数，得直线的普通方程为；-2分即，两边同乘以得，消去参数，得的直角坐标方程为：-6分（2）圆心到直线的距离，所以直线和相交-10分3.解：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为，；， -2分设平面法向量为，而，所以，可得一个法向量=，-6分设面的一个法向量为， 则， -8分即：，又因为点在棱上，所以.-10分解：由解得， 4由得假设抛物线L上存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线令圆的圆心为，则由得得 6抛物线L在点C处的切线斜率又该切线与垂直， 8，故存在点C且坐标为（-2,1） 10