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1、第11讲二重积分及其计算第1页，本讲稿共67页对 D 进行分割：小曲顶柱体曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积引例引例1 1第2页，本讲稿共67页(底面积)(高)小曲顶柱体的体积.小平顶柱体体小平顶柱体体积为：积为：近似代替近似代替 第3页，本讲稿共67页曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积第4页，本讲稿共67页.均匀分布时：均匀分布时：均匀分布时：均匀分布时：质量质量质量质量=密度密度密度密度面积面积面积面积非均匀分布时平面薄板质量问题引例引例2 2第5页，本讲稿共67页.非均匀分布时平面薄板质量问题第6页，本讲稿共67页 比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量 小曲顶柱体 平面薄板小块(底)(高)(密度)
2、(面积)(面积)(小块)第7页，本讲稿共67页一一.二重积分的定义二重积分的定义两个无关两个无关第8页，本讲稿共67页第9页，本讲稿共67页二重积分定义的几点说明：第10页，本讲稿共67页第11页，本讲稿共67页二二.二重积分的性质二重积分的性质性质性质 2性质性质 3性质性质 1第12页，本讲稿共67页推论推论1推论推论2性质性质 4第13页，本讲稿共67页性质性质 6性质性质 5第14页，本讲稿共67页性质性质 7第15页，本讲稿共67页解解例1第16页，本讲稿共67页第17页，本讲稿共67页解解例2第18页，本讲稿共67页三三.二重积分的几何意义二重积分的几何意义曲曲顶顶柱柱体体的的体体
3、积积第19页，本讲稿共67页.曲曲曲曲顶顶顶顶柱柱柱柱体体体体的的的的体体体体积积积积第20页，本讲稿共67页.曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积第21页，本讲稿共67页综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法,得到就是说,二重积分可以通过两次定积分来计算.第22页，本讲稿共67页四四.二重积分的计算二重积分的计算1.直角坐标系下的二重积分计算2.二重积分的换元法3.极坐标系下二重积分的计算第23页，本讲稿共67页1.直角坐标系下的二重积分计算(1).x型区域上的二重积分计算(2).y型区域上的二重积分计算(3).二重积分的换序问题第24页，本讲稿共67页（1 1）x-型区域上的二重积分计算型区域上的二
4、重积分计算第25页，本讲稿共67页第26页，本讲稿共67页第27页，本讲稿共67页第28页，本讲稿共67页解解(另一点舍去另一点舍去)例3第29页，本讲稿共67页第30页，本讲稿共67页解解被积函数是什么？例4第31页，本讲稿共67页第32页，本讲稿共67页练习第33页，本讲稿共67页(2).y-型区域上的二重积分计算型区域上的二重积分计算第34页，本讲稿共67页第35页，本讲稿共67页解解例5第36页，本讲稿共67页第37页，本讲稿共67页(3).二重积分的换序问题第38页，本讲稿共67页第39页，本讲稿共67页解解例6第40页，本讲稿共67页解解例7第41页，本讲稿共67页证证例8第42页
5、，本讲稿共67页例9解解第43页，本讲稿共67页第44页，本讲稿共67页练解解第45页，本讲稿共67页2.二重积分的换元法第46页，本讲稿共67页注意：第47页，本讲稿共67页例10解解第48页，本讲稿共67页矩形区域第49页，本讲稿共67页第50页，本讲稿共67页练习解解第51页，本讲稿共67页3.极坐标系下二重积分的计算第52页，本讲稿共67页第53页，本讲稿共67页第54页，本讲稿共67页(1)(1)极点位于积分区域外极点位于积分区域外第55页，本讲稿共67页(2)(2)极点位于积分区域边界上极点位于积分区域边界上第56页，本讲稿共67页(3)(3)极点位于积分区域内部极点位于积分区域内
6、部第57页，本讲稿共67页例12解解该题能在直角坐标系下计算吗？第58页，本讲稿共67页例13证证第59页，本讲稿共67页第60页，本讲稿共67页第61页，本讲稿共67页第62页，本讲稿共67页例14解解第63页，本讲稿共67页第64页，本讲稿共67页练习练习解解第65页，本讲稿共67页 练习练习 求球体求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面被圆柱面x2 y2 2ax所截得的所截得的(含在圆柱面含在圆柱面内的部分内的部分)立体的体积立体的体积 解 由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍 在极坐标系中D可表示为 第66页，本讲稿共67页 练习练习 求球体求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面被圆柱面x2 y2 2ax所截得的所截得的(含在圆柱面含在圆柱面内的部分内的部分)立体的体积立体的体积 解 由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍 在极坐标系中D可表示为 第67页，本讲稿共67页