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1、第11讲二重积分及其计算第1页，共67页，编辑于2022年，星期一对 D 进行分割：小曲顶柱体曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积引例引例1 1第2页，共67页，编辑于2022年，星期一(底面积)(高)小曲顶柱体的体积.小平顶柱体体积为：近似代替近似代替 第3页，共67页，编辑于2022年，星期一曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积第4页，共67页，编辑于2022年，星期一.均匀分布时：均匀分布时：质量质量=密度密度面积面积非均匀分布时平面薄板质量问题引例引例2 2第5页，共67页，编辑于2022年，星期一.非均匀分布时平面薄板质量问题第6页，共67页，编辑于2022年，星期一 比较分割后小曲顶柱体体积与平面
2、薄板质量 小曲顶柱体 平面薄板小块(底)(高)(密度)(面积)(面积)(小块)第7页，共67页，编辑于2022年，星期一一一.二重积分的定义二重积分的定义两个无关两个无关第8页，共67页，编辑于2022年，星期一第9页，共67页，编辑于2022年，星期一二重积分定义的几点说明：第10页，共67页，编辑于2022年，星期一第11页，共67页，编辑于2022年，星期一二二.二重积分的性质二重积分的性质性质性质 2性质性质 3性质性质 1第12页，共67页，编辑于2022年，星期一推论推论1推论推论2性质性质 4第13页，共67页，编辑于2022年，星期一性质性质 6性质性质 5第14页，共67页，
3、编辑于2022年，星期一性质性质 7第15页，共67页，编辑于2022年，星期一解解例1第16页，共67页，编辑于2022年，星期一第17页，共67页，编辑于2022年，星期一解解例2第18页，共67页，编辑于2022年，星期一三三.二重积分的几何意义二重积分的几何意义曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积第19页，共67页，编辑于2022年，星期一.曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积第20页，共67页，编辑于2022年，星期一.曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积第21页，共67页，编辑于2022年，星期一综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法,得到就是说,二重积分可以通过两次定积分来计算.第22页，共67页，编辑于
4、2022年，星期一四四.二重积分的计算二重积分的计算1.直角坐标系下的二重积分计算2.二重积分的换元法3.极坐标系下二重积分的计算第23页，共67页，编辑于2022年，星期一1.直角坐标系下的二重积分计算(1).x型区域上的二重积分计算(2).y型区域上的二重积分计算(3).二重积分的换序问题第24页，共67页，编辑于2022年，星期一（1 1）x-型区域上的二重积分计算型区域上的二重积分计算第25页，共67页，编辑于2022年，星期一第26页，共67页，编辑于2022年，星期一第27页，共67页，编辑于2022年，星期一第28页，共67页，编辑于2022年，星期一解解(另一点舍去另一点舍去)
5、例3第29页，共67页，编辑于2022年，星期一第30页，共67页，编辑于2022年，星期一解解被积函数是什么？例4第31页，共67页，编辑于2022年，星期一第32页，共67页，编辑于2022年，星期一练习第33页，共67页，编辑于2022年，星期一(2).y-型区域上的二重积分计算型区域上的二重积分计算第34页，共67页，编辑于2022年，星期一第35页，共67页，编辑于2022年，星期一解解例5第36页，共67页，编辑于2022年，星期一第37页，共67页，编辑于2022年，星期一(3).二重积分的换序问题第38页，共67页，编辑于2022年，星期一第39页，共67页，编辑于2022年，
6、星期一解解例6第40页，共67页，编辑于2022年，星期一解解例7第41页，共67页，编辑于2022年，星期一证证例8第42页，共67页，编辑于2022年，星期一例9解解第43页，共67页，编辑于2022年，星期一第44页，共67页，编辑于2022年，星期一练解解第45页，共67页，编辑于2022年，星期一2.二重积分的换元法第46页，共67页，编辑于2022年，星期一注意：第47页，共67页，编辑于2022年，星期一例10解解第48页，共67页，编辑于2022年，星期一矩形区域第49页，共67页，编辑于2022年，星期一第50页，共67页，编辑于2022年，星期一练习解解第51页，共67页，
7、编辑于2022年，星期一3.极坐标系下二重积分的计算第52页，共67页，编辑于2022年，星期一第53页，共67页，编辑于2022年，星期一第54页，共67页，编辑于2022年，星期一(1)(1)极点位于积分区域外极点位于积分区域外第55页，共67页，编辑于2022年，星期一(2)(2)极点位于积分区域边界上极点位于积分区域边界上第56页，共67页，编辑于2022年，星期一(3)(3)极点位于积分区域内部极点位于积分区域内部第57页，共67页，编辑于2022年，星期一例12解解该题能在直角坐标系下计算吗？第58页，共67页，编辑于2022年，星期一例13证证第59页，共67页，编辑于2022年
8、，星期一第60页，共67页，编辑于2022年，星期一第61页，共67页，编辑于2022年，星期一第62页，共67页，编辑于2022年，星期一例14解解第63页，共67页，编辑于2022年，星期一第64页，共67页，编辑于2022年，星期一练习练习解解第65页，共67页，编辑于2022年，星期一 练习练习 求球体求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面被圆柱面x2 y2 2ax所截得的所截得的(含在圆柱面含在圆柱面内的部分内的部分)立体的体积立体的体积 解 由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍 在极坐标系中D可表示为 第66页，共67页，编辑于2022年，星期一 练习练习 求球体求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面被圆柱面x2 y2 2ax所截得的所截得的(含在圆柱面含在圆柱面内的部分内的部分)立体的体积立体的体积 解 由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍 在极坐标系中D可表示为 第67页，共67页，编辑于2022年，星期一