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1、1.1.1集合的含义与表示教案【教学目标】1.了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；2. 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；3. 掌握常用数集及其记法；4.了解集合的表示方法； 5.能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.【导入新课】 一、实例引入：军训前学校通知：8月20日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念集合，即是
2、一些研究对象的总体.二、问题情境引入：我们高一（一）班一共52人，其中班长张三，现有以下问题： 52人组成的班集体能否组成一个整体？ 张三和52人所组成的班集体是什么关系? 假设李四是相邻班的学生，问他与高一一班是什么关系？新授课阶段（一）集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集.3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1） 大于3小于11的偶数；（2） 我国的小河流；（3
3、） 非负奇数；（4） 方程的解；（5） 某校2012级新生；（6） 血压很高的人；（7） 著名的数学家；（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点；（9） 全班成绩好的学生.对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题.4. 关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关.（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样.(二) 元素与集合的
4、关系 1. （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：aA；（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：aA，例如，我们A表示“120以内的所有质数”组成的集合，则有3A， 4A，等等.2集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,表示.3常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.例1 若集合A为所以大于1 二小于3的实数组成的集合，则下面说法正确的为（ ） A .C. D.解析：根据元
5、素与集合的关系可得，答案C.答案： C例2用“”或“”符号填空： （1）8 N； （2）0 N； （3）-3 Z； （4） Q； （5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A.答案：例3 判断下列各句的说法是否正确：(1) 所有在N中的元素都在N*中 ()(2) 所有在N中的元素都在Z中 ()(3) 所有不在N*中的数都不在Z中 ()(4) 所有不在Q中的实数都在R中 ()(5) 由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0 ()(6) 不在N中的数不能使方程4x8成立 ()答案： ，例 4 已知集合P的元素为, 若且-1P，求实数m的值解：根据，得若 此时不
6、满足题意；若解得此时或（舍），综上 符合条件的 .点评：本题综合运用集合的定义和元素与集合的关系解题，注意集合的性质的运用.（三）集合的表示方法我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法.如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，说明：1集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.2各个元素之间要用逗号隔开；3元素不能重复； 4集合中的元素可以数，点，代数式等；5对于含有较多元素的集合，用列举法表示时
7、，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为.例5 用列举法表示下列集合：(1)x24的一次因式组成的集合. (2)yyx22x3，xR,yN.(3)方程x26x90的解集. (4)20以内的质数.(5)（x，y）x2y21，xZ,yZ. (6)大于0小于3的整数(7)xRx25x140. (8)（x，y）xN，且1x4，y2x0.(9)（x，y）xy6，xN，yN.分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.解：(1)因x24（x2）（x2），故符合题意的集合为x2，x2.(2)yx22x3（x1）24，即y
8、4，又yN，y0，1，2，3，4.故yyx22x3，xR,yN0，1，2，3，4.(3)由x26x90得 x1x23，方程x26x90的解集为3.(4)20以内的质数2，3，5，7，11，13，17，19.(5)因xZ , yZ ，则x1，0，1时，y0，1，1.那么(x，y)x2y21，xZ ,yZ（1，0），（0，1），（0，1），（1，0）.(6)大于0小于3的整数1，2.(7)因x25x140的解为x17，x22，则xRx25x1407，2.(8)当xN且1x4时，x1，2，3，此时y2x，即y2，4，6.那么（x，y）xN且1x4，y2x0（1，2），（2，4），（3，6）.(9)（
9、x，y）xy6，xN，yN（0，6）（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）.（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内.具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.一般格式：如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，x直角三角形，；说明：1课本P5最后一段话；2描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(x,y)|y= x2+3x+2与 y|y= x2+3x+2是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：x整数，即代表整数集Z.辨析：这里的
10、 已包含“所有”的意思，所以不必写全体整数.下列写法实数集，R也是错误的.说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.例6 用描述法表示下列集合：(1)方程2xy5的解集. (2)小于10的所有非负整数的集合.(3)方程axby0（ab0）的解. (4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.(5)平面直角坐标系中第、象限点的集合.(6)方程组的解的集合. (7)1，3，5，7，.(8)x轴上所有点的集合. (9)非负偶数.(10)能被3整除的整数.分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元
11、素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.解：(1)（x，y）2xy5.(2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为x0x10，xZ.(3)方程axby0（ab0）的解用描述法表示为（x，y）axby0（ab0）.(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为xx3.(5)平面直角坐标系中第、象限点的集合用描述法表示为（x，y）xy0.(6)方程组的解的集合用描述法表示为（x，y）.(7)1，3，5，7，用描述法表示为xx2k1，kN*.(8)x轴上所有点的集合用描述法表示为（x，y）xR，y0.(9)非负偶数用描述法表示为xx2k，kN.(10)能被3
12、整除的整数用描述法表示为xx3k，kZ.（3）文恩图法：集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)叙述如下：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图： 表示任意一个集合A表示3，9，27 表示4，6，10边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.例7设集合Axx2k，kZ，Bxx2k1，kZ，Cxx4k1，kZ，又有aA，bB，判断元素ab与集合A、B和C的关系.解：因Axx2k，kZ，Bxx2k1，kZ，则集合A由偶数构成，集合B由奇数构成.即a是偶数，b是奇数 设a2m，b2n1（mZ
13、 ,nZ）则ab2（mn）1是奇数，那么abA，abB.又Cxx4k1，kZ是由部分奇数构成且x4k122k1.故mn是偶数时，abC；mn不是偶数时，abC综上abA，abB，abC.课堂小结1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等.2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之.3. 集合的常用表示方法，包括列举法、描述法.作业1习题1.1，第1- 2题；2预习集合的表示方法.拓展提升1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：(1)所有绝对值等于8的数的集合A； (2)所有绝对值小于8的整数的集合B.2.下列各组对象不
14、能形成集合的是（ ）A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数 D.函数y图象上所有的点3.下列条件能形成集合的是（ ）A.充分小的负数全体 B.爱好飞机的一些人C.某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程4.集合A的元素由kx23x20的解构成，其中kR，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.5.若xR，则3，x，x22x中的元素x应满足什么条件?6.方程 ax25xc0的解集是，则a_，c_.7.集合A的元素是由xab（aZ,bZ）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，.参考答案1. 分析：由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合
15、，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.解：(1)A绝对值等于8的数 其元素为：8，8(2)B绝对值小于8的整数其元素为：7，6，5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5，6，7.2. 解：综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B.3 解：综观该题的四个选择支，A、B、C的对象不确定，惟有D某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D.4. 解：由题A中元素即方程kx23x20(kR)的根若k0，则x，知A中有一个元素，符合题设若k0，则方程为一元二次方程.当98k0即k时，kx23x20有两相等的实数根，此时A中有
16、一个元素.又当98k0即k时,kx23x20无解.此时A中无任何元素，即A也符合条件综上所述 k0或k评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.5. 解：集合元素的特征说明3，x，x22x中元素应满足关系式 即 也就是即x1，0，3满足条件.6. 解：方程ax25xc0的解集是，那么、是方程两根即有得 那么 a6，c17.解：因xab，aZ ,bZ则当ab0时，x0又11当ab1时，x1又当a，b1时，ab而此时Z，故有：A，故0A，A，A.8.解：若x是整数，则有xx15，x与x是整数相矛盾，若x不是整数，则x必在两个连续整数之间设nxn1则有n（n1）15，2n14，n7 即7x8 x（7，8）