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1、第二章 随机变量及其分布关键词：随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数1第一节第一节 随随 机机 变变 量量 在上一章中，我们把随机事件看作样本空间在上一章中，我们把随机事件看作样本空间的子集；这一章里我们将引入随机变量的概念，的子集；这一章里我们将引入随机变量的概念，用随机变量的取值来描述随机事件。用随机变量的取值来描述随机事件。一、随机变量一、随机变量引例：引例：E1:将一枚硬币连掷两次，观察正反面出现的情况。将一枚硬币连掷两次，观察正反面出现的情况。2e1=（正，正）（正，正）2e2=（正，反）（正，反）1e3=（反，正（反，正)1e4=（反，反）（反，反
2、）0 令令X=“正面出现的次数正面出现的次数”，则则X是一个随着试是一个随着试验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：由上可知，对每一个样本点由上可知，对每一个样本点e，都有一个，都有一个X的取值的取值X(e)基本结果基本结果(e)正面出现的次数正面出现的次数X(e)3与之对应。与之对应。我们把我们把X称为定义在这个试验上的随机变量。称为定义在这个试验上的随机变量。E2：掷一枚骰子，观察出现的点数：掷一枚骰子，观察出现的点数.令令X=“正面出现的点数正面出现的点数”E3：某产品的使用寿命：某产品的使用寿命X,X=0.E4：掷一枚质地均匀的硬币，观察正
3、反面出现的：掷一枚质地均匀的硬币，观察正反面出现的情况情况.4 一般地，对每一个随机试验，我们都可以引入一般地，对每一个随机试验，我们都可以引入一个变量一个变量X，使得试验的每一个样本点都有一个，使得试验的每一个样本点都有一个X的取值的取值X(e)与之对应，这样与之对应，这样就得到随机变量的概念就得到随机变量的概念.1 1、随机变量的定义、随机变量的定义、随机变量的定义、随机变量的定义:设设E是一个随机试验，其样本空间为是一个随机试验，其样本空间为S=e，在，在E上引入一个变量上引入一个变量X，如果对，如果对S中每一个样本点中每一个样本点e，都都有有一个一个X的取值的取值X(e)与之对应，我们
4、就与之对应，我们就称称X为定义为定义在随机试验在随机试验E的一个的一个随机变量随机变量.5（2）引入随机变量的目的：）引入随机变量的目的：用随机变量的取值范围表示随机事件，利用高等数用随机变量的取值范围表示随机事件，利用高等数学的工具研究随机现象。学的工具研究随机现象。事件事件“正面至少出现一次正面至少出现一次”可表示为可表示为:“X1 1”；2、随机变量的说明随机变量的说明随机变量的说明随机变量的说明（1 1）随机变量的表示：随机变量的表示：常用字母常用字母X,Y,Z，.表示表示;例如：上例中，事件例如：上例中，事件“正面出现两次正面出现两次”可表示为可表示为:“0X2”表示事件表示事件“正
5、面至少出现一次正面至少出现一次”。“X=2”；6例如：上例中例如：上例中P(X=2)=1/4；P(X)=3/4；P(0X 2)=3/4；随机变量的取值具有一定的概率随机变量的取值具有一定的概率：(4)随机变量的类型：随机变量的类型：这两种类型的随机变量因其取值方式的不同各这两种类型的随机变量因其取值方式的不同各有特点，学习时注意它们各自的特点及描述方式有特点，学习时注意它们各自的特点及描述方式的不同。的不同。具有随机性具有随机性:在一次试验之前不知道它取哪一个在一次试验之前不知道它取哪一个值，但事先知道它全部可能的取值。值，但事先知道它全部可能的取值。（3 3）随机变量的特点随机变量的特点:离
6、散型与连续型随机变量离散型与连续型随机变量。7 例例1（用随机变量的取值表示随机事件）用随机变量的取值表示随机事件）一报童一报童卖报，每份报卖报，每份报0.50元元,其成本为其成本为0.30元。元。报馆每天给报馆每天给报童报童1000份报纸，并规定卖不出的报纸不得退回。份报纸，并规定卖不出的报纸不得退回。解：分析解：分析报童赔钱报童赔钱 卖出报纸的钱不够成本卖出报纸的钱不够成本当当 0.50 X1000 0.3时，报童赔钱时，报童赔钱.故故报童赔钱报童赔钱 X 600 令令X=“报童每天卖出的报纸份数报童每天卖出的报纸份数”试将试将“报童赔钱报童赔钱”这一事件用这一事件用X的取值表的取值表示出
7、来。示出来。8（1）随机变量）随机变量X可能取哪些值？可能取哪些值？（2）随机变量）随机变量X取某个值的概率是多大？取某个值的概率是多大？3、随机变量的概率分布、随机变量的概率分布引入随机变量后引入随机变量后,上述说法相应变为下列表述方式：上述说法相应变为下列表述方式：对于一个随机试验，我们关心下列两件事情：对于一个随机试验，我们关心下列两件事情：（1）试验会发生一些什么事件？）试验会发生一些什么事件？（2）每个事件发生的概率是多大？）每个事件发生的概率是多大？9 对一个随机变量对一个随机变量X，若给出了以上两条，我们，若给出了以上两条，我们就说给出了就说给出了随机变量随机变量X的概率分布的概
8、率分布(也称分布律）。也称分布律）。这一章我们的中心任务是学习这一章我们的中心任务是学习离散型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布与连续型随机变量的概率分布.102 离散型随机变量及其分布11 如果随机变量如果随机变量X X所有可能的取值是有限个或所有可能的取值是有限个或无穷可列个，则无穷可列个，则称称X X为离散型随机变量。为离散型随机变量。一、一、离散型随机变量的定义及其分布律离散型随机变量的定义及其分布律离散型随机变量的定义及其分布律离散型随机变量的定义及其分布律1.1.离散型随机变量的离散型随机变量的定义定义定义定义2.离散型随机变量离散型随机变量的分布律的分布律 要掌握一
9、个离散型随机变量的分布律，必须要掌握一个离散型随机变量的分布律，必须且只需知道以下两点：且只需知道以下两点：(1)X所有可能的取值所有可能的取值:(2)(2)X取每个值时的概率取每个值时的概率:12称称(1)式为式为离散型随机变量离散型随机变量X X的分布律的分布律.注注注注:离散型离散型随机变量随机变量X的分布律可用公式法和表格的分布律可用公式法和表格法描述。法描述。1)1)公式法公式法:2)2)表格法表格法:LL21kpppxxX2113X012pk1/42/41/4 例例1：将一枚硬币连掷两次，求将一枚硬币连掷两次，求“正面出现的次正面出现的次数数X”的分布律。的分布律。解：解：在此试验
10、中，所有可能的结果有：在此试验中，所有可能的结果有：e1=（正，正）；（正，正）；e2=（正，反）；（正，反）；e3=（反，正（反，正)；e4=（反，反）。（反，反）。于是，正面出现的次数于是，正面出现的次数X”的分布律：的分布律：14图形表示1516程序x=0,1,2;pk=1/4,2/4,1/4;figure(color,w)plot(x,pk,r.,MarkerSize,31)ylim(0 0.6)xlim(0,2.3)text(x(1),pk(1),num2str(pk(1),FontSize,21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2),FontSize,21)
11、;text(x(3),pk(3),num2str(pk(3),FontSize,21);figure(color,w)plot(x,pk,r.,MarkerSize,31)hold onplot(x,pk,r-.)ylim(0 0.6)hold offxlim(0,2.3)text(x(1),pk(1),num2str(pk(1),FontSize,21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3),FontSize,21);figure(color,w)bar(x,pk,0.1,r)ylim
12、(0 0.6)text(x(1),pk(1),num2str(pk(1),FontSize,21);xlim(0,2.3)text(x(2),pk(2),num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3),FontSize,21);figure(color,w)stem(x,pk,r.,MarkerSize,31)ylim(0 0.6)xlim(0,2.3)text(x(1),pk(1),num2str(pk(1),FontSize,21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2),FontSize,21);tex
13、t(x(3),pk(3),num2str(pk(3),FontSize,21);173 3 3 3、离散型随机变量分布律的性质离散型随机变量分布律的性质 例例:设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：试求常数试求常数a.18例例3:设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：试求常数试求常数a.19练习练习:设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：试确定常数试确定常数b.解：由分布律的性质，有解：由分布律的性质，有20 解：解：解：解：X所有可能的取值为：所有可能的取值为：0，1，2，3；例例例例4:4:设有产品设有产品100件，其中件，其中3件是次品。从中有放回件是次品。从中有
14、放回地任取地任取3件，求件，求“取得次品件数取得次品件数X”的分布律。的分布律。21 这个分布其实就是将要介绍二项分布。我们先来这个分布其实就是将要介绍二项分布。我们先来看一个重要的试验看一个重要的试验伯努利（伯努利（Bernoulli）试验。）试验。22二、伯努利（二、伯努利（二、伯努利（二、伯努利（BernoulliBernoulli）试验及二项分布）试验及二项分布）试验及二项分布）试验及二项分布(1)n(1)n次独立重复试验次独立重复试验1、伯努利（、伯努利（Bernoulli）试验）试验将试验将试验E重复进行重复进行n次次,若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响,则称这则称这
15、n次试验是相互独立的次试验是相互独立的.(2)n重重伯伯伯伯努利试验努利试验满足下列条件的试验称为伯努利（满足下列条件的试验称为伯努利（Bernoulli）试验）试验:每次试验都在相同的条件下每次试验都在相同的条件下重复重复进行；进行；23 每次试验只有每次试验只有两个两个可能的结果可能的结果:A及及 每次试验的结果相互每次试验的结果相互独立。独立。若用若用X表示表示n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次数发生的次数,则则n次试验中事件次试验中事件A发生发生k次的概率为：次的概率为：证明：证明：在在n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A在前在前k次出次出现，而在后现，而在后n-
16、k次不出现的概率为次不出现的概率为:若满足上述条件的试验重复进行若满足上述条件的试验重复进行n次次,则称这则称这一串试验为一串试验为n重伯努利重伯努利(Bernoulii)试验。试验。24而事件而事件A在在n次试验中发生次试验中发生k次的方式为：次的方式为：252 2、二项分布、二项分布 用用X表示表示n重重Bernoulli试验中事件试验中事件A发生的次发生的次数，数，则，则X的分布律为的分布律为:此时此时称称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布,记为记为 XB(n,p).例例例例1 1：将将 一枚均匀的骰子掷一枚均匀的骰子掷4次，求次，求3次掷出次掷出5点点的概率的概率的概率的
17、概率.26 解：解：令令A=“掷出掷出5 5点点”，令令令令X X X X=“4 4 4 4次抛掷中掷出次抛掷中掷出次抛掷中掷出次抛掷中掷出5 5 5 5点的次数点的次数点的次数点的次数”，则，则，则，则4 4 4 4次抛掷中次抛掷中次抛掷中次抛掷中3 3 3 3次掷出次掷出次掷出次掷出5 5 5 5点的点的点的点的概率为：概率为：概率为：概率为：27程序和结果x=0:4;y=binopdf(x,4,1/6);figure(color,w)plot(x,y,r.,MarkerSize,31)figure(color,w)bar(x,y,0.1,r)pxequal3=y(4)pxequal3=0
18、.0154320987654328例例2 2：设有设有8080台同类型设备，各台工作是相互独台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是立的，发生故障的概率都是0.010.01，且一台设备，且一台设备的故障能有一个人处理。的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，考虑两种配备维修工人的方法，其一是由其一是由4 4个人维护，每人负责个人维护，每人负责2020台；台；其二是由其二是由3 3个人共同维护个人共同维护8080台。台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。维修的概率的大小。2930例例3 3：某人骑了自行车从学
19、校到火车站，一路 上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次红灯的概率。解：这是三重贝努利试验 31例例4 4：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0p0为一常数，为一常数，n是任意正整数。设是任意正整数。设npn=,则则对任一固定的非负整数对任一固定的非负整数k，有，有 考虑到直接计算上式较麻烦，当考虑到直接计算上式较麻烦，当n很大很大p很小时，很小时，有下列近似计算公式：有下列近似计算公式：1、PoissonPoisson定理定理定理定理35362 2 2 2、泊松分布、泊松分布
20、、泊松分布、泊松分布定义：定义：定义：定义：若随机变量若随机变量X所有可能的取值为所有可能的取值为0,1,2,而而取每个值的概率为取每个值的概率为:则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布(Poisson),记为记为:1)泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的X().说明说明：37数学模型都是数学模型都是Bernoulli概型。概型。Poisson分布分布是二项分布当是二项分布当n很大很大p 很小时的近似计算。很小时的近似计算。38程序对比程序对比泊松分布与二项分布泊松分布与二项分布poisspdf(k,Lambda)（a)n=20;p=0.0
21、4;(b)n=8;p=0.4;39上两图程序代码figure(color,w)n=20;p=0.04;x=0:n;y=binopdf(x,n,p);plot(x,y,r,LineWidth,3)xlim(0,n)lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);hold onplot(x,z,g-.,LineWidth,3)hold offlegend(二项分布:n=20,p=0.04,lambda=n*p=0.8)figure(color,w)n=8;p=0.4;x=0:n;y=binopdf(x,n,p);plot(x,y,r,LineWidth,3)xlim(0,n)lama=n*
22、p;z=poisspdf(x,lama);hold onplot(x,z,g-.,LineWidth,3)hold offlegend(二项分布:n=8,p=0.4,lambda=n*p=3.2)40上述例上述例2的解答：的解答：3、Poisson分布的应用分布的应用41分别用binopdf(x,n,p)和poisspdf(k,Lambda)函数编程解上一题n=300;p=0.01;n1=5;x=0:n1;y=binopdf(x,n,p);binosum=sum(y)lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);Poissonsum=sum(z)binosum=0.917096436
23、71569Poissonsum=0.9160820579687042分别用binocdf(x,n,p)和poisscdf(k,Lambda)函数编程解上一题n=300;p=0.01;n1=5;y=binocdf(n1,n,p)%binosum=sum(y)lama=n*p;z=poisscdf(n1,lama)%Poissonsum=sum(z)y=0.91709643671569z=0.9160820579687043四、（四、（四、（四、（0 10 1）分布）分布）分布）分布 X 0 1 pk 1-p p 一个只有两个结果的随机试验，都可以用一个只有两个结果的随机试验，都可以用（0）分布来
24、描述。如新生婴儿的性别，）分布来描述。如新生婴儿的性别，打靶中与不中等等。打靶中与不中等等。即即X的分布律为：的分布律为：则称则称X服从（服从（0）分布。）分布。44作业题（同济大学）P46：2题、5题、7题453 3 随机随机变量的分布函数量的分布函数引例：设引例：设X=“掷一颗骰子时掷出的点数掷一颗骰子时掷出的点数”，记，记PX1=F(1）PX2=F(2）PX3=F(3）一般地：对任意的实数一般地：对任意的实数我们把我们把 称为称为随机变量随机变量随机变量随机变量X X的分布函数。的分布函数。的分布函数。的分布函数。46设设X X为一随机变量为一随机变量,为任意实数为任意实数,称称为为随机
25、变量随机变量随机变量随机变量X X X X的分布函数。的分布函数。的分布函数。的分布函数。2 2）分布函数的）分布函数的）分布函数的）分布函数的定义域为：定义域为：值域为：值域为：注：注：1 1 1 1）分布函数的含义：）分布函数的含义：）分布函数的含义：）分布函数的含义：1 1、分布函数的定义、分布函数的定义、分布函数的定义、分布函数的定义:xa分布分布分布分布函数函数F(a)的值等于的值等于X的取值落入区间的取值落入区间(-,a内的概率值。如何求？内的概率值。如何求？4748 3）引进分布函数引进分布函数 后，事件的后，事件的概率可以用概率可以用 的函数值来表示的函数值来表示。0（ab49
26、50例例1：已知随机变量已知随机变量X的分布律为的分布律为:X 0 1 2 pk 1/4 2/4 1/4(1)求求X的分布函数的分布函数(2)求求X的分布函数的分布函数5152P(0 x 1)=F(1)-F(0)=?P(0 x 1)=F(1)-F(0)+P(x=0)=3/4-1/4+1/4 =3/4532 2、分布函数的性质、分布函数的性质 是右连续函数，即是右连续函数，即是一个单调不减函数是一个单调不减函数54 试说明试说明F(x)能否作为某个随机变量能否作为某个随机变量X的分的分布函数布函数例例1：设有函数设有函数55求求:(1)常数常数A，B的值；的值；(2)P(0X1)例例2：设随机变
27、量设随机变量X的分布函数为：的分布函数为：56例例3:下列函数中可作为随机变量分布函数的是下列函数中可作为随机变量分布函数的是()C574 连续型随机变量及其概率密度定义：对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有：其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度概率密度。则称X为连续型随机变量，连续型随机变量的取值充满一个区间，对这连续型随机变量的取值充满一个区间，对这种类型的随机变量不能象离散型的那样用种类型的随机变量不能象离散型的那样用分分布律布律描述，而是用描述，而是用概率密度概率密度描述。描述。58 与物理学中的质量线密度的定义相类似595）连续型随机变量连续型随机变量
28、X取任一实数的概率值取任一实数的概率值为零为零.注意注意:5)表明求表明求连续型随机变量连续型随机变量落在一个落在一个区间上的概率值时，不必考虑区间端点的区间上的概率值时，不必考虑区间端点的情况。即情况。即60随机变量的分布函数、分布率、密度函数有什么联系和区别？区别区别：分布函：分布函数数描述描述随随机机变变量的取量的取值规值规律，律，随随机机变变量可以是离散型的，也可以是量可以是离散型的，也可以是连续连续型的；分布率只能描述离散型型的；分布率只能描述离散型随随机机变变量的量的取取值规值规律；密度函律；密度函数数只能描述只能描述连续连续型型随随机机变变量的取量的取值规值规律。律。联联系：系：
29、61例例1、已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的分布函数为：的分布函数为：求求(1)P(0.3 X 0为常数，则称X服从参数为的指数指数分布分布。记为 X具有如下的无记忆性：70 正态分布定义：设X的概率密度为其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)，记为可以验算：71称为位置参数(决定对称轴位置)为尺度参数(决定曲线分散性)72X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散，是反映X的取值分散性的一个指标。在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。7374则则Z的分布函数为的分布函数为:一般正态分布
30、的标准化一般正态分布的标准化757677 例：查书后附表78 例：一批钢材(线材)长度(1)若=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间(97,103)内，问至多取何值？79 例：设某地区男子身高(1)从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm的概率；(2)若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？80mu=169.7;sigma=4.1;plarge175=1-normcdf(175,mu,sigma)plargeless1=1-binopdf(
31、0,5,plarge175)plargeequal1=binopdf(1,5,plarge175)plarge175=0.09806037254757plargeless1=0.40311956686400plargeequal1=0.3244691543545581编程画出几个正态分布的概率密度和分布函数曲线mu=10;sigma=3;x=(mu-3.1*sigma):0.1:(mu+3.1*sigma);y1=normpdf(x,mu,sigma);y2=normcdf(x,mu,sigma);figure(color,w)plot(x,y1,r,LineWidth,3)legend(No
32、rmal probability density function(pdf)mu=10 sigma=3)figure(color,w)plot(x,y2,g,LineWidth,3)legend(Normal cumulative distribution function(cdf)mu=10 sigma=3)8283标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点 1）定义：）定义：设设XN（0，1），称满足，称满足阴影部分面阴影部分面积为积为84例例5：求求85编程计算例5的结果X=norminv(p,mu,sigma)%p为累积概率值，mu为均值，sigma为标准差，X为临界值，满足：p=
33、PXx。因为例5是标准正态分布，所以mu0，sigma=1.P1，所以当分别取0.05,0.005,0.001时候，对应的上分位点的标准正态分布函数值分别为0.95，0.995,0.99986mu=0;mu=0;sigma=1;sigma=1;z0_05=norminv(1-0.05,mu,sigma)z0_05=norminv(1-0.05,mu,sigma)z0_005=norminv(1-0.005,mu,sigma)z0_005=norminv(1-0.005,mu,sigma)z0_001=norminv(1-0.001,mu,sigma)z0_001=norminv(1-0.001
34、,mu,sigma)z0_05=1.64485362695147z0_005=2.57582930354890z0_001=3.0902323061678287作业题（同济大学）P47：12题、16题、18题和24题88补充：实际应用中，如何求信号的概率分布率891、采样902、统计直方图913、频率直方图概率分布率92求二维信号（图像）的灰度概率分布93频率直方图概率分布率945 随机变量的函数分布问题：已知随机变量X的概率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。95一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布1.X离散离散加法加法使使 对应的对应的X的那些可能值的那些可能值,其概率之和其概率之和96(1)先求出先求出Y的分布函数与的分布函数与X的分布函数之间的关系：的分布函数之间的关系：(2)再两边同时对再两边同时对y求导数求导数2.X连续连续97例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。X-110pZ01pY-220p解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1)故得：98例：99xh(y),yy0y=g(x)y100101例：解：例：解：102 103返回返回104