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1、中心极限定理第1页，本讲稿共57页4.1 特征函数特征函数定义定义4.1.1 设设 X 是一是一随机变量，称随机变量，称 (t)=E(eitX)为为 X 的特征函数的特征函数.(必定存在必定存在)注意：注意：是虚数单位是虚数单位.第2页，本讲稿共57页注注 意意 点点(1)(1)当当X为离散随机变量时，为离散随机变量时，(2)当当X为连续随机变量时，为连续随机变量时，第3页，本讲稿共57页特征函数的计算中用到：特征函数的计算中用到：注注 意意 点点(2)欧拉公式欧拉公式：第4页，本讲稿共57页常用分布的特征函数常用分布的特征函数1）单点分布：）单点分布：2）Poisson分布：分布：3）二项分
2、布：）二项分布：4）正态分布：）正态分布：第5页，本讲稿共57页 性质性质4.1.1 4.1.2 特征函数的性质特征函数的性质|(t)|(0)=1 性质性质4.1.2 性质性质4.1.3 性质性质4.1.4 若若 X 与与 Y 独立，则独立，则 性质性质4.1.5 第6页，本讲稿共57页4.2 大数定律大数定律 讨论讨论“概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值”的确切含义；的确切含义；给出几种大数定律：给出几种大数定律：伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、马尔可夫大数定律、辛钦大数定律马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.第8页，本讲稿共57页 大量随机试验中大量随机试
3、验中大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母出现频率字母出现频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率第9页，本讲稿共57页4.2.1 伯努利大数定律伯努利大数定律定理定理4.2.1（伯努利大数定律）（伯努利大数定律）设设 n 是是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A出现的次数出现的次数，每次，每次试验中试验中 P(A)=p,则对任意的则对任意的 0，有，有第10页，本讲稿共57页证明证明 证毕证毕或或第11页，本讲稿共57页注注:贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，充分大时，事件事件A发生的频率与事
4、件发生的频率与事件A的概率的概率p有较大偏差的概率很有较大偏差的概率很小小.第12页，本讲稿共57页4.2.1 大数定律定义大数定律定义 大数定律一般形式大数定律一般形式：若随机变量序列若随机变量序列Xn满足：满足：则称则称Xn 服从大数定律服从大数定律.第13页，本讲稿共57页切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 定理定理4.2.2Xn两两不相关，且两两不相关，且Xn方差存在，有方差存在，有共同的上界，则共同的上界，则 Xn服从大数定律服从大数定律.切比雪夫切比雪夫 特别地，若将条件特别地，若将条件“两两不相关两两不相关”改为改为“独立同分布，结论更有意义独立同分布，结论更有意义.第14页，本讲
5、稿共57页则对任意的则对任意的0，有，有前前 n 个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均分析：分析：第15页，本讲稿共57页证证由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式上式中令上式中令得得第16页，本讲稿共57页说明说明第17页，本讲稿共57页马尔可夫大数定律马尔可夫大数定律 定理定理4.2.3若随机变量序列若随机变量序列Xn满足：满足：则则 Xn服从大数定律服从大数定律.(马尔可夫条件马尔可夫条件)第18页，本讲稿共57页辛钦大数定律辛钦大数定律 定理定理4.2.4若随机变量序列若随机变量序列Xn独立同分布，且独立同分布，且Xn的数的数学期望存在。则学期望存在。则 Xn服从大数定律服从大数定律.第
6、19页，本讲稿共57页下面给出的独立同分布下的大数定律，不要下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在求随机变量的方差存在.设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,相互独立，相互独立，服从同一分布，具有数学期服从同一分布，具有数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对于任意正数则对于任意正数，有，有（辛钦大数定律）（辛钦大数定律）辛钦辛钦第20页，本讲稿共57页 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径一条实际可行的途径.注：注：2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具
7、有广泛的适用性、辛钦定理具有广泛的适用性.第21页，本讲稿共57页三、小结三、小结大大数数定定律律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：根本的性质之一：平均值的稳定性平均值的稳定性第22页，本讲稿共57页(1)伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.注注 意意 点点(2)切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.(3)伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.第23页，本讲稿共57页例例 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编
8、号为个编号为0-9的同样的球，从的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.设设，k=1,2,问对序列问对序列Xk能否应用大数定律？能否应用大数定律？即即对对任意的任意的0,解解:k=1,2,E(Xk)=0.1,诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.第24页，本讲稿共57页4.3 随机变量序列的两种收敛性随机变量序列的两种收敛性两种收敛性：两种收敛性：i)依概率收敛：用于大数定律；依概率收敛：用于大数定律；ii)按分布收敛：用于中心极限定理按分布收敛：用于中心极限定理.第25页
9、，本讲稿共57页4.3.1 依概率收敛依概率收敛定义定义4.3.1 (依概率收敛依概率收敛)大数定律讨论的就是依概率收敛大数定律讨论的就是依概率收敛.若对任意的若对任意的 0，有，有则称随机变量序列则称随机变量序列Yn依概率收敛于依概率收敛于Y,记为记为第26页，本讲稿共57页依概率收敛的性质依概率收敛的性质定理定理4.3.1 若若则则Xn与与Yn的加、减、乘、除的加、减、乘、除依概率收敛到依概率收敛到 a 与与 b 的加、减、乘、除的加、减、乘、除.第27页，本讲稿共57页理解理解:第28页，本讲稿共57页4.3.2 按分布收敛按分布收敛弱收敛弱收敛对分布函数列对分布函数列 Fn(x)而言，
10、点点收敛要求太高而言，点点收敛要求太高.定义定义4.3.2 若在若在 F(x)的连续点上都有的连续点上都有则称则称Fn(x)弱收敛于弱收敛于 F(x)，记为，记为相应记相应记按分布收敛按分布收敛第29页，本讲稿共57页依概率收敛与按分布收敛的关系依概率收敛与按分布收敛的关系定理4.3.2 定理4.3.3 第30页，本讲稿共57页4.3.3 判断弱收敛的方法判断弱收敛的方法定理定理4.3.4 第31页，本讲稿共57页辛钦大数定律的证明思路辛钦大数定律的证明思路欲证:只须证：第32页，本讲稿共57页4.4 中心极限定理中心极限定理 讨论讨论独立随机变量和独立随机变量和的的极限分布极限分布,本节指出
11、其极限分布为本节指出其极限分布为正态分布正态分布.4.4.1 独立随机变量和独立随机变量和设设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为为独立随机变量序列，记其和为第33页，本讲稿共57页 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合叠加影响所造成的，而每一个别因素对这种综合影响合叠加影响所造成的，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大中所起的作用不大.则这种随机变量一般都服从或近似则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在分布之后，人们发现，正
12、态分布在自然界中极为常见自然界中极为常见.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题性问题.高高斯斯 当当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？第35页，本讲稿共57页 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量.在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理.第36页，本讲稿
13、共57页4.4.2 独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理定理定理4.4.1 林德贝格林德贝格勒维中心极限定理勒维中心极限定理设设 Xn 为独立同分布随机变量序列，数学期为独立同分布随机变量序列，数学期望为望为,方差为方差为 20，则当，则当 n 充分大时，有充分大时，有第37页，本讲稿共57页注注:第38页，本讲稿共57页 3、虽然在一般情况下，我们很难求出、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的的分布的确切形式，但当确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布.第39页，本讲稿共57页例例4.4.1 每袋方便面的净重为随机变量，平均重量为每袋方便面的净重
14、为随机变量，平均重量为 100克，标准差为克，标准差为10克克.一箱内装一箱内装200袋方便面，求一箱的净重袋方便面，求一箱的净重大于大于20500克的概率克的概率?解解:设箱中第设箱中第 i 袋方便面的净重为袋方便面的净重为 Xi,则则Xi 独立同分布，独立同分布，且且 E(Xi)=100，Var(Xi)=100，由中心极限定理得，所求概率为：由中心极限定理得，所求概率为：=0.0002故一箱方便面的净重大于故一箱方便面的净重大于20500克概率为克概率为0.0002.(很小很小)第40页，本讲稿共57页例例4.4.2 设设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为为一次射击中命中的环数，其分
15、布列为求求100次射击中命中环数在次射击中命中环数在900环到环到930环之间的概率环之间的概率.XP10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03解解:设设 Xi 为第为第 i 次射击命中的环数，则次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，独立同分布，且且 E(Xi)=9.62，Var(Xi)=0.82，故，故=0.99979第41页，本讲稿共57页4.4.3 二项分布的正态近似二项分布的正态近似定理定理4.4.2 棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理设设 n 为服从二项分布为服从二项分布 b(n,p)的随机变量，则当的随机变量，则当 n 充分充分大时，有大时
16、，有是林德贝格是林德贝格勒维中心极限定理的特例勒维中心极限定理的特例.第42页，本讲稿共57页注注 意意 点点(1)当当n较大时，正态分布是二项分布很好近似。较大时，正态分布是二项分布很好近似。通常计算二项分布的概率用下式通常计算二项分布的概率用下式：第43页，本讲稿共57页注注 意意 点点(2)中心极限定理的应用有三类题型：中心极限定理的应用有三类题型：ii)已知已知 n 和概率，求和概率，求y；iii)已知已知 y 和概率，求和概率，求 n.i)已知已知 n 和和 y，求概率；，求概率；第44页，本讲稿共57页一、给定一、给定 n 和和 y，求概率，求概率例例4.4.3 100个独立工作的
17、部件组成一个系统，每个部件正常个独立工作的部件组成一个系统，每个部件正常工作的概率为工作的概率为0.9，求系统中至少有，求系统中至少有85个部件正常工作的个部件正常工作的概率概率.解：用解：用由此得：由此得：Xi=1表示第表示第i个部件正常工作个部件正常工作,反之记为反之记为Xi=0.又记又记Y=X1+X2+X100，则则 Y 服从二项分布，服从二项分布，即即 Y b(100,0.9).E(Y)=90，Var(Y)=9.第45页，本讲稿共57页二、给定二、给定 n 和概率，求和概率，求 y例例4.4.4 有有200台机床台机床独立工作独立工作，每台正常，每台正常工作的概率工作的概率为为0.7，
18、每台机床工作时需每台机床工作时需15kw电力电力.问共需多少电力问共需多少电力,才可有才可有95%的可能性保证正常生产的可能性保证正常生产?解：用解：用设供电量为设供电量为y,则从则从Xi=1表示第表示第i台机床正常工作台机床正常工作,反之记为反之记为Xi=0.记记Y=X1+X200b(200,0.7)，则则 E(Y)=140,Var(Y)=42.中解得中解得第46页，本讲稿共57页三、给定三、给定 y 和概率，求和概率，求 n例例4.4.5 用调查观众中的收看比例用调查观众中的收看比例 k/n 作为某电视节作为某电视节 目的收视率目的收视率 p 的估计。的估计。要有要有 90 的把握，使的把
19、握，使k/n与与p 的差异不大于的差异不大于0.05，问至少要调查多少位观众？，问至少要调查多少位观众？解：解：用用根据题意根据题意Yn表示调查表示调查n 个人中收看此节目的人数，则个人中收看此节目的人数，则从中解得从中解得Yn b(n,p)分布，分布，k 为为Yn的实际取值。的实际取值。又由又由可解得可解得n=271第47页，本讲稿共57页例例4.4.6 设每颗炮弹命中目标的概率为设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求求500发炮弹中命中发炮弹中命中 5 发的概率发的概率.解解:设设 X 表示命中的炮弹数表示命中的炮弹数,则则X b(500,0.01)0.17635(2)应用正态逼近应用正态
20、逼近:P(X=5)=P(4.5 X 1920)设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16例例1解答：解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第50页，本讲稿共57页例例2 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同样的球，从罐中的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.设设，k=1,2,(1)至少应取球多少次才能使至少应取球多少次才能使“0”出现
21、的频率在出现的频率在0.09-(2)0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95?(2)用中心极限定理计算在用中心极限定理计算在100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出出现次数在现次数在7和和13之间的概率之间的概率.第51页，本讲稿共57页（1)解：设应取球解：设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为由中心极限定理由中心极限定理例例2解答：解答：第52页，本讲稿共57页欲使欲使即即查表得查表得从中解得从中解得即至少应取球即至少应取球3458次才能次才能使使“0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95.第53页，本讲稿共57页（2）解：在）解：在
22、100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出现次数为出现次数为由中心极限定理由中心极限定理,即即其中其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09第54页，本讲稿共57页即在即在100次抽取中，数码次抽取中，数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间之间的概率为的概率为0.6826.=0.6826第55页，本讲稿共57页四、小结四、小结中中心心极极限限定定理理注注第56页，本讲稿共57页这一节我们介绍了中心极限定理这一节我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实曲线这一值得注意的事实.第57页，本讲稿共57页