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1、大数定理和中心极限定理第1页，本讲稿共52页6.1 大数定理大数定理 学校有10000个学生，平均身高为a；若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。若随意观察10个学生的身高X1,X2,X10，则10个数据的均值(X1+X2+X10)/10与a较接近；若随意观察100个学生的身高X1,X2,X100，则100个数据的均值(X1+X2+X100)/100与a更接近；若随意观察n(n10000)个学生的身高X1,X2,Xn，则n个数据的均值(X1+X2+Xn)/n，随着n的增大而与a接近。第2页，本讲稿共52页定义定义 设X1，X2，Xn,是随机变量序列，如果存在一个常数序列an，对
2、 ，有则称随机变量序列Xn服从大数定律。第3页，本讲稿共52页定定理理1(辛钦大数定理)设X1,X2,Xn 是独立同分布的随机变量，记它们的公共均值为a，又设它们的方差存在，并记为2，随机变量的频率为 ，则对任意给定的 0，有定理1的意义：随着n的增大，依概率意义越来越接近a；而 不接近a的可能性越来越小。(该定理的证明需要用契比雪夫不等式。）第4页，本讲稿共52页6.1.1 马尔科夫不等式马尔科夫不等式 若X是只取非负值的随机变量，则对任意常数 0，有证明证明 第5页，本讲稿共52页6.1.2 6.1.2 契比雪夫不等式契比雪夫不等式 若D(X)存在，则对任意常数 0，有证明证明第6页，本讲
3、稿共52页定理定理1的证明的证明：第7页，本讲稿共52页6.1.3 伯努利大数定理伯努利大数定理(频率收敛于概率频率收敛于概率)设pn是n重伯努利试验中事件A出现的频率(pn=Xn/n)，在每次试验中P(A)=p是常数，设XnB(n，p)，其中n=1,2,，(0p1)则对任意正数0，有 伯努利大数定理的意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率pn越来越接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。但不能说：。因为可能有 pn p 情形(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。第8页，本讲稿共52页 证明：证明：第9页，本讲稿共52页6.2 6.2 中心极限定理中心极限定理 设X1,X2,Xn 是一系列
4、随机变量，通常把论证和函数X1+X2+Xn的分布收敛于正态分布的这类定理叫做“中心极限定理”。定定理理2 (莱维林德伯格(Levy-Lindberg)定理)、(独立同分布的中心极限定理)设X1,X2,Xn是独立同分布的随机变量，它们有相同的均值E(Xi)=a，和相同的方差为D(Xi)=2(0+),则对任意实数x，有第10页，本讲稿共52页(证明略)说明：和函数Yn=X1+X2+Xn E(Yn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn)=na D(Yn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)=n2 将Yn“标准化”：“标准化”后的和函数的分布函数Fn(x):第11页，本讲稿共52页 和和函函数数X1+X
5、2+Xn在在“标标准准化化”后后的的分分布布函函数数Fn(x)，随随着着n的增大，的增大，Fn(x)逐渐趋向于标准正态分布函数。逐渐趋向于标准正态分布函数。值值得得注注意意的的是是，每每个个Xi的的概概率率分分布布可可以以是是未未知知的的，不不 一一定定是正态分布。是正态分布。定定理理2的的意意义义：若有无数多种因素X1,X2,Xn 对事物产生影响，每个因素的影响都很小，所有这些因素的综合影响可认为是Y=X1+X2+Xn+,则这些因素综合影响的结果呈现出正态分布。所以在自然界中很多问题都可用正态分布研究。第12页，本讲稿共52页定理定理2的等价形式的等价形式1 Xn 独立同分布，2)DXn。则
6、当n较大时，第13页，本讲稿共52页例例6-16-1 某保险公司对一种电视机进行保险，现有3000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费10元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内:()亏本的概率；()获利不少于10000元的概率。解解 第14页，本讲稿共52页第15页，本讲稿共52页()亏本的概率：第16页，本讲稿共52页()获利不少于10000元的概率：第17页，本讲稿共52页定理定理3(棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯拉普拉斯(De MoivreLaplace)定理定理)设X1,X2,Xn 是独立同分布(0-1
7、分布)的随机变量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p，(0p1)，i=1,2,则对任意实数x，有 证明证明 由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)i=1,2,.代入定理2的公式，a=p,=有定理3是定理2的特例，定理3用正态分布逼近两项分布。第18页，本讲稿共52页 设Yn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0p1),YnB(n,p)。设Xi是第i次试验时A出现的次数，则Xi服从0-1分布，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,(0p1),i=1,2,Yn=X1+X2+Xn,所以定理3的另一种描述方式：定理定理3的另一说法的另一说法(棣莫弗-
8、拉普拉斯定理)设Yn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0p1),YnB(n,p)，则对任意实数x，有第19页，本讲稿共52页 这说明：若Yn服从二项分布B(n,p)，计算P(t1Ynt2)可用正态分布近似计算。(即XnB(n,p)，则当n较大时，)。若X1,X2,Xn 是独立的0-1分布的随机变量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,(0p1),i=1,2,计算P(t1X1+X2+Xnt2)可用正态分布近似计算。对此查正态分布表第20页，本讲稿共52页当n较小时，误差较大，公式可修正为 (对上式查正态分布表)第21页，本讲稿共52页例例6-2 设某地区
9、原有一家小电影院，现拟筹建一所较大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有3/4的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能超过0.1，问设多少座位为好？解解 设每天看电影的人编号1,2,3,1600,且令 假设各观众去不去电影院是独立选择的。第22页，本讲稿共52页则X1,X2,X1600是独立的0-1分布的随机变量。设座位数是m，按要求有 P(X1+X2+X1600m-200)0.1要在此条件下m最大，就是在上式取等号时。第23页，本讲稿共52页解解法法2 设n=1600人中去新影院的人数为X
10、，每个观众选择去新影院的概率为3/4，则XB(1600,3/4)。设座位数是m，按要求有:P(Xm-200)0.1要在此条件下m最大，就是在上式取等号时。第24页，本讲稿共52页例例6-3(合合作作问问题题)设有同类设备200台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的故障可由一个人来处理，试求由4个人共同负责维修200台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率。解解 设Y为200台设备中在同一时间内发生故障的台数，则YB(200,0.01)np=2000.01=2,npq=20.99=1.98 设备发生故障而不能及时维修的概率为 第25页，本讲稿共52页直接用两项分布
11、计算=0.0517 可见用泊松分布近似的结果更好一些。但用泊松分布要查多个泊松分布表的数值，而用中心极限定理来近似只需查一个或两个正态分布表的值。第26页，本讲稿共52页例例6-4 已知一大批种子的良种率是1/6，现从中任意选出600粒，求这600粒种子中，良种所占的比例值与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。解解 从一大批种子中任选600粒，内含良种的粒数为随机变量X，有XB(600,1/6)。所求概率可表为 第27页，本讲稿共52页如不用中心极限定理，则应如下求解：第28页，本讲稿共52页书面作业：书面作业：P103104 6-1 6-2 6-5 6-7 6-9第29页，本讲稿共52页
12、作业评讲：作业评讲：1.第30页，本讲稿共52页2.第31页，本讲稿共52页3.第32页，本讲稿共52页4.第33页，本讲稿共52页5.第34页，本讲稿共52页8.第35页，本讲稿共52页10.第36页，本讲稿共52页例题讲解例题讲解一一、设随机变量X和Y独立，其分布列分别为则下列各式正确的是 。(1)X=Y (2)P(X=Y)=1/2(3)P(X=Y)=0 (4)P(X=Y)=1解解 虽然X和Y是相同的分布，但不写成X=Y；P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)=0.50.5+0.50.5=0.5选答案(2)第37
13、页，本讲稿共52页二二、设X,Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则X,Y必有 。解：因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)由于D(X+Y)=D(X-Y)得 2cov(X,Y)=-2cov(X,Y)cov(X,Y)=0 X,Y不相关。第38页，本讲稿共52页三三、设随机变量X和独立同分布,且 P(X=k)=1/3,k=1,2,3 又设X=max(X,),Y=min(X,)。(1)试写出(X,Y)的 联合分布律；(2)求E(X)。解解(1)由于X=1,2,3,=1,2,3 所以，X=1,2,3；Y=1,2,3当ij时，P(X=i
14、,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j)=P(X=i,=j)+P(X=j,=i)=P(X=i)P(=j)+P(X=j)P(=i)=(1/3)(1/3)+(1/3)(1/3)=2/9当i=j时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j)=P(X=i,=i)=P(X=i)P(=i)=(1/3)(1/3)=1/9当ij时，P(X=i,Y=j)=P(max(X,)=i,min(X,)=j)=0第39页，本讲稿共52页(X,Y)的联合概率分布律：(2)X Y12311/90022/91/9032/92/91/9第40页，本讲稿共52页四四、对随机变量X和Y，已知E
15、(X)=-2,E(Y)=2,D(X)=1,D(Y)=4,X与Y的相关系数r=-0.5 由契比雪夫不等式所能确定的最小正数c为何值(其中c满足不等式 P|X+Y|6c)。解解 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2r =1+4+2(-0.5)12=3 P|(X+Y)-E(X+Y)|6D(X+Y)/62 P|X+Y|63/62=1/12 c=1/12第41页，本讲稿共52页五五、设某班车起点站上人数X服从参数为的泊松分布，且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以
16、Y表示在中途下车的人数。试求 (1)(X,Y)的联合分布律；(2)求Y的分布律解解 (1)XP(),当X=n时，YB(n,p)P(Y=k|X=n)=k=0,1,2,n 当nk时，P(X=n,Y=k)=0 当nk时，P(X=n,Y=k)=P(X=n)P(Y=k|X=n)第42页，本讲稿共52页(X,Y)的联合分布律为：X=n=0,1,2,3,Y=k=0,1,2,3,(2)第43页，本讲稿共52页六六、设XnB(n,p).(0p1,n=1,2,)则对任意实数x，有解解第44页，本讲稿共52页七七、(习题5-2)设X服从几何分布 P(X=k)=pqk (k=0,1,2,0p1,q=1-p)求EX,D
17、X解解第45页，本讲稿共52页第46页，本讲稿共52页八八、(习题5-5)证明：当t=EX时，g(t)=E(X-t)2最小，这个最小值是DX解解 g(t)=E(X-t)2=E(X2-2Xt+t2)=EX2-2tEX+E(t2)=EX2-2tEX+t2 =EX2-(EX)2+(EX)2-2tEX+t2 =DX+(t-EX)2DX 当t=EX时，g(t)=DX是最小值.第47页，本讲稿共52页九九、(习题5-6)证明：在一次试验中事件A发生的次数X的方差 DX1/4解解 XB(1,p)第48页，本讲稿共52页十十、(习题5-20)设A和B是一次随机试验的两个事件，有P(A)0,P(B)0,定义随机变量X为 试证：若X的相关系数 r=0，则X必相互独立。证明证明第49页，本讲稿共52页第50页，本讲稿共52页十一十一、设X是相互独立的随机变量,其概率密度分别为又知随机变量 ，求w的分布律及其分布函数。解解第51页，本讲稿共52页 w的分布律为：w的分布函数：X01P第52页，本讲稿共52页