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1、数理统计求解第1页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n超几何分布超几何分布H(n,M,N)命令命令1：Fx=hygecdf(x,M,N,K)功能：计算超几何分布的累积概率，总共功能：计算超几何分布的累积概率，总共M件产品，其件产品，其中次品中次品N 件，抽取件，抽取K件检查，计算发现次品不多于件检查，计算发现次品不多于x件件的概率的概率Fx=P次品数次品数Xx=F(x)命令命令2：x=hygeinv(p,M,N,K)功能：在已知参数功能：在已知参数M、N、K和和p的情况下计算随机量的情况下计算随机量x，使得，使得p=P0次品数次品数Xx命令命令3：X=hygernd(M,
2、N,K,m,n)功能：在已知参数功能：在已知参数M,N,K的情况下产生的情况下产生m*n维符合超几维符合超几何分布的随机数矩阵何分布的随机数矩阵X2023/2/142023/2/142 2第2页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布命令命令4：Px=hygepdf(x,M,N,K)功能：总共功能：总共M件产品，其中次品件产品，其中次品N 件，抽取件，抽取K件检查，计算件检查，计算发现恰好发现恰好x件次品的概率件次品的概率Px=PX=x命令命令5：stairs(x,Px)功能：绘制以功能：绘制以 x为横坐标，为横坐标，Px为纵坐标的阶梯平面图；当为纵坐标的阶梯平面图；当Px是分
3、布列是分布列(或密度或密度)时，绘制概率密度分布图；当时，绘制概率密度分布图；当Px是是累积分布时，绘制概率分布函数图累积分布时，绘制概率分布函数图注：注：以后碰到命令末尾为：以后碰到命令末尾为：rnd-产生随机数产生随机数X；cdf-产生分布函数产生分布函数F(x)pdf-产生密度函数产生密度函数p(x)或分布列或分布列Px=PX=xinv-计算计算x=F-1(p)p=F(x)2023/2/142023/2/143 3第3页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n 二项分布二项分布B(n,p)命令命令1：Fx=binocdf(x,n,p)功能：计算二项分布的累积概率功能：计
4、算二项分布的累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=binoinv(y,n,p)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得y=PXx命令命令3：X=binornd(n,p,M,N)功能：产生功能：产生M*N维符合二项分布的随机数矩阵维符合二项分布的随机数矩阵X命令命令4：Px=binopdf(x,n,p)功能：计算试验中事件恰好发生功能：计算试验中事件恰好发生x次的概率次的概率Px=PX=x2023/2/142023/2/144 4第4页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n 泊松分布泊松分布XP()命令命令1：Fx=poisscdf(x,lambda)功能：计算
5、累积概率功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=poissinv(p,lambda)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得p=PXx命令命令3：X=poissrnd(lambda,M,N)功能：产生功能：产生M*N维随机数矩阵维随机数矩阵X命令命令4：Px=poisspdf(x,lambda)功能：计算概率功能：计算概率Px=PX=x2023/2/142023/2/145 5第5页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n 正态分布正态分布XN(,2)命令命令1：Fx=normcdf(x,mu,sigma)功能：计算累积概率功能：计算累积概率Fx=PXx
6、=F(x)命令命令2：x=norminv(p,mu,sigma)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得p=PXx命令命令3：X=normrnd(mu,sigma,M,N)功能：产生功能：产生M*N维随机数矩阵维随机数矩阵X命令命令4：Px=normpdf(x,mu,sigma)功能：计算分布密度功能：计算分布密度p(x)在在x的值的值补充：补充：randn()-标准正态分布随机数标准正态分布随机数2023/2/142023/2/146 6第6页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n 指数分布指数分布Xexp()命令命令1：Fx=expcdf(x,lambda)功能：
7、计算累积概率功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令命令2：x=expinv(p,lambda)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得p=PXx命令命令3：X=exprnd(lambda,M,N)功能：产生功能：产生M*N维随机数矩阵维随机数矩阵X命令命令4：Px=exppdf(x,lambda)功能：计算分布密度功能：计算分布密度p(x)在在x的值的值2023/2/142023/2/147 7第7页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n 均匀分布均匀分布XU(a,b)命令命令1：Fx=unifcdf(x,a,b)功能：计算累积概率功能：计算累积概率Fx=PXx
8、=F(x)命令命令2：x=unifinv(p,a,b)功能：计算随机量功能：计算随机量x，使得，使得p=PXx命令命令3：X=unifrnd(a,b,M,N)功能：产生功能：产生M*N维随机数矩阵维随机数矩阵X命令命令4：Px=unifpdf(x,a,b)功能：计算分布密度功能：计算分布密度p(x)在在x的值的值补充：补充：rand()-(0,1)均匀分布随机数均匀分布随机数2023/2/142023/2/148 8第8页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n 分布分布命令命令:gamcdf(x,a,lambda),gaminv(p,a,lambda)gampdf(x,a,
9、lambda),gamrnd(a,lambda,m,n)2023/2/142023/2/149 9第9页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n 2 2分布分布命令命令:chi2cdf(x,k),chi2inv(p,k),chi2pdf(x,k)chi2rnd(k,m,n)2023/2/142023/2/141010第10页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n T T分布分布命令命令:tcdf(x,k),tinv(p,k),tpdf(x,k)trnd(k,m,n)2023/2/142023/2/141111第11页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布
10、随机变量及其分布n F F分布分布命令命令:fcdf(x,p,q),finv(F,p,q),fpdf(x,p,q)frnd(p,q,m,n)2023/2/142023/2/141212第12页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n 例例3.1某人向空中抛硬币某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为次，落下为正面的概率为0.5。这。这100次中正面向上的次数记为次中正面向上的次数记为X：(1)试计算试计算x=45的概率和的概率和x45的概率；的概率；(2)绘制分布函数制分布函数图象和分布列象和分布列图象。象。程序：程序：clear;px=binopdf(45,100,0.
11、5)%计算计算x=45的概率的概率 px=0.0485fx=binocdf(45,100,0.5)%计算计算x45的概率的概率 fx=0.1841x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,+);title(分布函数图分布函数图)2023/2/142023/2/141313第13页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,*r)；title(概率分布图概率分布图）2023/2/142023/2/141414第14页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n 例例3.
12、2设设XN(2,0.25)(1)求概率求概率P1X2.5；(2)绘制分布函数制分布函数图象和分布密度象和分布密度图象象;(3)画出区画出区间1.5,1.9上的分布密度曲上的分布密度曲线下方区域。下方区域。程序程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)-normcdf(1,2,0.5)p=0.8186(2)x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5);fx=normcdf(x,2,0.5);plot(x,px,+b);hold on;plot(x,fx,*r);legend(正态分布函数正态分布函数,正态分布密度正态分布密度);(3)specs=1.5,1.9;pp=no
13、rmspec(specs,2,0.5)2023/2/142023/2/141515第15页，本讲稿共55页3.1 随机变量及其分布随机变量及其分布2023/2/142023/2/141616第16页，本讲稿共55页3.2 随机变量函数的分布随机变量函数的分布根据概率统计教材中的定理：根据概率统计教材中的定理：如果已知随机变量如果已知随机变量X的密的密度度fX(x),随机变量函数随机变量函数Y=g(X)单调，则单调，则Y的密度函数为：的密度函数为：fY(x)=fX(h(y)|h(y)|,其中其中x=h(y)是是y=g(x)的反函数。的反函数。如果如果y=g(x)不单调，则将定义域分成若干单调区间
14、不单调，则将定义域分成若干单调区间进行讨论。也可利用：进行讨论。也可利用：据此意思，计算随机变量函数的分布相当于据此意思，计算随机变量函数的分布相当于编程编程2023/2/142023/2/141717第17页，本讲稿共55页n 例例3.3设随机变量设随机变量X服从均匀分布服从均匀分布U0,1，求，求Y=eX的的分布。分布。程序：程序：clear;x=solve(y=exp(x)x=log(y)dy=diff(x,y)dy=1/yfy=1*abs(dy)fy=1/|y|注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！3.2 随机变量函数的分布随机变量
15、函数的分布2023/2/142023/2/141818第18页，本讲稿共55页3.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.数组的平均值数组的平均值-Y=mean(X)功能：当功能：当X为向量时，输出一个平均数；当为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为行向量，为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：mean(mean(X)或或m=mean(X(:)与此类似的有：求和与此类似的有：求和(sum),最大最大(max),最小最小(min)等等2
16、.离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望-EX=sum(X.*P)功能：计算随机值向量功能：计算随机值向量X与对应概率向量与对应概率向量P的乘积之和的乘积之和3.连续型随机变量的期望连续型随机变量的期望-EX=int(x*fx,x,a,b)功能：用积分计算期望功能：用积分计算期望2023/2/142023/2/141919第19页，本讲稿共55页3.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 例例3.4设随机变量设随机变量X的分布列，求期望。的分布列，求期望。程序：程序：clear;x=-1,0,2,3;p=1/8,1/4,3/8,1/4;EX=sum(x.*p)1.3750X-1023P1
17、/81/43/81/42023/2/142023/2/142020第20页，本讲稿共55页3.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 例例3.5设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：且且EX=3/5，求常数，求常数a,b的值。的值。程序：程序：clear;syms a b x;fx=a+b*x2;EX=int(x*fx,x,0,1)EX=1/4*b+1/2*a F=int(fx,x,0,1)F=a+1/3*b f1=EX-3/5;f2=f-1;a,b=solve(f1,f2)a=3/5,b=6/52023/2/142023/2/142121第21页，本讲稿共55页3.3 随机变
18、量的数字特征随机变量的数字特征n 例例3.6设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：求随机变量求随机变量Y=|X|的期望。的期望。程序：程序：clear;syms x;fx1=0.5*exp(x);fx2=0.5*exp(-x);EY=int(-x*fx1,x,-inf,0)+int(x*fx2,x,0,inf)EY=12023/2/142023/2/142222第22页，本讲稿共55页3.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 随机变量的方差随机变量的方差1.统计数据的方差统计数据的方差-D=var(X,1)功能：当功能：当X为向量时，输出一个标量；当为向量时，输出一个标量；当
19、X为矩阵时，输出为行向量，为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方差值，应对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方差值，应用嵌套：用嵌套：var(var(X)缺省缺省1，计算：，计算：否则计算：否则计算：2.统计数据的标准差统计数据的标准差-S=std(X,1)功能：用法和功能：用法和1的解释同上的解释同上3.一般随机变量的方差一般随机变量的方差-DX=E(X2)-(EX)2功能：用积分或级数编程计算功能：用积分或级数编程计算2023/2/142023/2/142323第23页，本讲稿共55页3.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 例例3.7设随机变
20、量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：求随机变量求随机变量X的期望和方差。的期望和方差。程序：程序：clear;syms x;fx=2/pi*(cos(x)2;EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2)E2X=int(x2*fx,x,-pi/2,pi/2)DX=E2X-EX2 2023/2/142023/2/142424第24页，本讲稿共55页n 例例3.8设生成一组均值为设生成一组均值为15,方差为方差为2.52的正态分布的随的正态分布的随机数据，然后对这组数据进行置信度机数据，然后对这组数据进行置信度97%的参数估计。的参数估计。程序：程序：clear;w=normrnd(15
21、,2.5,50,1);或或w=15+2.5*randn(50,1);alpha=0.03;mh,sh,mc,sc=normfit(w,alpha)运行一次：运行一次：mh=15.1076 sh=2.4038 mc=14.347815.8674 sc=1.97093.07033.4 参数估计参数估计2023/2/142023/2/143030第30页，本讲稿共55页n 例例3.9设从一大批产品中抽取设从一大批产品中抽取100个产品，经检验知有个产品，经检验知有60个一级品，求这批产品的一级品率个一级品，求这批产品的一级品率(置信度置信度95%)。程序：程序：clear;alpha=0.05;N=100;X=60;Ph,Pc=mle(bino,X,alpha,N)运行一次：运行一次：Ph=0.6000 Pc=0.49720.6967 3.4 参数估计参数估计2023/2/142023/2/143131第31页，本讲稿共55页