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1、高数高数 多元函数的偏多元函数的偏导数与全微分导数与全微分本讲稿第一页，共四十六页（1）邻域）邻域一、多元函数的概念一、多元函数的概念本讲稿第二页，共四十六页（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集本讲稿第三页，共四十六页本讲稿第四页，共四十六页（5）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数本讲稿第五页，共四十六页例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为本讲稿第六页，共四十六页（6）二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）本讲稿第七页，共四十六页二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.本
2、讲稿第八页，共四十六页二、多元函数的极限二、多元函数的极限本讲稿第九页，共四十六页说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似本讲稿第十页，共四十六页例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立本讲稿第十一页，共四十六页例例3 3 求极限求极限 解解其中其中本讲稿第十二页，共四十六页例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在本讲稿第十三页，共四十六页确
3、定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：本讲稿第十四页，共四十六页三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性定义定义3 3本讲稿第十五页，共四十六页例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续本讲稿第十六页，共四十六页例例解解本讲稿第十七页，共四十六页多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义本讲稿第十八页，共四十六页2、偏导数的定义及其计算法、偏导数
4、的定义及其计算法本讲稿第十九页，共四十六页本讲稿第二十页，共四十六页本讲稿第二十一页，共四十六页偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 本讲稿第二十二页，共四十六页习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况本讲稿第二十三页，共四十
5、六页多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导本讲稿第二十四页，共四十六页解解本讲稿第二十五页，共四十六页证证原结论成立原结论成立本讲稿第二十六页，共四十六页有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用定求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；义求；解解本讲稿第二十七页，共四十六页、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏
6、导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，本讲稿第二十八页，共四十六页纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.4、高阶偏导数、高阶偏导数本讲稿第二十九页，共四十六页解解本讲稿第三十页，共四十六页解解本讲稿第三十一页，共四十六页问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？本讲稿第三十二页，共四十六页解解本讲稿第三十三页，共四十六页偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的
7、极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三、小结本讲稿第三十四页，共四十六页思考题思考题本讲稿第三十五页，共四十六页思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,本讲稿第三十六页，共四十六页3、复合函数链式法则、复合函数链式法则本讲稿第三十七页，共四十六页上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.本讲稿第三十八页，共四十六页 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：多元函数的情况：本讲稿第三十九页，共四十六页链式法则如图示链式法则如图示本讲稿第四十页，共四十六页本讲稿第四十一页，共四十六页解解本讲稿第四十二页，共四十六页解解本讲稿第四十三页，共四十六页1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结本讲稿第四十四页，共四十六页思考题思考题本讲稿第四十五页，共四十六页思考题解答思考题解答本讲稿第四十六页，共四十六页