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1、第3章 线性代数应用第1页，本讲稿共47页n数据分析和傅立叶变换数据分析和傅立叶变换n基本数据分析基本数据分析n场论数据分析场论数据分析n随机数据分析随机数据分析n相关分析和傅立叶分析相关分析和傅立叶分析3.1 数据分析(datafun)第2页，本讲稿共47页n基本数据分析函数基本数据分析函数nMax(data)nMin(data)nmean(data)nsum(data)第3页，本讲稿共47页n场论的数据分析函数场论的数据分析函数nGradient()二维场和三维场的近似梯度二维场和三维场的近似梯度n参照参照help gradient。nCross()向量的矢量积向量的矢量积nDot()向量
2、的数量积向量的数量积第4页，本讲稿共47页n随机过程的数据分析函数随机过程的数据分析函数nrand(m,n)均匀分布随机矩阵均匀分布随机矩阵n参照参照rand.m文件，熟悉文件，熟悉rand的各种用法。的各种用法。nrandn(m,n)正态分布随机矩阵正态分布随机矩阵第5页，本讲稿共47页n相关分析和傅立叶分析函数相关分析和傅立叶分析函数ncorrcoef 两个同长信号的相关系数两个同长信号的相关系数ncon协方差矩阵协方差矩阵nconv向量的卷积，参照向量的卷积，参照conv.m。nfft傅立叶变换，参照傅立叶变换，参照fft.m。nifft傅立叶反变换傅立叶反变换nsound声音输出函数声
3、音输出函数第6页，本讲稿共47页3.2矩阵分析和线性代数(matfun)n线性方程组的系数矩阵线性方程组的系数矩阵n矩阵的分解矩阵的分解n矩阵的特征值矩阵的特征值n特殊矩阵库特殊矩阵库第7页，本讲稿共47页1.逆、秩与行列式计算逆、秩与行列式计算求逆：求逆：inv(A)求行列式：求行列式：det(A)求秩：求秩：rank（A）要求矩阵必须为方阵要求矩阵必须为方阵AB=inv(A)*BA/B=A*inv(B)第8页，本讲稿共47页【例3.1】a=1 2 3;4 5 6;2 3 5;b=inv(a)%求方阵求方阵a的逆的逆c=det(a)%求方阵求方阵a的行列式的行列式d=rank(a)%求求a中
4、线性无关的行数中线性无关的行数第9页，本讲稿共47页b=-2.3333 0.3333 1.0000 2.6667 0.3333 -2.0000 -0.6667 -0.3333 1.0000c=-3d=3第10页，本讲稿共47页2.其他矩阵函数n求A的范数：norm(A)第11页，本讲稿共47页3.矩阵分解nUAU=T，A是方阵，T是对角阵，对角线元素是A的特征值（舒尔分解）：schur(A)n奇异值分解A=USV,S=UAV：svd(A)U,S,V=svd(A)第12页，本讲稿共47页A=1 1;2 3;schur(A)ans=0.2679 -1.0000 0 3.7321 svd(A)ans
5、=3.8643 0.2588第13页，本讲稿共47页4.特征多项式和特征值n求A的特征多项式p向量：poly(A)n求矩阵的特征值：eig(A)第14页，本讲稿共47页多项式n1直接定义令a(x)代表一个如下的多项式在MATLAB中，这个多项式可以用它的系数向量A=a(1)，a(2)，a(n)，a(n+1)来表示。n2 用命令poly创建如果A是矩阵，则poly(A)将创建A矩阵的特征多项式；如果A是向量，则poly(A)将创建以A中各元素为根的多项式。第15页，本讲稿共47页A=1 1;2 3;pa=poly(A)pa=1.0000 -4.0000 1.0000 d=eig(A)d=0.26
6、79 3.7321第16页，本讲稿共47页【例 4.2】求方阵A的特征多项式nA=11 12 13;14 15 16;17 18 19;nPA=poly(A)%A的特征多项式的特征多项式nPPA=poly2str(PA,s)%以较习惯的方式显示多项式以较习惯的方式显示多项式 nPA=n1.0000 -45.0000 -18.0000 -0.0000nPPA=ns3-45 s2-18 s-2.8387e-015 第17页，本讲稿共47页多项式的四则运算函数功能函数功能roots多项式求根polyfit多项式曲线拟合poly由根创建多项式polyder 多项式求导polyval多项式求值conv多
7、项式相乘（卷积）residue部分分式展开（求留数）deconv多项式相除（反卷积）第18页，本讲稿共47页 多项式的运算nInterpolation and polynomialsn多项式的四则运算多项式的四则运算n多项式求导、求根和求值多项式求导、求根和求值n多项式拟合多项式拟合n多项式插值多项式插值n线性微分方程的解线性微分方程的解第19页，本讲稿共47页1、多项式建立、多项式建立在在MATLAB中，多项式使用降幂系数的行向量中，多项式使用降幂系数的行向量表示。如：表示。如：p=1-12 0 25 116第20页，本讲稿共47页2、求根n函数函数roots可求出多项式可求出多项式p=0的
8、根，根用列向量表示。的根，根用列向量表示。n若已知根，函数若已知根，函数poly可以求出相应多项式。可以求出相应多项式。r=roots(p)r=11.7473 2.7028 -1.2251+1.4672i -1.2251-1.4672ip=poly(r)p=1 -12 -0 25 116p=1-12 0 25 116第21页，本讲稿共47页【例4.3】由给定根向量求多项式系数向量R=-0.5,-0.3+0.4*i,-0.3-0.4*i;%根向量根向量P=poly(R)%R的特征多项式的特征多项式PR=real(P)%求求PR的实部的实部P=1.0000 1.1000 0.5500 0.1250
9、PR=1.0000 1.1000 0.5500 0.1250第22页，本讲稿共47页【例4.4】a=1 2;3 4d=eig(a)%矩阵特征值e=poly(a)%矩阵特征多项式b=roots(e)%多项式的根c=poly(d)第23页，本讲稿共47页d=矩阵特征值矩阵特征值e=矩阵特征多项式矩阵特征多项式b=多项式多项式e的根的根c=给定根给定根d的多项式的多项式第24页，本讲稿共47页【例4.5】研究系统稳定性 给出单位反馈 开环传递函数p=1 1 2 24roots(p)ans=-3.0000 1.0000+2.6458i 1.0000-2.6458i不稳定极点第25页，本讲稿共47页3、
10、多项式的运算加减法：加减法：p+q、p-q（行向量元素数目必须相等，缺项补零）（行向量元素数目必须相等，缺项补零）多项式多项式p和和q的的乘积：乘积：conv（p,q）多项式多项式p除除q：k，r=deconv（p，q）（k是商多项式，是商多项式，r是余多项式）是余多项式）多项式的微分多项式的微分dp/dx：polyder（p）第26页，本讲稿共47页【例4.6】求的“商”及“余”多项式p1=conv(1,0,2,conv(1,4,1,1);%计算分子多项式计算分子多项式p2=1 0 1 1;%注意缺项补零注意缺项补零q,r=deconv(p1,p2);cq=商多项式为商多项式为 ;cr=余多
11、项式为余多项式为 ;disp(cq,poly2str(q,s),disp(cr,poly2str(r,s)商多项式为商多项式为 s+5余多项式为余多项式为 5 s2+4 s+3第27页，本讲稿共47页4、部分分式展开nr,p,k=residue(num,den)nnum,den=residue(r,p,k)第28页，本讲稿共47页线性微分方程的解线性微分方程的解n已知传递函数，将其分解为部分分式Num=1,2;Den=1 4 3;r,p,k=residue(Num,Den)r=0.5000 0.5000p=-3 -1k=第29页，本讲稿共47页求解线性常微分方程在输入u（t）为单位脉冲和单位阶
12、跃信号时的解析解Num1=3 0.5 4;Den1=1 5 4 7;r1,p1,k1=residue(Num1,Den1)t=0:0.2:10;yi=r1(1)*exp(p1(1)*t)+r1(2)*exp(p1(2)*t)+r1(3)*exp(p1(3)*t);subplot(1,2,1)plot(t,yi)第30页，本讲稿共47页Den2=1 5 4 7 0;r,p,k=residue(Num1,Den2)ys=r(1)*exp2(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t)+r(4)*exp(p(4)*t);subplot(1,2,2)plot(t,
13、ys)r1=3.2288 -0.1144+0.0730i -0.1144-0.0730ip1=-4.4548 -0.2726+1.2235i -0.2726-1.2235ik1=r=-0.7248 0.0767+0.0764i 0.0767-0.0764i 0.5714 p=-4.4548 -0.2726+1.2235i -0.2726-1.2235i 0 k=第31页，本讲稿共47页第32页，本讲稿共47页n多项式拟合多项式拟合 polyfit(x,y,n)x,y是已知的是已知的N个数据点坐标向量，个数据点坐标向量，n是拟合多项式的次数是拟合多项式的次数n用于在最小均方误差准则下对数据进行n
14、阶多项式曲线拟合。n其中x，y是已知的N个数据点坐标向量，其长度均为N，现欲用一个n阶多项式来表示x，y之间的函数关系，待定的是该n阶多项式的系数。n多项式阶数n越大，拟合程度越好，设p为用于拟合的多项式系数个数，p=n+1。第33页，本讲稿共47页例例：x=0:0.1:1;y=-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.30,11.2;a1=polyfit(x,y,1)；xi=linspace(0,1)yi1=polyval(a1,xi);plot(x,y,o,xi,yi1,b)第34页，本讲稿共47页第35页，本讲稿共47页MATLA
15、B通用函数n常用数学函数三角函数：abs（）,sin（）,cos（），tan（），asin（），acos（），atan（）指数函数：log（）,log10（）,exp（）,sqrt（）复数函数：conj（）,imag（）,real（）,数值处理：round（）,sign（）第36页，本讲稿共47页运算符号与特殊字符n运算符号：，*，.*，：，.，/，%,n 关系运算符：，n逻辑运算符：&，|，xor第37页，本讲稿共47页基本矩阵与矩阵处理n基本矩阵：zeros（），ones（），rand（），linspace（），logspace（）n特殊变量与常量：ans，eps，pi，i，j inf，n
16、an，realmax，realminn矩阵处理：diag（），reshape（）第38页，本讲稿共47页矩阵函数及线性代数n矩阵分析：norm（），rank（），det（）n线性方程：，/，inv（）n特征值：eig（），poly（）第39页，本讲稿共47页多项式处理函数n多项式处理：root（），poly（），polyder（），residue（）polyfit（），conv（），deconv（）n数据插值：interp1（）第40页，本讲稿共47页数据分析函数n基本运算：max（），min（），mean（），sum（），第41页，本讲稿共47页语言结构与跟踪调试n编程用MATLAB结构：f
17、unction，globaln控制流程：if，else，elseif，end，for，while，break，returnn交互式输入命令：input（），keyboard（），menu（），pause第42页，本讲稿共47页图形绘制函数n图形操作：figure（），close（），subplot（），grid，axis，holdn二维图形：plot（），semilogx（），semilogy（），polar（），bar（）n图形修饰：title（），xlabel（），ylabel（），三维图形：plot（），mesh（），surf（）第43页，本讲稿共47页函数的调用方法nmyfile.m function result=fsum(a,b)result=sqrt(a.2)+(b.2)n调用方法为：myfile(a,b)或 cmyfile(a,b)*注意：除了文件名myfile外，还要加参数(a,b)第44页，本讲稿共47页子函数的调用方法n主程序与子程序一定要在同一个目录，即都在当前目录下。n主程序调用子程序时，调用方法与函数文件的调用方法类似。第45页，本讲稿共47页数据输入输出nsavenloadnprintf第46页，本讲稿共47页文件I/Onfopen第47页，本讲稿共47页