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1、第4章矩阵对角化线性代数及其应用第1页，本讲稿共70页第第4 4章章 矩阵的对角化矩阵的对角化 矩阵特征值理论在许多实际问题的解矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用决中起着重要作用.本章本章着重介绍矩阵的特着重介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，给出矩阵征值和特征向量的概念、性质，给出矩阵与对角矩阵相似的条件、计算方法，并对与对角矩阵相似的条件、计算方法，并对实对称矩阵的对角化进行了讨论实对称矩阵的对角化进行了讨论.第2页，本讲稿共70页第第4.14.1节节 向量的内积长度与正交向量的内积长度与正交 在向量代数中给出了向量长度、夹角和数量在向量代数中给出了向量长度、夹角和数量积
2、等概念，本节将这些概念推广到积等概念，本节将这些概念推广到 n维向量空间，维向量空间，在此基础上介绍正交向量组概念和将线性无关向量组在此基础上介绍正交向量组概念和将线性无关向量组化为正交向量组的一种方法。化为正交向量组的一种方法。n向量的内积向量的内积 n向量的长度向量的长度n正交向量组正交向量组nSchimidt正交化方法正交化方法n正交矩阵正交矩阵第3页，本讲稿共70页1.向量的内积向量的内积(1)3维向量的数量积维向量的数量积(内积内积)已知向量已知向量,R3,称实数称实数 =|cos 为为 与与 的的数量积数量积(内积内积),),其中其中|,|分别为向量分别为向量,的模的模,为为 与与
3、 的夹角的夹角.当向量当向量,相互垂直时，我们称相互垂直时，我们称,正交正交.因此有因此有 ,正交正交数量积数量积 =0.第4页，本讲稿共70页(2)n维向量空间内积维向量空间内积为向量为向量 与与 内积内积.用矩阵记号可表示为用矩阵记号可表示为 T 或或 T .内积的定义内积的定义性质性质()()()()()()当且仅当当且仅当 =0时，时，,=0.第5页，本讲稿共70页2.向量的长度、夹角向量的长度、夹角定义（向量的长度）定义（向量的长度）称为称为n维向量维向量 的长度的长度(范数或模范数或模).注：长度为注：长度为1的向量的向量,称为单位向量称为单位向量.性质性质(i)(ii)(iii)
4、第6页，本讲稿共70页例例1 解解第7页，本讲稿共70页向量的向量的夹角夹角称为向量称为向量与与的夹角的夹角.若若 ,=0，称向量，称向量 与与正交正交.第8页，本讲稿共70页定义定义1 1 非零向量组中非零向量组中,若任意两个向量都正交若任意两个向量都正交,称这称这个向量组为个向量组为正交向量组正交向量组.定义定义2 2 正交向量组中正交向量组中,若每个向量都是单位向量若每个向量都是单位向量,称称这个向量组为这个向量组为标准正交向量组标准正交向量组.即若即若 1,2,n为为标准正交向量组，则标准正交向量组，则如下向量组是否为正交向量组如下向量组是否为正交向量组?3.正交向量组正交向量组第9页
5、，本讲稿共70页定理定理 正交向量组是线性无关的向量组正交向量组是线性无关的向量组.上上例例中中 1,2,3均均为为单单位位向向量量且且两两两两正正交交,该该向向量量组为标准正交向量组组为标准正交向量组.定义定义3 3 设设 1,2,r是向量空间是向量空间V的一个基，如果的一个基，如果 1,2,r是一个是一个标准正交向量组标准正交向量组,则称则称 1,2,r为为V的一个标准的一个标准正交基正交基.反之如何？反之如何？两边同时与两边同时与 i 作内积作内积,得得证证第10页，本讲稿共70页注注 基本单位向量组基本单位向量组1,2,n是是Rn的一个标准的一个标准正交基正交基;若若 1,2,r 是向
6、量空间是向量空间V的一个标准正交的一个标准正交基基,则则V中任意向量中任意向量 可由其线性表示为可由其线性表示为 =,1 1+,2 2+,r r.第11页，本讲稿共70页解解依题意依题意 3=（x1,x2,x3)T应满足应满足例例2 第12页，本讲稿共70页4.施密特（施密特（Schimidt）正交化方法）正交化方法 由一组线性无关向量组出发，获得与其等价正由一组线性无关向量组出发，获得与其等价正交向量组的过程称为向量组的交向量组的过程称为向量组的正交化过程正交化过程.定理定理 (施密特正交化方法施密特正交化方法)给定给定n维向量空间维向量空间Rn的任的任一线性无关向量组一线性无关向量组 1,
7、2,r,令令则向量组则向量组 1,2,r为为正交向量组正交向量组且与且与 1,2,r等价等价.第13页，本讲稿共70页解解设所求向量为设所求向量为x，则，则 x,1=0,即即例例3基础解系为基础解系为 1,2,3即为所求即为所求.第14页，本讲稿共70页标准正交基求法标准正交基求法（i）正交化正交化 设设 1,2,，r 为向量空间为向量空间V的一个的一个 基，利用施密特（基，利用施密特（Schimidt）正交化方法得与）正交化方法得与 之等价的正交基之等价的正交基 1,2,r .（ii）单位化单位化（标准化）（标准化）令令注注 若求与线性无关向量组等价的正交向量组，只要对若求与线性无关向量组等
8、价的正交向量组，只要对该向量组应用上面过程（该向量组应用上面过程（i）正交化即可）正交化即可;若若1，2，r是向量空间是向量空间V的一个正交基的一个正交基,则则只要对该向量组应用上面过程（只要对该向量组应用上面过程（i i）进行单位化即可）进行单位化即可.第15页，本讲稿共70页解解(i)正交化正交化例例4 第16页，本讲稿共70页令令(ii)单位化单位化第17页，本讲稿共70页5.正交矩阵正交矩阵定义定义 满足满足AAT=ATA=E的的n阶方阵阶方阵A称为称为正交矩阵正交矩阵.结论结论 若若A为正交矩阵为正交矩阵,则则若若A,B是正交矩阵是正交矩阵,则则A-1,AT,AB也是正交矩阵也是正交
9、矩阵.例如例如 如下矩阵如下矩阵A是一个正交矩阵是一个正交矩阵.满足满足AAT=E，同理得同理得ATA=E.第18页，本讲稿共70页证证定理定理 n阶方阵阶方阵A为正交矩阵为正交矩阵A的列向量组的列向量组(行向量组行向量组)都是标准正交向量组都是标准正交向量组.将将A用列向量表示为用列向量表示为 ATA为正交阵为正交阵 即即A的列向量组的列向量组(行向量组行向量组)都是标准正交向量组都是标准正交向量组.第19页，本讲稿共70页证证记记例例5 即即B为正交矩阵为正交矩阵.第20页，本讲稿共70页第第4.2节节 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量基本内容：基本内容：n特征值、特征向量的概
10、念和计算方法特征值、特征向量的概念和计算方法n特征值、特征向量的性质特征值、特征向量的性质第21页，本讲稿共70页1.特征值、特征向量的概念和计算方法特征值、特征向量的概念和计算方法(1)特征值与特征向量定义特征值与特征向量定义 设设A为为n阶方阵阶方阵,若存在数若存在数 及非零列向量及非零列向量x,使使 Ax=x则称数则称数 为为A的的特征值特征值,x为为A的对应于的对应于 的的特征向量特征向量.注：注：对应于同一特征值的特征向量不惟一；对应于同一特征值的特征向量不惟一；一个特征向量不能对应于不同特征值一个特征向量不能对应于不同特征值.第22页，本讲稿共70页(2)(2)相关概念相关概念 将
11、特征值与特征向量定义式将特征值与特征向量定义式 Ax=x 改写为改写为 x Ax=0 即即 (E A)x=0称称第23页，本讲稿共70页(3)特征值与特征向量求法特征值与特征向量求法 依据依据 (E A)x=0 知：知：特征向量特征向量 x 为该齐次线性方程组的非零解；为该齐次线性方程组的非零解；而齐次线性方程组有非零解的充要条件是而齐次线性方程组有非零解的充要条件是 系数矩阵的行列式系数矩阵的行列式 EA =0,即即A的特征值的特征值 为特征方程的根为特征方程的根.步骤如下步骤如下(i)求出特征方程求出特征方程 EA =0的全部根的全部根 1,2,n,即即A的全部特征值的全部特征值；(ii)
12、对每个对每个 i,求方程组求方程组(iEA)x=0 的所有非零解，的所有非零解，即为即为A的对应的对应于特征值于特征值 i 的特征向量的特征向量.分分析析 第24页，本讲稿共70页例例1 1 求矩阵求矩阵A的特征值和特征向量的特征值和特征向量解解 (i)(ii)第25页，本讲稿共70页例例2 2解解(i)第26页，本讲稿共70页(ii)第27页，本讲稿共70页例例3 3 求矩阵求矩阵A的特征值和特征向量的特征值和特征向量解解 (i)(ii)第28页，本讲稿共70页例例2与例与例3中中,重特征值所重特征值所对应的线性对应的线性无关特征向无关特征向量的个数是量的个数是不相同的不相同的.第29页，本
13、讲稿共70页(1)特征值的性质特征值的性质n定理定理1 若若 1,2,n为方阵为方阵A的的n个特征值，个特征值，则则 (i)1 2 n=A;(ii)1+2+n=a11+a22+ann=tr(A).2.特征值、特征向量的性质特征值、特征向量的性质第30页，本讲稿共70页n定理定理2 n 阶方阵阶方阵A与与AT 有相同的特征值有相同的特征值.证证 由于由于 (EA)T=(E)TAT=EAT,所以所以 EA =(EA)T =EAT 即即A与与AT 有相同的特征值有相同的特征值.n定理定理3 若若 为方阵为方阵A的特征值，则的特征值，则 (i)a 为为aA(a为常数为常数)的一个特征值的一个特征值;(
14、ii)k为为Ak(k为正整数为正整数)的一个特征值的一个特征值;(iii)若若f(x)为为x的多项式的多项式,则则f()为为f(A)的一个特征值；的一个特征值；(iv)若若A可逆可逆,则则-1-1为为A-1-1的一个特征值的一个特征值;-1-1A 为为A*的的一个特征值一个特征值.第31页，本讲稿共70页定理定理3 3的证明的证明第32页，本讲稿共70页例例4 已知已知3阶方阵阶方阵A的特征值为的特征值为1，2，-3.求求 (1)2A的特征值；的特征值；(2)A1的特征值的特征值;(3)tr(A),|A|;(4)A*的特征值的特征值;(5)A2的特征值的特征值;(6)B=A22A+E的特征值及
15、的特征值及|B|.解解 由特征值的性质由特征值的性质，得，得 (1)2A的特征值为的特征值为2，4，6；(2)A1的特征值为的特征值为1，1/2，1/3;(3)tr(A)=1+2+(3)=0,|A|=1 2 (-3)=6;(4)A*的特征值为的特征值为 6，3，2;(5)A2的特征值为的特征值为1，4，9;(6)B=A22A+E的特征值为的特征值为 2 2 +1即即0，1，16；|B|=0.第33页，本讲稿共70页(2)特征向量的性质特征向量的性质n定理定理4 方阵方阵A的对应于不同特征值的特征向量线的对应于不同特征值的特征向量线性无关性无关.证证 设设 1,2,m为方阵为方阵A的的m个不同特
16、征值个不同特征值,x1,x2,xm为相应的特征向量为相应的特征向量.当当m=1时时,x10(单个的非零向量线性无关单个的非零向量线性无关),定理定理成立成立.假设对假设对m1不同的特征值不同的特征值定理成立，现证定理成立，现证对对m个个不同特征值定理也成立不同特征值定理也成立.设设 k1x1+k2x2+kmxm=0 (*)用方阵用方阵A左乘上式两端左乘上式两端,得得 k1Ax1+k2Ax2+kmAxm=0第34页，本讲稿共70页再利用再利用 Axi=i xi(i=1,2,m),得得 k1 1x1+k2 2x2+km mxm=0 (*)(*)-m(*),得得k1(1 m)x1+k2(2 m)x2
17、+km-1(m-1 m)xm-1=0由归纳假设由归纳假设,x1,x2,xm-1线性无关线性无关.因而因而 ki(i m)=0 i=1,2,m-1但但(i m)0(i=1,2,m-1),于是于是ki=0(i=1,2,m-1).此时式此时式(*)变成变成 km xm=0,而而 xm0，所以，所以 km=0.这就证明了这就证明了x1 1,x2 2,xm线性无关线性无关.第35页，本讲稿共70页n定理定理5 若若 1、2是方阵是方阵A的两个不同的特征值，的两个不同的特征值，p1,p2,ps和和q1,q2,qt分别为分别为A的对应于的对应于 1 和和 2 的线性无关特征向量，则向量组的线性无关特征向量，
18、则向量组p1,p2,ps,q1,q2,qt线性无关线性无关.例如例如 例例2中中 1=-1，2=3=2对应的特征向量对应的特征向量第36页，本讲稿共70页关于对应于同一个特征值的特征向量间的关系，有关于对应于同一个特征值的特征向量间的关系，有n定理定理6 若若 0是方阵是方阵A的的k重特征值，则对应于重特征值，则对应于 0的的线性无关特征向量个数不超过线性无关特征向量个数不超过k个个.例如例如 教材教材P178-179 例例4.4.2,例例4.4.3第37页，本讲稿共70页第第4.34.3节节 相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵间的一种重要关系，在相似是矩阵间的一种重要关系，在理论研究和实际应用中，
19、常常需要把一理论研究和实际应用中，常常需要把一个矩阵化成较简单的矩阵个矩阵化成较简单的矩阵n相似矩阵相似矩阵n矩阵的对角化矩阵的对角化第38页，本讲稿共70页1.1.相似矩阵相似矩阵(1)相似矩阵定义相似矩阵定义 设设A、B为为n阶方阵，若存在可逆矩阵阶方阵，若存在可逆矩阵P,使使P1AP=B称矩阵称矩阵A相似于矩阵相似于矩阵B,或称或称A与与B相似相似.记为记为AB.注注:AA；若若AB，则，则B A；若若 AB,B C 则则AC.AB A与与B等价等价.第39页，本讲稿共70页(2)(2)相似矩阵的性质相似矩阵的性质(i)若若AB,则则|A|=|B|；(ii)若若AB,则则 E A E B
20、,从而从而|E A|=|E B|,进而有相同的特征值，有相同的迹；进而有相同的特征值，有相同的迹；(iii)若若AB,则则Am Bm,kA kB;(iv)若若AB,f(x)为多项式为多项式,则则f(A)f(B);(v)若若AB,且均可逆，则且均可逆，则A1 B1；(vi)若若AB,则则r(A)=r(B).第40页，本讲稿共70页证证 设矩阵设矩阵A与与B相似相似,即有即有P1AP=B,则则(i)|B|=|P1AP|=|P1|A|P|=|A|；(ii)E B=P1 P P1AP=P1(E A)P,即即 E A E B；再由；再由(i)得得|E A|=|E B|；进而有相同的特征值，有相同的迹；进
21、而有相同的特征值，有相同的迹；(iii)Bm=(P1AP)m=(P1AP)(P1AP)(P1AP)=P1AmP,即即Am Bm ；P1(kA)P=k(P1AP)=kB,即即 kA kB;(iv)由由(iii)及矩阵的运算性质即得及矩阵的运算性质即得f(A)f(B);(v)B1=(P1AP)1=P1A1(P1)1=P1A1P；(vii)AB时，时，A与与B等价，从而等价，从而r(A)=r(B).第41页，本讲稿共70页例例1 1解解 因相似矩阵有相同的特征值因相似矩阵有相同的特征值,故故A与与B有相同的有相同的 特征值特征值 2,y,1.由特征值的性质，有由特征值的性质，有 2+0+x=2+y+
22、(1)2=|A|=2y(1)=2y 得得 y=1，x=0.第42页，本讲稿共70页2.矩阵的对角化矩阵的对角化（矩阵与对角矩阵相似的条件）（矩阵与对角矩阵相似的条件）(1)A可对角化的定义可对角化的定义 若若A与对角矩阵与对角矩阵相似，称相似，称A可对角化可对角化.(2)A可对角化的条件可对角化的条件 定理定理 证证 ()第43页，本讲稿共70页第44页，本讲稿共70页 ()第45页，本讲稿共70页推论推论 若若A有有n个互不相同的特征值个互不相同的特征值,则则A可对角化可对角化.n阶方阵阶方阵A可对角化可对角化 A的每个的每个特征值的特征值的重数重数等于对应的等于对应的线性无关特征向量的个数
23、线性无关特征向量的个数.(3)矩阵对角化的实施矩阵对角化的实施步骤步骤(i)求出求出A的全部特征值的全部特征值 1,2,n；(ii)对每个对每个 i,求方程组求方程组(i E A)x=0 的基础解系的基础解系 即为即为A的对应于特征值的对应于特征值 i 的线性无关特征向量的线性无关特征向量;(iii)若若A有有n个线性无关特征向量个线性无关特征向量 p1,p2,pn,则则A与对角矩阵相似与对角矩阵相似.令令 P=(p1,p2,pn)，则则 第46页，本讲稿共70页例例1 矩阵矩阵 能否对角化？若能，求可逆能否对角化？若能，求可逆矩阵矩阵P,使使P1 AP=为对角阵为对角阵.解解 (i)(ii)
24、第47页，本讲稿共70页第48页，本讲稿共70页例例2 矩阵矩阵 能否对角化能否对角化?若能若能,求可逆求可逆矩阵矩阵P,使使P1 AP=为对角阵为对角阵.解解 (i)(ii)第49页，本讲稿共70页 由于线性无关特征向量个数为由于线性无关特征向量个数为23，因此该矩阵不因此该矩阵不能对角化能对角化.第50页，本讲稿共70页例例3 已知矩阵已知矩阵 ，a为何值时，为何值时，A可对可对角化角化?解解 由由第51页，本讲稿共70页当当 a=2时，时，此时齐次线性方程组此时齐次线性方程组从矩阵秩的角度有：从矩阵秩的角度有：n阶方阵可对角化的充分必要条阶方阵可对角化的充分必要条件是若件是若 为为A的的
25、k重特征值，则重特征值，则第52页，本讲稿共70页(4)可对角化矩阵的简单应用可对角化矩阵的简单应用(i)由特征值和特征向量反求矩阵由特征值和特征向量反求矩阵A:A=P P1(ii)求方阵的幂求方阵的幂:Ak=Pk P1 例例4 3阶方阵阶方阵A有三个不同的特征值有三个不同的特征值 1=1,2=2,3,对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为第53页，本讲稿共70页解解 (2)令令 P=(p1,p2,p3)则则 P1AP=第54页，本讲稿共70页第55页，本讲稿共70页第第4.44.4节节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化n实对称矩阵特征值与特征向量的性质实对称矩阵特征值与特征向量的性质n
26、实对称矩阵实对称矩阵对角化方法对角化方法第56页，本讲稿共70页1.实对称矩阵特征值与特征向量的性质实对称矩阵特征值与特征向量的性质定理定理 (i)实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数;(ii)实对称矩阵实对称矩阵A的对应于不同特征值的对应于不同特征值 的特征向量相互正交的特征向量相互正交;(iii)实对称矩阵的实对称矩阵的每个每个特征值的代数重数与特征值的代数重数与几何重数相等几何重数相等.第57页，本讲稿共70页 2.实对称矩阵对角化方法实对称矩阵对角化方法 定理定理 若若A为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,则存在正交矩阵则存在正交矩阵Q，使，使 Q1AQ=QTAQ=为对角阵
27、为对角阵,的对角线上的元素为的对角线上的元素为A的的n个特征值个特征值.(证略证略)用正交矩阵化用正交矩阵化A为对角阵的步骤：为对角阵的步骤：(i)由由|E A|=0求出求出A的全部特征值的全部特征值 1,2,n;(ii)对每个对每个 i,求方程组求方程组(i E A)x=0 的的基础解系基础解系 即为即为A的属于特征值的属于特征值 i 的线性无关特征向量的线性无关特征向量;(iii)将线性无关特征向量将线性无关特征向量正交化正交化、单位化单位化，令令 Q=(q1,q2,qn)则则Q为正交矩阵，且使为正交矩阵，且使 Q1 AQ=QT AQ=为对角阵为对角阵.第58页，本讲稿共70页例例1 1解
28、解 (i)(ii)第59页，本讲稿共70页第60页，本讲稿共70页(iii)正交化、单位化正交化、单位化第61页，本讲稿共70页令令 Q=(q1,q2,q3)则则Q为正交矩阵，且使为正交矩阵，且使 Q1 AQ=QT AQ=实实对对称称矩矩阵阵A的的重重特特征征值值对对应应的的正正交交特特征征向向量量组组的的取取法不唯一，故法不唯一，故Q不唯一；不唯一；由由于于实实对对称称矩矩阵阵A的的不不同同特特征征值值对对应应的的特特征征向向量量必必正正交交，故故只只须须对对属属于于同同一一特特征征值值的的线线性性无无关关的的向向量量正正交化即可交化即可.第62页，本讲稿共70页思考练习思考练习第63页，本
29、讲稿共70页第第4.5节节 Mathematica软件应用软件应用1.命令命令 可以分别计算向量内积和模可以分别计算向量内积和模.2.命令命令 EigenvaluesA,用以求矩阵用以求矩阵A的特征值的特征值;3.命令命令EigenvectorsA,用以求矩阵用以求矩阵A的特征向量的特征向量;4.命令命令EigensystemA,用以同时给出矩阵用以同时给出矩阵A的所有特征的所有特征值与线性无关的特征向量值与线性无关的特征向量.注注:求求n阶方阵的特征值与特征向量时，结果会显示矩阵的阶方阵的特征值与特征向量时，结果会显示矩阵的所有特征值与线性无关的特征向量，如果线性无关的特征向所有特征值与线性
30、无关的特征向量，如果线性无关的特征向量的个数小于量的个数小于n，则会增加零向量，使最后结果中在形式，则会增加零向量，使最后结果中在形式上有上有n个向量个向量.第64页，本讲稿共70页 EigenvaluesA EigenvectorsA按按“Shift+Enter”键，便得计算结果键，便得计算结果.例例 1解解 (法法1)打开打开Mathematica 4.0窗口，键入窗口，键入第65页，本讲稿共70页 EigensystemA按按“Shift+Enter”键，便得计算结果键，便得计算结果.(法法2)打开打开Mathematica 4.0窗口，键入窗口，键入第66页，本讲稿共70页例例 2解解
31、 因因A的线性无关特征向量个数等于其阶数，故矩的线性无关特征向量个数等于其阶数，故矩阵阵A相似于对角矩阵相似于对角矩阵.第67页，本讲稿共70页例例3 写出写出二次型的标准形，并判定是否正定二次型的标准形，并判定是否正定.解解 因此因此,二次型二次型f 的标准形为的标准形为f=-=-y12-y22+y32.由于由于该该二二次型的特征值不都大于零，故次型的特征值不都大于零，故该该二次型不正定二次型不正定.第68页，本讲稿共70页 上机注意上机注意 1.注意命令中的各字母的大小写;2.大写的字母C,D,E,O禁用;可在 后面加1,2,使用;3.不要重复使用同名代不同的对象;4.乘号用句号,不要用 *;5.输入结果可要求矩阵式:/MatrixForm;6.分号可用,逗号不可用,空格不可用.第69页，本讲稿共70页 上机步骤上机步骤:C盘 math4 SETUP(安装程序)复制Your math ID is号码(点极小化)PASSGEN 把号码复制到空白格,点击Gencrate(生成文件)将 算 出 的 座 位 号 称 License ID 和 密 码 Password 分别复制到原SETUP 的相应位置上,然后 Exext-,一直返回到主页面.开始 所有程序 math4 打开 File Palettes BasicInput Lislsand 把所有的点击打开.第70页，本讲稿共70页