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1、近世代数课件多项式环的分解第1页，本讲稿共18页5.1 基本结论基本结论 我们将要得到的结果是：一个唯一分解环 上的多元多项式环 本身也是唯一分解环。第2页，本讲稿共18页5.2引理引理把一个素多项式叫做不可约多项式，把一个有真因子的多项式叫做可约多项式。定义定义 的一个元 叫做一个本原多项式本原多项式，假如 的系数的最大公因子是单位。引理引理 1 假定 。那么 是本原多项式，当而且只当 和 都是本原多项式的时候。第3页，本讲稿共18页证明 若是 是本原多项式，显然 和 也都是本原多项式。现在假定 是两个本原多项式。如果 不是本原多项式，那么有一个最大公因子d，d不是 的单位。由于（B），因而
2、 。这样，由于 是唯一分解环，有一个 的素元 可以整除d，因而可以整除每一个 。这个 不能整除所有的 ，也不能整除所有的 ，不然 和 不会是本原多项式。假定 和 各是 和 的头一个不能被 整数的系数。是系数 可以写成以下形式第4页，本讲稿共18页 在这个式子里除了 以外，每项都能被 整除，所以 也能被 整除，因而由于 是唯一分解环，或 能被 整除，与这两个元的取发相反。这样 必须是本原多项式。证完。现在我们用 的商域Q来做Q上的一元多项式环 ，那么 包含 。我们知道 是唯一分解环，我们要由这一件事实来证明 也是唯一分解环。第5页，本讲稿共18页引理引理 2 的每一个不等于零的多项式 都可以写成
3、 的样子，这里 是 的本元多项式。若是 也有 的性质，那么第6页，本讲稿共18页证明证明 Q的元都可以写成 的样子，因此 叫 ，那么 叫 b 是 的一个最大公因子，那么 ，是本原多项式（，2习题2）假定另一方面 ，是 的本原多项式，那么 是 的一个多项式。由于 和 都是本原多项式，bc和ad一定同是 的系数的最大公因子（，2，习题2），因而 这样 证完第7页，本讲稿共18页引理3 的一个本元多项式 在 里可约的充分而且必要条件：在 里可约。第8页，本讲稿共18页证明 假定 在 里可约。这时，因为 显然也是的本原多项式，由（C）。和 都属于 ，并且它们的次数都大于零。由引理2，和 都是 的本原多
4、项式。由引理1，还是本原多项式；由引理2，因此 ，但 和 的次数各等于 的次数，因而都大于零：；由（A），和 都不是 的单位。这样，由，1，定理3，在 里可约。第9页，本讲稿共18页假定 在 里可约。这时，由（C），都属于 ，并且他们的次数都大于零。这样，由（A），把 看作的元，这两个多项式也不是 的单位；由，1，定理3，在 里 可约。证完。第10页，本讲稿共18页引理引理 4 的一个次数大于零的本原多项式 在 里有唯一分解。第11页，本讲稿共18页证明证明 我们先证明 可以写成不可约多项式的乘积。若是 本身不可约，我们用不着再证明什么。假定 可约。由（C）和引理1，都是本原多项式，并且他们的
5、次数都小于 的次数。这样，假如 还是可约，我们又可以把他们写成次数更小的本原多项式的乘积。由于 的次数是有限正整数，最后我们可以得到（1）。是不可约本原多项式。第12页，本讲稿共18页假定还有一个分解（2）。那么由引理1，是不可约本原多项式。由引理3，和 在 里还是不可约，这就是说，（1）和（2）也是 在 里的两种分解，但 是唯一分解环，所以我们有并且由（A），我们可以假定这样，由引理2，在 里有唯一分解。证完第13页，本讲稿共18页5.3 结论的证明结论的证明定理定理 1 若是 是唯一分解环，那么 也是。证明证明 我们看 的一个不是零也不是单位的多项式 。若 ，那么由于 是唯一分解环，显然有
6、唯一分解。若 是本原多项式，由引理4，也有唯一分解。这样，我们只需看 d不是 的单位，是次数大于零的本圆多项式时的情形。第14页，本讲稿共18页这时，因d有分解 有分解 是不可约本原多项式，所以 在 里有分解：假定在里有另一种分解：都是 的不可约多项式。这时，一定是 的素元，一定是不可约多项式。第15页，本讲稿共18页因为：若不是 的素元，显然也不会是 的不可约多项式；若不是本原多项式，它的系数的最大公因子 显然是它的一个真因子，因而 也不会是不可约多项式，这样由引理1和2，我们有（3）是 的单位；因而（4）第16页，本讲稿共18页（3）式表示的是本原多项式 的两种分解，因而由引理4，而且我们可以假定（4）表示的是唯一分解环 的元d的两种分解，因而而且我们可以假定这样，是唯一分解环。证完。第17页，本讲稿共18页由定理 1，应用归纳法立刻可以得到定理定理 2 若 是唯一分解环，那么 也是，这里 是 上的无关未定元。由定理1，当 是整数环的时候，是一个唯一分解环。但我们知道，这个多项式环不是一个主理想环（，7，例3）。这样，我们有了一个分解环不是主理想的例子。第18页，本讲稿共18页