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1、5.多项式环的因子分解多项式环的因子分解5.1 基本结论基本结论5.2 引理引理5.3 结论的证明结论的证明5.1 基本结论基本结论 我们将要得到的结果是:一个唯一分解环 上的多元多项式环 本身也是唯一分解环。5.2引理引理把一个素多项式叫做不可约多项式,把一个有真因子的多项式叫做可约多项式。定义定义 的一个元 叫做一个本原多项式本原多项式,假如 的系数的最大公因子是单位。引理引理 1 假定 。那么 是本原多项式,当而且只当 和 都是本原多项式的时候。证明 若是 是本原多项式,显然 和 也都是本原多项式。现在假定 是两个本原多项式。如果 不是本原多项式,那么有一个最大公因子d,d不是 的单位。
2、由于(B),因而 。这样,由于 是唯一分解环,有一个 的素元 可以整除d,因而可以整除每一个 。这个 不能整除所有的 ,也不能整除所有的 ,不然 和 不会是本原多项式。假定 和 各是 和 的头一个不能被 整数的系数。是系数 可以写成以下形式 在这个式子里除了 以外,每项都能被 整除,所以 也能被 整除,因而由于 是唯一分解环,或 能被 整除,与这两个元的取发相反。这样 必须是本原多项式。证完。现在我们用 的商域Q来做Q上的一元多项式环 ,那么 包含 。我们知道 是唯一分解环,我们要由这一件事实来证明 也是唯一分解环。引理引理 2 的每一个不等于零的多项式 都可以写成 的样子,这里 是 的本元多
3、项式。若是 也有 的性质,那么证明证明 Q的元都可以写成 的样子,因此 叫 ,那么 叫 b 是 的一个最大公因子,那么 ,是本原多项式(,2习题2)假定另一方面 ,是 的本原多项式,那么 是 的一个多项式。由于 和 都是本原多项式,bc和ad一定同是 的系数的最大公因子(,2,习题2),因而 这样 证完引理3 的一个本元多项式 在 里可约的充分而且必要条件:在 里可约。证明 假定 在 里可约。这时,因为 显然也是的本原多项式,由(C)。和 都属于 ,并且它们的次数都大于零。由引理2,和 都是 的本原多项式。由引理1,还是本原多项式;由引理2,因此 ,但 和 的次数各等于 的次数,因而都大于零:
4、;由(A),和 都不是 的单位。这样,由,1,定理3,在 里可约。假定 在 里可约。这时,由(C),都属于 ,并且他们的次数都大于零。这样,由(A),把 看作的元,这两个多项式也不是 的单位;由,1,定理3,在 里 可约。证完。引理引理 4 的一个次数大于零的本原多项式 在 里有唯一分解。证明证明 我们先证明 可以写成不可约多项式的乘积。若是 本身不可约,我们用不着再证明什么。假定 可约。由(C)和引理1,都是本原多项式,并且他们的次数都小于 的次数。这样,假如 还是可约,我们又可以把他们写成次数更小的本原多项式的乘积。由于 的次数是有限正整数,最后我们可以得到(1)。是不可约本原多项式。假定
5、还有一个分解(2)。那么由引理1,是不可约本原多项式。由引理3,和 在 里还是不可约,这就是说,(1)和(2)也是 在 里的两种分解,但 是唯一分解环,所以我们有并且由(A),我们可以假定这样,由引理2,在 里有唯一分解。证完5.3 结论的证明结论的证明定理定理 1 若是 是唯一分解环,那么 也是。证明证明 我们看 的一个不是零也不是单位的多项式 。若 ,那么由于 是唯一分解环,显然有唯一分解。若 是本原多项式,由引理4,也有唯一分解。这样,我们只需看 d不是 的单位,是次数大于零的本圆多项式时的情形。这时,因d有分解 有分解 是不可约本原多项式,所以 在 里有分解:假定在里有另一种分解:都是
6、 的不可约多项式。这时,一定是 的素元,一定是不可约多项式。因为:若不是 的素元,显然也不会是 的不可约多项式;若不是本原多项式,它的系数的最大公因子 显然是它的一个真因子,因而 也不会是不可约多项式,这样由引理1和2,我们有(3)是 的单位;因而(4)(3)式表示的是本原多项式 的两种分解,因而由引理4,而且我们可以假定(4)表示的是唯一分解环 的元d的两种分解,因而而且我们可以假定这样,是唯一分解环。证完。由定理 1,应用归纳法立刻可以得到定理定理 2 若 是唯一分解环,那么 也是,这里 是 上的无关未定元。由定理1,当 是整数环的时候,是一个唯一分解环。但我们知道,这个多项式环不是一个主理想环(,7,例3)。这样,我们有了一个分解环不是主理想的例子。