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1、第11章李雅普诺夫稳定性分析第1页，本讲稿共75页$1$1 概概 述述稳定性稳定性 当系统受到外界干扰后当系统受到外界干扰后,虽然它的原虽然它的原有平衡状态有平衡状态(相对稳定性相对稳定性)被破坏被破坏,但在外但在外部干扰去掉后部干扰去掉后,仍有能力自动地在另一新仍有能力自动地在另一新平衡状态平衡状态(相对稳定状态相对稳定状态)下继续工作下去下继续工作下去,系统的这种本能通常叫做系统的稳定系统的这种本能通常叫做系统的稳定性性.第2页，本讲稿共75页 电机自动调速系统中保持电机转电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力速为一定的能力 火箭飞行中保持航行为一定的能力火箭飞行中保持航行为一定的能力
2、能力能力 电压自动调节系统中保持电机电压电压自动调节系统中保持电机电压为恒定的能力为恒定的能力第3页，本讲稿共75页第4页，本讲稿共75页第5页，本讲稿共75页第6页，本讲稿共75页$2$2 李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定第7页，本讲稿共75页一、李雅普诺夫意义下的稳定性的定义一、李雅普诺夫意义下的稳定性的定义第8页，本讲稿共75页.,为给定的常数其中de)t(t X-)t,x(t,0e00e FeX-X d:)(它的范数为件可以画出一个球域设对应于系统的初始条dS,)t,x(t,),()(00其范数为：的所有各点的球域的解是含有方程eF=txfXS&第9页，本讲稿共75页1.1
3、.李雅普诺夫稳定李雅普诺夫稳定 ,恒有时使得当使得当若系统若系统 稳定的。李雅普诺夫意义下是则称系统的平衡状态Xe),(t X-)t,x(t,0e00te&),(txfX=则称这种平衡状态为一致稳定的平衡状态。一般决定球域大小的,0有关有关也与与ted,0无关时与 td当第10页，本讲稿共75页第11页，本讲稿共75页2.2.渐近稳定性渐近稳定性第12页，本讲稿共75页3.3.大范围内的渐近稳定大范围内的渐近稳定第13页，本讲稿共75页说明：第14页，本讲稿共75页4.4.不稳定性不稳定性第15页，本讲稿共75页二、标量函数的正定性定义二、标量函数的正定性定义第16页，本讲稿共75页第17页，
4、本讲稿共75页第18页，本讲稿共75页第19页，本讲稿共75页第20页，本讲稿共75页三、二次型赛尔维斯特准则第21页，本讲稿共75页第22页，本讲稿共75页第23页，本讲稿共75页定理：第24页，本讲稿共75页第25页，本讲稿共75页第26页，本讲稿共75页第27页，本讲稿共75页$3 判别稳定性的李雅普诺夫方法一、李氏第一法（间接法）第28页，本讲稿共75页状态。时，系统处于临界稳定）（当）决定，（由高次项征值，则系统的稳定性的特征值中含有零特，一次近似处不稳定具有正实部，则系统在的特征值至少有一个，一次近似处稳定则系统在的特征值具有负实部，一次近似0AAXX )3(0XAAXX )2(0
5、XAAXX (1)ee=XBXB&第29页，本讲稿共75页二、李氏第二法（直接法）为负定为正定并满足：函数 2 1 ),(txV则在状态空间原点处的平衡状态是一致渐近稳定的如果随着Xt)V(x,则在原点处的平衡状态是大范围内的渐近稳定。第30页，本讲稿共75页X(0)第31页，本讲稿共75页第32页，本讲稿共75页且满足条件偏导数的标量函数如果存在一个具有一阶设系统的状态方程为定理:),(),(X:2.正定),(.1txVtxVtxf=&负半定.2.3及任意对任意000),(tttxtF时不恒为零。在。其中)0),0(（tf=第33页，本讲稿共75页第34页，本讲稿共75页第35页，本讲稿共7
6、5页解法二：第36页，本讲稿共75页第37页，本讲稿共75页第38页，本讲稿共75页第39页，本讲稿共75页第40页，本讲稿共75页第41页，本讲稿共75页第42页，本讲稿共75页第43页，本讲稿共75页第44页，本讲稿共75页$5 应用李雅普诺夫方法分析线性系统的稳定性一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析存在或实对称阵正定的赫米特矩阵有一个或实对称阵个正定的赫米特矩阵的矩阵。给定一为的矩阵，而为其中设系统的状态方程为定理PnnAnX)()(*1*.1AXX=&第45页，本讲稿共75页可选为李氏函数。处是大范围渐近稳定的。则的唯一解，则系统在平衡状态它是方程PXXxVT=)(Xe=0:PA=-
7、PAT+第46页，本讲稿共75页第47页，本讲稿共75页PI-=+PAPAT-=+QPAPAT则通常取是否也是正定的的I=Q,QxV，然后检查满足等式定一个正定的矩阵的符号特征时，首先指在判定说明：:)(.1&第48页，本讲稿共75页沿任意一条轨迹不恒如果QXXVT-=&.3 ：矩阵的积分公式计算算也比较困难可用下面比较高时，其运方程组。当系统的阶数个代数的元素时，需要求解多即计算，求矩阵解李氏方程PPPQPAPAT-=+.2第49页，本讲稿共75页最简单的是：也可以取正半定矩阵，等于零，则Q第50页，本讲稿共75页第51页，本讲稿共75页第52页，本讲稿共75页第53页，本讲稿共75页第54
8、页，本讲稿共75页+-k/(s+1)k/(s+2)1/sry第55页，本讲稿共75页&+-=+-=krxkxxxxxxx313322212&解：由图可得：第56页，本讲稿共75页&+-=+-=krxkxxxxxxx313322212&解：由图可得：第57页，本讲稿共75页第58页，本讲稿共75页=)0,0,0(,0X选取解得平衡状态为令因此&-=+-=2 31332221xkxxxxxxx&第59页，本讲稿共75页第60页，本讲稿共75页第61页，本讲稿共75页第62页，本讲稿共75页第63页，本讲稿共75页第64页，本讲稿共75页第65页，本讲稿共75页第66页，本讲稿共75页第67页，本讲稿共75页第68页，本讲稿共75页第69页，本讲稿共75页第70页，本讲稿共75页第71页，本讲稿共75页第72页，本讲稿共75页第73页，本讲稿共75页第74页，本讲稿共75页第75页，本讲稿共75页