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1、第11章李雅普诺夫稳定性分析第1页，共75页，编辑于2022年，星期日$1$1 概概 述述稳定性稳定性 当系统受到外界干扰后当系统受到外界干扰后,虽然它的原虽然它的原有平衡状态有平衡状态(相对稳定性相对稳定性)被破坏被破坏,但在但在外部干扰去掉后外部干扰去掉后,仍有能力自动地在另仍有能力自动地在另一新平衡状态一新平衡状态(相对稳定状态相对稳定状态)下继续工下继续工作下去作下去,系统的这种本能通常叫做系统的系统的这种本能通常叫做系统的稳定性稳定性.第2页，共75页，编辑于2022年，星期日 电机自动调速系统中保持电机转速电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力为一定的能力 火箭飞行中保持航行为
2、一定的能火箭飞行中保持航行为一定的能力能力力能力 电压自动调节系统中保持电机电压为电压自动调节系统中保持电机电压为恒定的能力恒定的能力第3页，共75页，编辑于2022年，星期日第4页，共75页，编辑于2022年，星期日第5页，共75页，编辑于2022年，星期日第6页，共75页，编辑于2022年，星期日$2$2 李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定第7页，共75页，编辑于2022年，星期日一、李雅普诺夫意义下的稳定性的定义一、李雅普诺夫意义下的稳定性的定义第8页，共75页，编辑于2022年，星期日.,为给定的常数为给定的常数其中其中d de e)t(t X-)t,x(t,0e00e e
3、F FeX-X d d:)(它的范数为它的范数为件可以画出一个球域件可以画出一个球域设对应于系统的初始条设对应于系统的初始条d dS,)t,x(t,),()(00其范数为：其范数为：的所有各点的球域的所有各点的球域的解的解是含有方程是含有方程e eF F=txfXS&第9页，共75页，编辑于2022年，星期日1.1.李雅普诺夫稳定李雅普诺夫稳定 ,恒有恒有时时使得当使得当若系统若系统 稳定的。稳定的。李雅普诺夫意义下李雅普诺夫意义下是是则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态Xe),(t X-)t,x(t,0e00te&),(txfX=则称这种平衡状态为一致稳定的平衡状态。则称这种平衡状态为一致稳
4、定的平衡状态。一般决定球域大小的一般决定球域大小的,0有关有关有关也与有关也与与与ted,0无关时无关时与与 td当当第10页，共75页，编辑于2022年，星期日第11页，共75页，编辑于2022年，星期日2.2.渐近稳定性渐近稳定性第12页，共75页，编辑于2022年，星期日3.3.大范围内的渐近稳定大范围内的渐近稳定第13页，共75页，编辑于2022年，星期日说明：第14页，共75页，编辑于2022年，星期日4.4.不稳定性不稳定性第15页，共75页，编辑于2022年，星期日二、标量函数的正定性定义二、标量函数的正定性定义第16页，共75页，编辑于2022年，星期日第17页，共75页，编辑
5、于2022年，星期日第18页，共75页，编辑于2022年，星期日第19页，共75页，编辑于2022年，星期日第20页，共75页，编辑于2022年，星期日三、二次型赛尔维斯特准则第21页，共75页，编辑于2022年，星期日第22页，共75页，编辑于2022年，星期日第23页，共75页，编辑于2022年，星期日定理：第24页，共75页，编辑于2022年，星期日第25页，共75页，编辑于2022年，星期日第26页，共75页，编辑于2022年，星期日第27页，共75页，编辑于2022年，星期日$3 判别稳定性的李雅普诺夫方法一、李氏第一法（间接法）第28页，共75页，编辑于2022年，星期日状态。时，
6、系统处于临界稳定）（当）决定，（由高次项征值，则系统的稳定性的特征值中含有零特，一次近似处不稳定具有正实部，则系统在的特征值至少有一个，一次近似处稳定则系统在的特征值具有负实部，一次近似0AAXX )3(0XAAXX )2(0XAAXX (1)ee=XBXB&第29页，共75页，编辑于2022年，星期日二、李氏第二法（直接法）二、李氏第二法（直接法）为负定为负定为正定为正定并满足：并满足：函数函数 2 1 ),(txV则在状态空间原点处的平衡状态是一致渐近稳定的如果随着Xt)V(x,则在原点处的平衡状态是大范围内的渐近稳定。第30页，共75页，编辑于2022年，星期日X(0)第31页，共75页
7、，编辑于2022年，星期日第32页，共75页，编辑于2022年，星期日且满足条件偏导数的标量函数如果存在一个具有一阶设系统的状态方程为定理:),(),(X:2.正定),(.1txVtxVtxf=&负半定.2.3及任意对任意000),(tttxtF时不恒为零。在。其中)0),0(（tf=第33页，共75页，编辑于2022年，星期日第34页，共75页，编辑于2022年，星期日第35页，共75页，编辑于2022年，星期日解法二：解法二：第36页，共75页，编辑于2022年，星期日第37页，共75页，编辑于2022年，星期日第38页，共75页，编辑于2022年，星期日第39页，共75页，编辑于2022
8、年，星期日第40页，共75页，编辑于2022年，星期日第41页，共75页，编辑于2022年，星期日第42页，共75页，编辑于2022年，星期日第43页，共75页，编辑于2022年，星期日第44页，共75页，编辑于2022年，星期日$5 应用李雅普诺夫方法分析线性系统的稳定性一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析存在或实对称阵正定的赫米特矩阵有一个或实对称阵个正定的赫米特矩阵的矩阵。给定一为的矩阵，而为其中设系统的状态方程为定理PnnAnX)()(*1*.1AXX=&第45页，共75页，编辑于2022年，星期日可选为李氏函数。处是大范围渐近稳定的。则的唯一解，则系统在平衡状态它是方程PXXxVT=
9、)(Xe=0:PA=-PAT+第46页，共75页，编辑于2022年，星期日第47页，共75页，编辑于2022年，星期日PI-=+PAPAT-=+QPAPAT则通常取是否也是正定的的I=Q,QxV，然后检查满足等式定一个正定的矩阵的符号特征时，首先指在判定说明：:)(.1&第48页，共75页，编辑于2022年，星期日沿任意一条轨迹不恒如果QXXVT-=&.3 ：矩阵的积分公式计算算也比较困难可用下面比较高时，其运方程组。当系统的阶数个代数的元素时，需要求解多即计算，求矩阵解李氏方程PPPQPAPAT-=+.2第49页，共75页，编辑于2022年，星期日最简单的是：也可以取正半定矩阵，等于零，则Q
10、第50页，共75页，编辑于2022年，星期日第51页，共75页，编辑于2022年，星期日第52页，共75页，编辑于2022年，星期日第53页，共75页，编辑于2022年，星期日第54页，共75页，编辑于2022年，星期日+-k/(s+1)k/(s+2)1/sry第55页，共75页，编辑于2022年，星期日&+-=+-=krxkxxxxxxx313322212&解：由图可得：第56页，共75页，编辑于2022年，星期日&+-=+-=krxkxxxxxxx313322212&解：由图可得：第57页，共75页，编辑于2022年，星期日第58页，共75页，编辑于2022年，星期日=)0,0,0(,0X
11、选取解得平衡状态为令因此&-=+-=2 31332221xkxxxxxxx&第59页，共75页，编辑于2022年，星期日第60页，共75页，编辑于2022年，星期日第61页，共75页，编辑于2022年，星期日第62页，共75页，编辑于2022年，星期日第63页，共75页，编辑于2022年，星期日第64页，共75页，编辑于2022年，星期日第65页，共75页，编辑于2022年，星期日第66页，共75页，编辑于2022年，星期日第67页，共75页，编辑于2022年，星期日第68页，共75页，编辑于2022年，星期日第69页，共75页，编辑于2022年，星期日第70页，共75页，编辑于2022年，星期日第71页，共75页，编辑于2022年，星期日第72页，共75页，编辑于2022年，星期日第73页，共75页，编辑于2022年，星期日第74页，共75页，编辑于2022年，星期日第75页，共75页，编辑于2022年，星期日