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1、牛顿迭代法实验第1页，本讲稿共16页设 x*是方程 f(x)=0 的根,x0是x*的近似值.在 x0 附近,对函数做局部线性化x0 x1x*(n=0,1,2,)牛顿迭代格式牛顿迭代格式:第2页，本讲稿共16页X,Y=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);X,Y=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);Z=X.*exp(-X.2-Y.2);Z=X.*exp(-X.2-Y.2);pcolor(Z);pcolor(Z);shading interpshading interppcolor：用于绘制伪彩色图用于绘制伪彩色图Shading inter使图形更精细使图形更精细第3
2、页，本讲稿共16页给定初值给定初值 z0,产生牛顿迭代数列产生牛顿迭代数列z0,z1,z2,zn,Newton 迭代法实验迭代法实验方程方程 z3 1=0 在复平面上有三个根在复平面上有三个根(n=0,1,)令第4页，本讲稿共16页考虑正方形区域 牛顿迭代法具有牛顿迭代法具有局部收敛性局部收敛性，如，如果果 z0 使迭代收敛。问迭代数列使迭代收敛。问迭代数列将收敛于何处？将收敛于何处？取定初值实验将确定实验将确定初值初值 z0 产生的牛顿迭代数列收产生的牛顿迭代数列收敛于三个根中哪一个。敛于三个根中哪一个。第5页，本讲稿共16页选择区域中规则网格点(x,y)确定迭代初始值z=x+i y进行实验
3、.将导致收敛的初值 z 分为三类,分别标以不同颜色(例如红、黄、蓝)。绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。第6页，本讲稿共16页收敛到收敛到 z1 初值点集合初值点集合收敛到收敛到 z2 初值点集合初值点集合收敛到收敛到 z3 初初值点集合值点集合图1 牛顿迭代法收敛区域第7页，本讲稿共16页在复平面内,使牛顿迭代不收敛的初值点集构成了茹利亚集(为纪念法国数学家Julia).图图2 牛顿迭代法不收敛区域牛顿迭代法不收敛区域不收敛不收敛初值点集合初值点集合第8页，本讲稿共16页function p=newton0(z)if z=0,p=0;return;endfor n=1:10 p=z-(z
4、3-1)/(3*z2);if abs(p-z)0.00001,break;end z=p;end牛顿迭代法子程序第9页，本讲稿共16页function A0=Newtonlab(n)if nargin=0,n=101;endt=linspace(-2,2,n);x,y=meshgrid(t);X=roots(1,0,0,-1);A0,A1,A2,A3=Nlab(x,y,X);A=A0+2*A1+3*A2+4*A3;figure(1),pcolor(x,y,A),shading interp figure(2),pcolor(x,y,A0),shading interp 实验绘图主程序第10页，
5、本讲稿共16页function A0,A1,A2,A3=Nlab(x,y,X);r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);Z=x+y*i;M,N=size(Z);A0=zeros(M,N);A1=A0;A2=A0;A3=A0;for k1=1:M for k2=1:N z=Z(k1,k2);p=newton0(z);%取初值调用牛顿迭代 if abs(p-r1)0.01,A1(k1,k2)=1;elseif abs(p-r2)0.01,A2(k1,k2)=1;elseif abs(p-r3)0.01,A3(k1,k2)=1;else A0(k1,k2)=1;%确定不收敛的初始点 end
6、endend调用牛顿迭代程序创建矩阵(照片)第11页，本讲稿共16页m,n=size(A0);N=m*n;II=find(A0=1);N0=length(II);II=find(A1=1);N1=length(II);II=find(A2=1);N2=length(II);II=find(A3=1);N3=length(II);format bankresults=100*N0,N1,N2,N3/N利用矩阵统计各区域百分比程序第12页，本讲稿共16页function prop=Newtonlab2(n)if nargin=0,n=100;endP=rand(n,2);x=4*P(:,1)-2;
7、y=4*P(:,2)-2;Z=x+i*y;A0=;A1=;A2=;A3=;X=roots(1,0,0,-1);r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);for k=1:n z=Z(k);p=newton0(z);if abs(p-r1)0.01,A1=A1,1;elseif abs(p-r2)0.01,A2=A2,1;elseif abs(p-r3)0.01,A3=A3,1;else _;endendN0=sum(A0);N1=sum(A1);N2=sum(A2);N3=sum(A3)format bankprop=_;第13页，本讲稿共16页实验结果表1.规则点不收敛域与收敛域百分比分
8、辨率 不收敛域 收敛域III 收敛域II 收敛域I 51*51 6.42 30.26 30.26 33.06 101*101 6.48 30.30 30.30 32.92201*201 6.52 30.27 30.27 32.93表表2.随机点不收敛域与收敛域百分比随机点不收敛域与收敛域百分比随机点数 不收敛域 收敛域III 收敛域II 收敛域I 100 6.00 27.00 31.00 36.00 1000 7.10 29.70 29.10 34.10 10000 6.11 30.84 30.06 32.99第14页，本讲稿共16页实验结论：实验结论：方程方程 z3 1=0 在复平面上有三个
9、根在复平面上有三个根取正方形区域 内任意点确定复数为牛顿迭代法初值实验结果表明实验结果表明,牛顿迭代法具有局部收敛性牛顿迭代法具有局部收敛性。至少有至少有6%的点导致牛顿迭代法不收敛的点导致牛顿迭代法不收敛;导致牛顿迭代法收敛的点分布于三个区域导致牛顿迭代法收敛的点分布于三个区域;三个区域中分别包含了三个根三个区域中分别包含了三个根,初值点接近于根所在位置初值点接近于根所在位置,必必收敛于附近根收敛于附近根;在三个区域分界处取初值点在三个区域分界处取初值点,可能导致迭代法不收敛可能导致迭代法不收敛.第15页，本讲稿共16页不敛域 敛域III 敛域II 敛域I 6.11 30.84 30.06 32.99图图3.收敛域比例二维饼图收敛域比例二维饼图图图4.收敛域比例三维饼图收敛域比例三维饼图pie(6.11,30.84,30.06,32.99,A0,A1,A2,A3)比例数据的饼图表示方法:pie()、pie3()第16页，本讲稿共16页