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1、第07章时变电磁场(2)现在学习的是第1页，共30页 第二第二,在在任何任何边界上，边界上，磁感应强度磁感应强度的的法向法向分量是连续的。分量是连续的。由磁通连续性原理，即可证明由磁通连续性原理，即可证明 或写成矢量形式或写成矢量形式 第三，第三，电通密度电通密度的的法向法向分量边界条件与分量边界条件与媒质媒质特性有关。特性有关。在在一般一般情况下，由高斯定律求得情况下，由高斯定律求得 或写成矢量形式或写成矢量形式 式中式中 s 为边界表面上为边界表面上自由自由电荷的面密度。电荷的面密度。对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质，上式又可表示为媒质，上式又可表示为现在学习的是第2页，共30页
2、对于两种对于两种理想介质理想介质形成的边界，由于不可能存在形成的边界，由于不可能存在表面表面自由电荷，因此自由电荷，因此可见，可见，两种两种理想理想介质形成的边界上介质形成的边界上，电通密度的法向分量是电通密度的法向分量是连续连续的的。第四，第四，磁场强度磁场强度的的切向分量边界条件也与媒质切向分量边界条件也与媒质特性有关特性有关。在在一般情况一般情况下，由于边界上不可能存在下，由于边界上不可能存在表面电流表面电流，根据全电流定律，只要，根据全电流定律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得电通密度的时间变化率是有限的，可得或写成矢量形式或写成矢量形式 在在理想导电理想导电体表面上可以形成表面
3、电流，此时磁场强度的切向分量是不连续体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是不连续的。的。对于对于各向同性各向同性的的线性线性介质，上式又可写为介质，上式又可写为现在学习的是第3页，共30页 在在理理想想导导电电体体内内部部不不可可能能存存在在时时变变电电磁磁场场及及时时变变的的传传导导电电流流，它它们们只只可可能能分布在理想导电体的分布在理想导电体的表面表面。在在任何任何边界上，边界上，电场电场强度的强度的切向切向分量及分量及磁感应磁感应强度的强度的法向法向分量是连续的，分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在因此理想导体表面上不可能存在电场切向电场切向分量及分量及磁场法向磁场法
4、向分量，即分量，即时变电场时变电场必必须须垂直垂直于理想导电体的表面，而时变于理想导电体的表面，而时变磁场磁场必须与其表面必须与其表面相切相切。现在学习的是第4页，共30页因因 ，或或或或 E H,enet H1t H2t JS 由于理想导电体表面存在由于理想导电体表面存在表面电流表面电流 ，设表面电流密度，设表面电流密度 的方向的方向与积分回路构成与积分回路构成右旋右旋关系，因关系，因 ，求得，求得 现在学习的是第5页，共30页例例 已知内截面为已知内截面为a b 的的矩形矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为金属波导中的时变电磁场的各分量为 其坐标如图示。试求波其坐标如图示。试求波导中的导中
5、的位移电流位移电流分布和分布和波导波导内壁内壁上的上的电荷电荷及及电电流流分布。波导内部为真空分布。波导内部为真空。azyxbxzyxyzgba磁场线磁场线电场线电场线现在学习的是第6页，共30页解解 位移电流为位移电流为 在在 y=0 的内壁上的内壁上 在在 y=b 的内壁上的内壁上 现在学习的是第7页，共30页在在 x=0 的侧壁上，的侧壁上，在在 x=a 的侧壁上，的侧壁上，在在 x=0 及及 x=a 的侧壁上，因的侧壁上，因 ，所以，所以 。zyx内壁电流内壁电流现在学习的是第8页，共30页7-4 标量位与矢量位标量位与矢量位 线性均匀线性均匀且且各向同性各向同性媒质中，由媒质中，由
6、Maxwell 方程可推得方程可推得利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，同时考到，同时考到 及及 ，那么上述两式变为，那么上述两式变为 现在学习的是第9页，共30页由此可见，由此可见，时变电磁场时变电磁场的的场强场强与与场源场源存在较复杂的关系。存在较复杂的关系。为了简化求解过程，引入为了简化求解过程，引入标量位标量位与与矢量位矢量位作为作为求解求解时变电磁场的时变电磁场的两个辅助函数两个辅助函数将将是行之有效的。是行之有效的。已知已知 ，因此，因此 可以表示为矢量场可以表示为矢量场 的旋度，即可令的旋度，即可令 式中式中 称为称为矢量位矢量位。将上式代入式。将上式代入式 中，得中，得现在学习的是
7、第10页，共30页上式又可改写为上式又可改写为 由由此此可可见见，矢矢量量场场 为为无无旋旋场场。因因此此它它可可以以用用一一个个标标量量场场 的的梯度梯度来表示，即可令来表示，即可令式中式中 称为称为标量位标量位。由此得。由此得 当它们与当它们与时间无关时间无关时，矢量位时，矢量位 及标量位及标量位 与场量的关系和与场量的关系和静态静态场场完全相同。因此矢量位完全相同。因此矢量位 又称为又称为矢量磁位矢量磁位，标量位，标量位 又称为又称为标量电标量电位位。注意：注意：矢量位矢量位 及标量位及标量位 均是均是时间时间及及空间空间函数。函数。现在学习的是第11页，共30页据据位函数定义式位函数定
8、义式及及麦克斯韦方程麦克斯韦方程利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，上两式又可写为上两式又可写为求得求得现在学习的是第12页，共30页则前两式可以简化为则前两式可以简化为 罗伦兹条件罗伦兹条件 原则上，其散度值可以原则上，其散度值可以任意任意给定，但是为了给定，但是为了简化简化计算，若令计算，若令 已经规定了矢量场已经规定了矢量场 的的旋度旋度，必须再规定其，必须再规定其散度散度。按照罗伦兹条件规定按照罗伦兹条件规定 的散度后，原来两个相互的散度后，原来两个相互关联关联的方程变为两的方程变为两个个独立独立方程。方程。矢量位矢量位 仅与电流仅与电流 有关，标量位有关，标量位 仅与电荷仅与电荷 有关。
9、有关。现在学习的是第13页，共30页 由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 A和标量位和标量位 。求出。求出 A 及及 以后，即可求出以后，即可求出电场与磁场电场与磁场。原原来来电电磁磁场场方方程程为为两两个个结结构构复复杂杂的的矢矢量量方方程程，在在三三维维空空间间中中需需要要求求解解 6 个坐标分量个坐标分量位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程 这样，这样，麦克斯韦方程麦克斯韦方程的求解归结为的求解归结为位函数方程位函数方程的求解，而且求解过程显然得的求解，而且求解过程显然得到了到了简化简化。在在三
10、三维维空空间间中中仅仅需需求求解解 4 个个坐坐标标分分量量。在在直直角角坐坐标标系系中中，实实际际上上等等于于求求解解 1 个个标量方程。标量方程。现在学习的是第14页，共30页根据静态场的结果，采用类比的方法，推出其解。根据静态场的结果，采用类比的方法，推出其解。7-5 位函数方程求解位函数方程求解 当当时时变变点点电电荷荷位位于于坐坐标标原原点点时时，其其场场分分布布一一定定具具有有球球对对称称特特点点，即即场场量量仅仅为为变变量量 r 的的函函数数，与与球球坐坐标标变变量量 及及 无无关关。那那么么，在在除除坐坐标标原原点点以以外外整整个个无无源源（=0）空间，空间，位函数位函数满足的
11、方程式为满足的方程式为 首先求解位于坐标原点的时变首先求解位于坐标原点的时变点电荷点电荷产生的矢量位，然后利用产生的矢量位，然后利用叠加原理叠加原理导导出任意分布的时变出任意分布的时变体电荷体电荷的解。的解。式中式中现在学习的是第15页，共30页上式为函数（上式为函数（r）的）的齐次波动方程齐次波动方程，其通解为，其通解为 由由后后面面分分析析可可以以获获知知，式式中中第第二二项项不不符符合合实实际际的的物物理理条条件件，应应该该舍舍去去。因因此此，求得求得位于原点的时变点电荷位于原点的时变点电荷产生的产生的标量电位标量电位为为已知位于原点的静止点电荷已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为产生
12、的电位为 将此式同上式比较，可见函数将此式同上式比较，可见函数 f1 为为现在学习的是第16页，共30页因此，求得位于原点的因此，求得位于原点的时变点电荷时变点电荷产生的产生的标量位标量位为为式中式中r 为体元为体元 dV 至场点的距离。至场点的距离。对对于于位位于于V 中中的的任任意意体体分分布布电电荷荷，如图示。如图示。rrzyx(r,t)V dVr-r0 在在 r 处产生的电位由上式积分求得处产生的电位由上式积分求得现在学习的是第17页，共30页 为为了了求求出出矢矢量量位位函函数数 A，可可将将矢矢量量位位函函数数方方程程在在直直角角坐坐标标系系中中展展开开，则则各各个个分量均满足分量
13、均满足结构相同结构相同的非齐次标量波动方程式，即的非齐次标量波动方程式，即显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，矢量位显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，矢量位 A 的的解为解为式中式中 V 为电流为电流 J 的分布区域。的分布区域。现在学习的是第18页，共30页 上两式表明，空间某点在时刻上两式表明，空间某点在时刻 t 产生的位产生的位必须必须根据时刻根据时刻 的场的场源分布函数进行求积。换言之，位于源分布函数进行求积。换言之，位于 r 处处 t 时刻的场强时刻的场强不是不是由同一时刻由同一时刻 t 的源的分布决定的，而是取决于比的源的分布决
14、定的，而是取决于比 t 时刻时刻导前导前 的时刻的源分布。的时刻的源分布。这就意味着，位于这就意味着，位于 r 处的源产生的场传到处的源产生的场传到 r 处需要一段时间，这段处需要一段时间，这段时差就是时差就是 。已知已知(r r )为源点至场点的距离，因此为源点至场点的距离，因此 v 代表电磁波的代表电磁波的传播速度传播速度。现在学习的是第19页，共30页 由由式式 可可见见，电电磁磁波波的的传传播播速速度度与与媒媒质质特特性性有有关关。在在真真空空中中，最新测得的数据为最新测得的数据为这就是光波在真空中的传播速度，或简称为这就是光波在真空中的传播速度，或简称为光速光速。光速通常以。光速通常
15、以 c 表示。表示。值值得得注注意意的的是是，即即使使在在某某一一时时刻刻源源已已消消失失，只只要要前前一一时时刻刻源源还还存存在在，它它们们原原来来产产生生的的空空间间场场仍仍然然存存在在，这这就就表表明明源源已已将将电电磁磁能能量量释释放放到到空空间间，而而空空间间电电磁磁能量可以脱离源单独存在能量可以脱离源单独存在，这种现象称为，这种现象称为电磁辐射电磁辐射。现在学习的是第20页，共30页 当当静静止止电电荷荷或或恒恒定定电电流流一一旦旦消消失失，它它们们所所产产生生的的静静电电场场或或恒恒定定磁磁场场也也随随之之失去，因而静态场又称为失去，因而静态场又称为束缚场束缚场，没有辐射作用。，
16、没有辐射作用。若源随时间变化若源随时间变化很快很快，空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附近也会有显，空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附近也会有显著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离，也与源的著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离，也与源的变化快慢变化快慢有关。有关。位位于于时时变变源源附附近近的的时时变变电电磁磁场场，时时差差很很小小，场场强强随随时时间间的的变变化化基基本本上上与与源源的的变化变化同步同步，所以，所以近处近处的时变场称为的时变场称为似稳场似稳场。离开时变源很远的地方，由于时差很大，辐射效应显著，所以离开时变源很远的地
17、方，由于时差很大，辐射效应显著，所以远处远处的时变场称为的时变场称为辐射场辐射场。为了向空间辐射电磁能量，必须使用变化很快的为了向空间辐射电磁能量，必须使用变化很快的高频高频电流激励发射天线，而电流激励发射天线，而通常通常 50Hz 交流电交流电不可能有效地辐射电磁能量。不可能有效地辐射电磁能量。现在学习的是第21页，共30页 由由于于标标量量电电位位 和和矢矢量量磁磁位位 A 随随着着时时间间的的变变化化总总是是落落后后于于源源，因因此此，位位函函数数 及及 A 通常称为通常称为滞后位滞后位。前式中的第二项前式中的第二项 不符合实际的物理条件。因为不符合实际的物理条件。因为 意味着场意味着场
18、比源比源导前导前，这就不符合先有源后有场的，这就不符合先有源后有场的因果关系因果关系。那么，它又可理解为向那么，它又可理解为向负负 r 方向传播的波，也就是来自无限远处的方向传播的波，也就是来自无限远处的反射反射波。波。当然，因子当然，因子 又可写为又可写为 对于点电荷所在的对于点电荷所在的无限大无限大的自由空间，这种反射波是不可能存在的的自由空间，这种反射波是不可能存在的。现在学习的是第22页，共30页 对对于于面面分分布布及及线线分分布布的的电电荷荷及及电电流流，可可以以类类似似推推出出它它们们产产生生的的标标量量位位和和矢矢量量位位。其结果分别如下：其结果分别如下：应注意上述公式仅可用于
19、应注意上述公式仅可用于均匀、线性、各向同性均匀、线性、各向同性的媒质。的媒质。现在学习的是第23页，共30页7-6 能量密度与能流密度矢量能量密度与能流密度矢量 静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。电场能量密度电场能量密度磁场能量密度磁场能量密度损耗功率密度损耗功率密度因此，时变电磁场的能量密度为因此，时变电磁场的能量密度为 对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质媒质 可见，时变场的能量密度是可见，时变场的能量密度是空间空间及及时间时间的函数，而且时变电磁场的能量还会的函数，而且时变电磁场的能量还会流
20、流动动。现在学习的是第24页，共30页 为了衡量这种能量流动的为了衡量这种能量流动的方向方向及及强度强度，引入，引入能量流动密度矢量能量流动密度矢量，其，其方向方向表示表示能量能量流动流动方向，其方向，其大小大小表示表示单位单位时间内时间内垂直垂直穿过单位面积的能量。或者说，穿过单位面积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的垂直穿过单位面积的功率功率，所以能量流动密度矢量又称为，所以能量流动密度矢量又称为功率流动密度矢量功率流动密度矢量。能量流动密度矢量能量流动密度矢量在英美书刊中称为在英美书刊中称为坡印亭矢量坡印亭矢量，在俄罗斯书刊中称为，在俄罗斯书刊中称为乌莫夫乌莫夫矢量矢量。能流密度矢量能流
21、密度矢量 与电场强度与电场强度 及磁场强度及磁场强度 的关系如何？的关系如何？能量流动密度矢量或简称为能量流动密度矢量或简称为能流密度能流密度矢量以矢量以 表示，表示，单位为单位为W/m2。现在学习的是第25页，共30页 设设无无外外源源(J =0,=0)的的区区域域 V 中中，媒媒质质是是线线性性且且各各向向同同性性的的，则则此此区区域域中麦克斯韦方程为中麦克斯韦方程为利利用用矢矢量量恒恒等等式式 ，将将上上式式代代入入，整整理理后求得后求得将上式两边对区域将上式两边对区域 V 求积，得求积，得,E,HV现在学习的是第26页，共30页考虑到考虑到 ，那么，那么根据能量密度的定义，上式又可表示
22、为根据能量密度的定义，上式又可表示为 上上式式称称为为时时变变电电磁磁场场的的能能量量定定理理。任任何何满满足足上上述述麦麦克克斯斯韦韦方方程程的的时时变变电电磁磁场场均均必须服从该能量定理。等式左端为体积内能量在单位时间内的减少。必须服从该能量定理。等式左端为体积内能量在单位时间内的减少。,E,HS 矢矢量量（）代代表表垂垂直直穿穿过过单单位位面面积积的的功功率率，因因此此，就就是是前述的能流密度矢量前述的能流密度矢量 ，即即现在学习的是第27页，共30页SEH 能流密度矢量的能流密度矢量的瞬时值瞬时值为为可见，能流密度矢量的可见，能流密度矢量的瞬时值瞬时值等于电场强度和磁等于电场强度和磁场
23、强度的瞬时值的场强度的瞬时值的乘积乘积。只有当两者只有当两者同时同时达到最大值时，能流密度才达到达到最大值时，能流密度才达到最大最大。若某一时刻电场强。若某一时刻电场强度度或或磁场强度为磁场强度为零零，则在该时刻能流密度矢量为，则在该时刻能流密度矢量为零零。此此式式表表明明，与与 及及 垂垂直直。又又知知 ，因因此此，、及及 三三者者在在空空间间是是相互垂直相互垂直的，且由的，且由 至至 与与 构成构成右旋右旋关系，如图示。关系，如图示。现在学习的是第28页，共30页7-7 时变电磁场惟一性定理时变电磁场惟一性定理 在在闭闭合合面面 S 包包围围的的区区域域 V 中中，当当t=0时时刻刻的的电
24、电场场强强度度 E 及及磁磁场场强强度度 H 的的初初始始值值给给定定时时，又又在在 t 0 的的时时间间内内，只只要要边边界界 S 上上的的电电场场强强度度切切向向分分量量 Et 或或磁磁场场强强度度的的切切向向分分量量 Ht 给给定定后后，那那么么在在 t 0 的的任任一一时时刻刻，体体积积 V 中中任任一一点点的的电电磁磁场由麦克斯韦方程场由麦克斯韦方程惟一地惟一地确定。确定。利用麦克斯韦方程导出的利用麦克斯韦方程导出的能量定理能量定理，采用，采用反证法反证法即可证明这个定理。即可证明这个定理。VSE t(r,t)or H t(r,t)E(r,0)&H(r,0)E(r,t),H(r,t)现在学习的是第29页，共30页习题习题7-8现在学习的是第30页，共30页