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1、第1章复数和复变函数第1页，本讲稿共59页主要内容1.复数和复变函数 (4学时)2.解析函数 (8学时)3.复变函数的积分 (6学时)4.级数 (6学时)5.留数及其应用 (4学时)有关应用 第2页，本讲稿共59页第一章第一章 复数和复变函数复数和复变函数1.1 1.1 复复 数数第3页，本讲稿共59页一、复数的概念一、复数的概念2.2.特例特例:y=0,z=x-y=0,z=x-实数实数 x=0,z=iy-x=0,z=iy-纯虚数纯虚数1.1.复数复数:z=x+iy (x,y z=x+iy (x,y R););虚数单位虚数单位:i ();i ();实部实部:x x 记为记为:Rez=x;:Re
2、z=x;虚部虚部:y y 记为记为:Imz=y.:Imz=y.x x2 2=-1=-1第4页，本讲稿共59页 注注:复数不能比较大小复数不能比较大小 两复数相等两复数相等:Z Z1 1=Z=Z2 2注注:z=0 x=y=0 z=0 x=y=0 共轭复数共轭复数:z=x+iy z=x+iy =x-iy第5页，本讲稿共59页二、复数的四则运算二、复数的四则运算:设设1.1.加加.减法减法:2.2.乘法乘法:3.3.除法除法:第6页，本讲稿共59页 理解三、复数的性质:1.加法、乘法:满足结合,交换,分配律;第7页，本讲稿共59页2.共轭复数性质:复数加减乘除的共轭=共轭的加减乘除第8页，本讲稿共5
3、9页例例1.1.求下列复数的实部和虚部求下列复数的实部和虚部,共轭复数共轭复数第9页，本讲稿共59页例例2.2.设设z=x+iy,yz=x+iy,y0,z0,zi,i,证明证明:当且仅当当且仅当 时时,是实数是实数证明证明:第10页，本讲稿共59页 1.2 1.2 复数的几种表示复数的几种表示 第11页，本讲稿共59页一一.复数的表示方法复数的表示方法:1.代数表示代数表示:z=x+iy2.点表示点表示:3.向量表示向量表示:4.三角表示三角表示:5.指数表示指数表示:第12页，本讲稿共59页二二.复数的模与辐角复数的模与辐角1.模模:向量的长度向量的长度,|z|.2.辐角辐角:1)定义定义:
4、Argz.2)特点特点:有无穷个有无穷个 3.辐角主值辐角主值:4.注注:(1)当当z=0时时,辐角无意义辐角无意义;(2)共轭复数：共轭复数：第13页，本讲稿共59页例1：求 的三角表达式第14页，本讲稿共59页例例2.设设 求求 的三角的三角表达式表达式.解解:第15页，本讲稿共59页三三.用复数的三角表达式作乘用复数的三角表达式作乘,除法除法1.两复数相乘：结论：模相乘，辐角相加结论：模相乘，辐角相加结论：模相除，被除数辐角减除数辐角结论：模相除，被除数辐角减除数辐角2.两复数相除：第16页，本讲稿共59页复数乘法的几何表示：例例3.利用复数的三角表达式计算利用复数的三角表达式计算第17
5、页，本讲稿共59页四四.复数的乘方与开方复数的乘方与开方1.复数的乘方复数的乘方1)定义定义:2)若若 ，则有，则有3)公式公式:当当 时，时，第18页，本讲稿共59页例4：求例5:已知 ，求 .第19页，本讲稿共59页2.开方开方1)定义定义:复数复数z的的n次方根次方根2)三角表示式三角表示式:注注:k=0,1,2,n-1k=0,1,2,n-1第20页，本讲稿共59页例例6.解方程解方程 .例7.计算例例8.试写出方程试写出方程 的复数形式的复数形式.第21页，本讲稿共59页五五.模的三角不等式模的三角不等式第22页，本讲稿共59页1.3 1.3 平面点集平面点集第23页，本讲稿共59页一
6、一.开集与闭集开集与闭集1.邻域邻域:平面上以平面上以 为中心，为中心，为半径的开圆表为半径的开圆表 示为：示为：称为称为 的邻域的邻域.去心邻域去心邻域:由由 所确定的点集，称所确定的点集，称 为为 的去心邻域的去心邻域，第24页，本讲稿共59页 设设G为一平面点集为一平面点集2.内点内点:为为G中任一点中任一点,若存在若存在 的一个邻域的一个邻域,该邻域内该邻域内 的所有点都属于的所有点都属于G,则称则称 为为G的内点的内点.开集开集:如果如果G内每一个点都是它的内点内每一个点都是它的内点,则称则称G为开集为开集.3.边界点边界点:是一个点是一个点,若在若在 的任一邻域内既有的任一邻域内既
7、有G的点的点 也有非也有非G的点的点,则称则称 是是G的一个边界点的一个边界点 边界边界:G的边界点全体的边界点全体4.闭集闭集:若若G的边界也属的边界也属G,则称则称G为闭集为闭集5.有界集有界集:若存在一个以若存在一个以z=0为中心的圆盘包含为中心的圆盘包含G,称称G为为 有界集有界集 无界集无界集:否则称否则称G为无界集为无界集.第25页，本讲稿共59页例例:1)G=z:|z|R 开集开集;2)G=z:|z|R 闭集闭集;3)G=z:|z|R,|z|=R是是G的边界的边界第26页，本讲稿共59页二二.区域区域:1.连通连通:D中任何两点都可用完全属于中任何两点都可用完全属于D的一条折线的
8、一条折线 连接起来连接起来.2.区域区域:D是开集且连通是开集且连通,记为记为D.3.闭区域闭区域:区域区域D与边界一起构成闭区域与边界一起构成闭区域(区域区域),记为记为第27页，本讲稿共59页例例:指出下列各式所表示的点集是怎样的图形并指出哪指出下列各式所表示的点集是怎样的图形并指出哪些是区域些是区域.1)2)|z+2-i|13）0argz1/3解解:1)不含不含y轴的右半平面轴的右半平面,区域区域;2)以以z=-2+i为圆心为圆心,1为半径的圆周及其外部区域为半径的圆周及其外部区域;闭区域闭区域;3)介于介于argz=0和和argz=1/3之间的一个三角形区域之间的一个三角形区域,区域区
9、域.第28页，本讲稿共59页三平面曲线三平面曲线1.曲线表示方法曲线表示方法:1)用实变数的复值函数表示用实变数的复值函数表示:z(t)=x(t)+iy(t)(atb)2)用动点用动点z所满足关系式表示所满足关系式表示:例例:以以z=0为中心为中心,以以a为半径的圆周为半径的圆周 (1)用参数方程可表示为用参数方程可表示为:z=a(cost+isint)(2)用动点用动点z所满足关系式表示为所满足关系式表示为:|z|=a 第29页，本讲稿共59页例例:满足下列关系的满足下列关系的z是什么曲线是什么曲线?1)|z-a|=|z-b|(a,b为复常数为复常数).2)Re(1/z)=k (k为实常数为
10、实常数).第30页，本讲稿共59页解解:1)以以a,b为端点线段的垂直平分线为端点线段的垂直平分线;2)Re(1/z)=k (k为实常数为实常数).第31页，本讲稿共59页概念：概念：1）重点：）重点：设：设：z=z(t)(atb)为一条连续曲线，为一条连续曲线，z(a)与与z(b)分别表示的起点与终点，对于分别表示的起点与终点，对于 满足满足 的的 ,当当 而有而有 时，点时，点 称为曲线称为曲线 C的重点，的重点，）简单曲线：）简单曲线：无重点的连续曲线称为简单曲线或约无重点的连续曲线称为简单曲线或约 当（当（Jordan）曲线；）曲线；）简单闭曲线：）简单闭曲线：z(a)=z(b),曲线
11、曲线C称为简单闭曲线，称为简单闭曲线，例如，例如，是一条简单闭曲线（如图是一条简单闭曲线（如图1.9）.图1.9第32页，本讲稿共59页解释：解释：l简单曲线简单曲线是平面上没有是平面上没有“打结打结”情形的连续曲线，即简单情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；曲线自身是不会相交的；l简单闭曲线简单闭曲线除了没有除了没有“打结打结”情形之外，还必须是封闭的，情形之外，还必须是封闭的，l如如:图图1.10中的中的 是简单曲线是简单曲线,是简单闭区域，图是简单闭区域，图1.11中的中的 ，不是简单曲线，但不是简单曲线，但 是闭曲线是闭曲线.图1.10 图1.11 第33页，本讲稿共59页4)
12、光滑曲线光滑曲线:若在区间若在区间atb上上,都是都是 连续的连续的,且对于且对于t的每一个值的每一个值,有有 那么这曲线称为光滑的那么这曲线称为光滑的 5)分段光滑曲线分段光滑曲线:由若干段光滑曲线衔接而成的曲由若干段光滑曲线衔接而成的曲 线称为分段光滑曲线线称为分段光滑曲线.解释解释 都是连续都是连续-无角点无角点,连续曲线连续曲线 -模不为模不为0第34页，本讲稿共59页3.连通区域种类连通区域种类:单连通域、多连通域单连通域、多连通域.1)单连通域单连通域:设设D是一区域是一区域,如果对如果对D内的任一简单闭曲线内的任一简单闭曲线,曲线的内部总属于曲线的内部总属于D,则称则称 D为单连
13、通区域为单连通区域2)多多(复复)连通域连通域:否则称为多否则称为多(复复)连通区域连通区域.解释解释:单连通区域是一个没有单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙空洞（点洞）和缝隙”的区的区域，域，而多连通区域是有而多连通区域是有“洞或缝隙洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图的区域（如图1.12）.图1.12第35页，本讲稿共59页*例例:判下列点集是否是区域判下列点集是否是区域,是单连通还是多连通是单连通还是多连通?1)Rez=Imz;2)0|z-i|1第
14、36页，本讲稿共59页四无穷远点四无穷远点1.无穷大无穷大:1)定义定义:2)四则运算四则运算:(1)加法加法:(2)减法减法:(3)乘法乘法:(4)除法除法:3)注注:下列运算无意义下列运算无意义:第37页，本讲稿共59页2无穷远点无穷远点1)无穷远点无穷远点:设想有一理想点与之对应设想有一理想点与之对应;2)扩充复平面扩充复平面:复平面加上无穷远点复平面加上无穷远点;注注:复平面上的每一条直线都通过无穷远点复平面上的每一条直线都通过无穷远点.3)邻域邻域:|z|M(其中实数其中实数M0);4)去心邻域去心邻域:M|z|+.第38页，本讲稿共59页11.4.4 复变函数复变函数第39页，本讲
15、稿共59页一一.复变函数的概念复变函数的概念1.定义定义:复变函数复变函数:设设G是复平面一点集是复平面一点集,若对于若对于G中任一点中任一点 z有确定的有确定的(一个或多个一个或多个)复数复数w与之对应与之对应 则称则称w是定义在是定义在 G上的复变函数上的复变函数,简称复简称复 变函数变函数,记作记作w=f(z).其中其中z称为自变量称为自变量,w称为因变量称为因变量.(定义域与值域可从高数中移植过来定义域与值域可从高数中移植过来)2.分类分类:单值函数单值函数:若对每一若对每一z G,有惟一有惟一w同其对应同其对应 则称则称w=f(z)为单值函数为单值函数;多值函数多值函数:不是单值函数
16、的函数不是单值函数的函数.第40页，本讲稿共59页3.注注:(1)w=f(z)相当于一对二元实函数相当于一对二元实函数 设设z=x+iy,则则w=f(z)可写成可写成 W=f(z)=u+iv=u(x,y)+iv(x,y)其中其中U(x,y)与与v(x,y)为实值函数为实值函数.分开上式的实部与虚部分开上式的实部与虚部,得得 u=u(x,y),v=v(x,y)(2)其性质取决于其性质取决于u=u(x,y)与与v=v(x,y)的性质的性质.第41页，本讲稿共59页 例例1 将定义在复平面上的复变函数将定义在复平面上的复变函数 化为一对二元实变函数化为一对二元实变函数.第42页，本讲稿共59页 例例
17、1 将定义在复平面上的复变函数将定义在复平面上的复变函数 化为一对二元实变函数化为一对二元实变函数.解解 设设 ，,代入代入 得得 比较实部与虚部得比较实部与虚部得 ，第43页，本讲稿共59页 例例2 将定义在复平面除原点区域上的一对二将定义在复平面除原点区域上的一对二 元实变函数元实变函数 ，（）化为一个复变函数化为一个复变函数.第44页，本讲稿共59页 例例2 将定义在复平面除原点区域上的一对二将定义在复平面除原点区域上的一对二 元实变函数元实变函数 ，（）化为一个复变函数化为一个复变函数.解解 设设 ，则则将将 ，以及以及得得 第45页，本讲稿共59页二二.复变函数的极限与连续性复变函数
18、的极限与连续性1.极限极限:1)定义定义 设函数设函数f(z)在在 的去心邻域内有定义，若对任意给的去心邻域内有定义，若对任意给定的正数定的正数 （无论它多么小）总存在正数（无论它多么小）总存在正数 ，使得，使得适合不等式适合不等式 的所有的所有z，对应的函数值，对应的函数值f(z)都满足不等式都满足不等式则称复常数则称复常数A为函数为函数f(z)当当 时的极限，记作时的极限，记作 或或 第46页，本讲稿共59页2)注注 由于由于 是复平面上的点是复平面上的点,因此因此z可以任意方式趋可以任意方式趋近于近于 ,但不论怎样趋近但不论怎样趋近,f(z)的值总是趋近于的值总是趋近于A.3)运算法则运
19、算法则:类似于实函数极限的运算法则类似于实函数极限的运算法则.例例 第47页，本讲稿共59页5)计算方法计算方法:可归结为实数对极限的计算可归结为实数对极限的计算.定理定理 设设 ，则则 的充分必要条件为的充分必要条件为:注注:求极限方法种类：求极限方法种类：1、转化为求两个二元实函数、转化为求两个二元实函数u=u(x,y),v=v(x,y)的极限问题的极限问题.2、直接计算。、直接计算。第48页，本讲稿共59页l例例3 试求下列函数的极限试求下列函数的极限.（1）分析分析:两种方法两种方法,法一法一:将式化为代数式将式化为代数式,按二元函数求极限的方法按二元函数求极限的方法;法二法二:将式视
20、为自变量为将式视为自变量为z的一元函数的一元函数,按一元函数求按一元函数求 极限方法极限方法.第49页，本讲稿共59页l例例3 试求下列函数的极限试求下列函数的极限.（1）解解:(1)法法1 设设 ，则，则 ，且，且 得得 第50页，本讲稿共59页法法2 第51页，本讲稿共59页(2)分析分析:按一元函数求极限方法按一元函数求极限方法.第52页，本讲稿共59页(2)解解 第53页，本讲稿共59页l例例4 试问试问 的极限是否存在的极限是否存在?分析分析:要讨论要讨论z趋于零的方式趋于零的方式.第54页，本讲稿共59页l例例4 试问试问 的极限是否存在的极限是否存在?解解:当当z沿实轴方向趋于沿
21、实轴方向趋于0时时,即取即取z=x(x0),则则 当当z沿虚轴方向趋于沿虚轴方向趋于0时时,即取即取z=y(y0),则则两个不同方向的极限不相等两个不同方向的极限不相等,故其极限不存在故其极限不存在.第55页，本讲稿共59页2.连续连续 1)定义定义:设设f(z)在点在点 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,若若 ，则称，则称函数函数f(z)在点在点 处连续处连续.若若f(z)在区域在区域D内每一个点都连续内每一个点都连续,则称函数则称函数f(z)在区域在区域D内连续内连续.2)连续充要条件连续充要条件:定理定理 函数函数 ,在在 处连处连 续的充要条件是续的充要条件是 和和 都在点都在点 处连续处连续.第56页，本讲稿共59页 3)定理定理:在在 连续的两个函数连续的两个函数f(z)与与g(z)的和的和,差差,积积,商商(分母在分母在 不为不为0)在在 处连续处连续;若函数若函数 在点在点 处连续，函数处连续，函数 在在 连续，则复合函数连续，则复合函数 在在 处连续（证略）处连续（证略）.第57页，本讲稿共59页l例例5 求第58页，本讲稿共59页l例例5 求l解解 l因为 在点 处连续，故l 第59页，本讲稿共59页