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1、第第1章复数与复变函章复数与复变函数数1第1页，本讲稿共75页第第1章章 复数与复变函数复数与复变函数1.11.1复数及其代数运算复数及其代数运算1.21.2复数的几何表示复数的几何表示1.31.3复数的乘复数的乘幂与方根与方根1.41.4复数在几何上的复数在几何上的应用用举例例1.51.5复球面与无复球面与无穷远点点第第1 1节节 复数的概念与运算复数的概念与运算2第2页，本讲稿共75页1.1复数及其代数运算复数及其代数运算1.定义：定义：3第3页，本讲稿共75页2.2.相等相等虚部为零的复数是虚部为零的复数是实数实数虚部不为零的复数称作虚部不为零的复数称作虚数虚数虚部不为零，实部为零的复数
2、称作纯虚数虚部不为零，实部为零的复数称作纯虚数 4第4页，本讲稿共75页3.3.共扼复数共扼复数4.4.任意两个复数不能比较大小任意两个复数不能比较大小5第5页，本讲稿共75页5.代数运算代数运算 两复数的和两复数的和:两复数的积两复数的积:两复数的商两复数的商:6第6页，本讲稿共75页例例1 1解解7第7页，本讲稿共75页例例2 2 解解8第8页，本讲稿共75页例例3 解解9第9页，本讲稿共75页1.2 复数的几何表示复数的几何表示复数复数可看作平面上点可看作平面上点实轴实轴虚轴虚轴注：注：1.1.复数的点表示复数的点表示10第10页，本讲稿共75页2.复数的模复数的模(或绝对值或绝对值)显
3、然下列各式成立显然下列各式成立11第11页，本讲稿共75页3.复数的辐角复数的辐角说明说明辐角不确定辐角不确定.12第12页，本讲稿共75页辐角主值的定义辐角主值的定义:13第13页，本讲稿共75页14第14页，本讲稿共75页4.利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致减法运算一致.15第15页，本讲稿共75页利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成复数的指数表示式复
4、数的指数表示式5.5.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示16第16页，本讲稿共75页复数的五种表示复数的五种表示(1)(1)代数表示法代数表示法(2)(2)点表示点表示(几何表示几何表示)(3)(3)向量表示向量表示(5)(5)指数表示指数表示(4)(4)三角表示三角表示17第17页，本讲稿共75页例例4 4将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解：解：18第18页，本讲稿共75页例例5 5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为19第19页，本讲稿共7
5、5页故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为20第20页，本讲稿共75页1.复数的复数的乘积与商乘积与商定理一定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.1.31.3复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根21第21页，本讲稿共75页两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加辐角相加.从几何上看从几何上看,两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为22第22页，本讲稿共75页23第23页，本讲稿共75页定理二定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等
6、于它们的模的商;两个复数两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.24第24页，本讲稿共75页例例6 6解解25第25页，本讲稿共75页2.乘乘幂幂:26第26页，本讲稿共75页棣莫佛公式棣莫佛公式2.2.棣莫佛公式棣莫佛公式27第27页，本讲稿共75页例例7 7解解即即28第28页，本讲稿共75页29第29页，本讲稿共75页1.4复数在几何上的应用举例复数在几何上的应用举例 利用复数及其运算的几何意义，很多平面图形利用复数及其运算的几何意义，很多平面图形能用适当的复数形式的方程（或不等式）来表示，能用适当的复数形式的方程（或不等式）来表示，另一方面，也
7、能有给定的复数形式的方程（或不另一方面，也能有给定的复数形式的方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。等式）来确定它所表示的平面图形。30第30页，本讲稿共75页例例8 8求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解31第31页，本讲稿共75页化简后得化简后得32第32页，本讲稿共75页1.5复球面与无穷远点复球面与无穷远点1.南极、北极的定义南极、北极的定义33第33页，本讲稿共75页 球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内的点之与复平面内的点之间存在着一一对应的关系间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点我们可以用球面上的点来表示复数来表示复数.我们规定我
8、们规定:复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平与复平面上的面上的无穷远点无穷远点相对应相对应,记作记作.因而球面上的北因而球面上的北极极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这这样的球面称为样的球面称为复球面复球面.2.复球面的定义复球面的定义34第34页，本讲稿共75页3.扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面或简
9、称复平面.对于复数对于复数来说来说,实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意辐角等概念均无意义义,它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.35第35页，本讲稿共75页36第36页，本讲稿共75页1.1.复数的定义复数的定义2.2.复数的五种表示复数的五种表示3.3.复数的模、辐角、共轭复数复数的模、辐角、共轭复数4.4.棣莫弗公式棣莫弗公式5.5.复数的幂与方根复数的幂与方根6.6.复数形式的方程表示平面图形复数形式的方程表示平面图形 总 结 熟熟练掌握以下内容：掌握以下内容：37第37页
10、，本讲稿共75页 作作 业38第38页，本讲稿共75页2.12.1复平面上的区域复平面上的区域2.22.2复复变函数的概念函数的概念2.32.3复复变函数的极限与函数的极限与连续性性第第2 2节节 复变函数及其极限与连续性复变函数及其极限与连续性39第39页，本讲稿共75页1.邻域邻域:2.12.1复平面上的区域复平面上的区域40第40页，本讲稿共75页2.去心邻域去心邻域:41第41页，本讲稿共75页3.内点内点:4.开集开集:如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点,那末那末G 称为开集称为开集.42第42页，本讲稿共75页5.区域区域:如果平面点集如果平面点集D满足以下两个
11、条件满足以下两个条件,则称它为一个则称它为一个区域区域.(1)D是一个是一个开集开集；(2)D是是连通的连通的,就是说就是说D中任何两点都可以用完中任何两点都可以用完全属于全属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来.6.边界点、边界边界点、边界:设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域,如果点如果点 P P 不属于不属于D,但在但在 P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的点中的点,这样的这样的 P P 点我们称为点我们称为D的的边界点边界点.43第43页，本讲稿共75页D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界.说明说明(1)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的
12、点区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的所组成的.(2)区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域 44第44页，本讲稿共75页以上基以上基本概念本概念的图示的图示区域区域邻域邻域边界点边界点边界边界7.有界区域和无界区域有界区域和无界区域:45第45页，本讲稿共75页8.连续曲线连续曲线:平面曲线的复数表示平面曲线的复数表示:46第46页，本讲稿共75页9.光滑曲线光滑曲线:由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线按段光滑曲线.47第47页，本讲稿共75页10.简单曲线简单曲线:没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称
13、为简单曲线称为简单曲线(或若尔当曲或若尔当曲线线).).48第48页，本讲稿共75页换句话说换句话说,简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质:任意一条简单闭曲任意一条简单闭曲线线 C 将复平面唯一地将复平面唯一地分成三个互不相交的点分成三个互不相交的点集集.内部内部外部外部边界边界49第49页，本讲稿共75页11.单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简如果在其中任作一条简单闭曲线单闭曲线,而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B,就称为单连通就称为单连通域域.一个区域如果不是单连通域一个区域如
14、果不是单连通域,就称为多连通域就称为多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域50第50页，本讲稿共75页例例1010 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是是有界的还是无界的无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的.是角形域是角形域,无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).51第51页，本讲稿共75页无界的多连通域无界的多连通域.52第52页，本讲稿共75页例例1111 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么,如果是区域如果是区域,指指出是单连通域还是多连通域出是单连通域还是多连通域?是多连通域是多连通域.53第53页，本讲稿共75页应理解区域
15、的有关概念应理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域有界区域、无界区域理解单连通域与多连通域理解单连通域与多连通域.54第54页，本讲稿共75页2.2复变函数的概念复变函数的概念注意注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样：复变函数与一元实变函数的定义完全一样,只要将后者定义中的只要将后者定义中的“实数实数”换为换为“复数复数”就行了就行了.55第55页，本讲稿共75页1.单单(多多)值函数的定义值函数的定义:2.定义集合和函数值集合定义集合和函数值集合:56第56页，本讲稿共75页3.复变函数与自
16、变量之间的关系复变函数与自变量之间的关系:例如例如,57第57页，本讲稿共75页58第58页，本讲稿共75页4.映射的定义映射的定义:59第59页，本讲稿共75页60第60页，本讲稿共75页61第61页，本讲稿共75页 为了方便，以后不再区分函数、映射和变换为了方便，以后不再区分函数、映射和变换.62第62页，本讲稿共75页例例.解：解：(1)还是线段还是线段.63第63页，本讲稿共75页解：解：(2)64第64页，本讲稿共75页仍是扇形域仍是扇形域.解：解：(3)65第65页，本讲稿共75页1.函数极限的定义函数极限的定义:注意注意:2.32.3复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性6
17、6第66页，本讲稿共75页2.极限计算的定理极限计算的定理定理一定理一说明说明68第68页，本讲稿共75页定理二定理二与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似.69第69页，本讲稿共75页3.3.复变函数的连续性复变函数的连续性连续的定义连续的定义:70第70页，本讲稿共75页定理三定理三例如例如,71第71页，本讲稿共75页定理四定理四72第72页，本讲稿共75页特殊的特殊的:(1)(1)有理整函数有理整函数(多项式多项式)(2)有理分式函数有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的.73第73页，本讲稿共75页1.应理解区域的有关概念应理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域区域、有界区域、无界区域2.理解单连通域与多连通域理解单连通域与多连通域.3.熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质.总 结74第74页，本讲稿共75页 作作 业75第75页，本讲稿共75页