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1、刚体力学角动量第1页，本讲稿共28页2.质点的角动量定理质点的角动量定理 作用于质点的合外力对作用于质点的合外力对参考点参考点 O 的力矩，等的力矩，等于质点对该点于质点对该点 O 的的角动量角动量随时间的随时间的变化率变化率.第2页，本讲稿共28页对同一参考点对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量质点角动量的增量质点的角动量定理质点的角动量定理冲量矩第3页，本讲稿共28页3.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若若则则注意：注意：10 质点的角动量守恒的条件是质点的角动量守恒的条件是50 是普遍规律，宏观、微观都适用。是普遍规律，宏观、微观都适用。例如
2、例如有心力有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。：运动质点所受的力总是通过一个固定点。力心力心特征特征：质点对力心的角动量永远守恒！质点对力心的角动量永远守恒！30 质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。40 角动量守恒，不见得动量守恒。角动量守恒，不见得动量守恒。当质点所受对参考点当质点所受对参考点0的合力矩为零时的合力矩为零时,质点对该参考点的角动量为一恒矢量质点对该参考点的角动量为一恒矢量.-质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律质点所受对参考点质点所受对参考点O的合力矩为零的合力矩为零20 的两种可能情况:合力 通过参考点OL=
3、恒矢量或 恒矢量第4页，本讲稿共28页例例、在光滑的水平桌面上有一小孔、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔，一细绳穿过小孔，其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳，其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳，求小球的速率求小球的速率 v2f拉拉解解：小球受力：小球受力：f 拉拉开始时小球绕孔运动，速率为开始时小球绕孔运动，速率为 v1，半径为，半径为 r1 ，当半径变，当半径变为为 r2 时时 因因f 拉拉为有心力为有心力第5页，本讲稿共28页 例 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点 A(该点在通过环心
4、 O 的水平面上)，然后从 A点开始下滑设小球与圆环间的摩擦力略去不计求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度第6页，本讲稿共28页 解 小球受力 、作用,的力矩为零，重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理第7页，本讲稿共28页考虑到得由题设条件积分上式由题设条件积分上式得第8页，本讲稿共28页二二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量刚体以角速度 绕定轴转动,刚体上每一质点都以相同的角速度绕轴作圆周运动.其中质点 对轴的角动量为于是刚体上所有质点对轴的角动量于是刚体上所有质点对轴的
5、角动量,即刚体即刚体对定轴的角动量为对定轴的角动量为2 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 作用在质点i上的合力矩 应等于质点i的角动量随时间的变化率即即rir1 Mi中含有外力作用在质点中含有外力作用在质点i的力的力矩矩 Mi外外 和刚体内质点间作用力和刚体内质点间作用力的力矩的力矩 Mi内内.由于刚体内各质点由于刚体内各质点的内力矩之和应为零的内力矩之和应为零,所以在遍及所以在遍及刚体内所有质点后刚体内所有质点后,可得可得第9页，本讲稿共28页合力矩合内力矩为零合外力矩M刚体角动量L即即刚体作定轴转动时刚体作定轴转动时,刚体所受合外力矩等于刚体所受合外力矩等于刚体绕此定轴的角
6、动量随时间的变化率刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率.转动惯量为J的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动,在时间 t1 到 t2 内,其角速度由 变为 ,则有 合外力矩的冲量矩如果物体在转动过程转动惯量如果物体在转动过程转动惯量J发生了变化发生了变化,设在时间设在时间t1到到t2内由内由J1变为变为J2,下式仍然成立下式仍然成立.物体物体所受合外力矩的冲所受合外力矩的冲量矩等于量矩等于物体物体角动量的角动量的增量增量-角动量定理角动量定理外外内第10页，本讲稿共28页3 角动量守恒定律角动量守恒定律当转轴给定时当转轴给定时,若作用在物体上的合外力矩为零若作用在物体上的合外力矩为零,可得可得如果如果
7、物体物体所受的合外力矩等于零所受的合外力矩等于零,或者不受外力矩的或者不受外力矩的作用作用,物体物体的角动量将保持不变的角动量将保持不变.-角动量守恒定律角动量守恒定律注意：注意：10 系统角动量守恒的条件系统角动量守恒的条件:系统所受的合外力矩为零系统所受的合外力矩为零.20 对对“刚体刚体”“定轴定轴”转动，转动，J 是常数。是常数。“角动量角动量守恒守恒”就是角速度守恒。就是角速度守恒。30 若若 J 变变,仍成立仍成立.40 适用范围适用范围:惯性系惯性系,宏观、微观都适用。宏观、微观都适用。J=恒量恒量第11页，本讲稿共28页例题例题装置如图所示装置如图所示.滑轮两边悬挂的重物与盘的
8、质量相同而处滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同而处于平衡，现有距盘底高为于平衡，现有距盘底高为h质量为质量为m 的胶泥自由下落，求胶泥的胶泥自由下落，求胶泥粘在盘上时盘获得到初速度粘在盘上时盘获得到初速度.滑轮和绳质量不计滑轮和绳质量不计.不计轴承摩擦及不计轴承摩擦及绳的伸长绳的伸长.hmm ORmOR第12页，本讲稿共28页解胶泥自由下落至盘面的速度为 .将盘、重物和胶泥视为质点系，绳的拉力及物体所受重力为外力.因不计滑轮、绳质量及轴承摩擦，两边绳的拉力相等；重物与盘所受重力也相等.它们对轴心O的力矩之和为零，故质点系所受外力对O点的力矩之和就等于胶泥的重力矩，不等于零.但在碰撞时，胶泥与盘之
9、间的碰撞内力对O点的力矩远大于外力矩之和，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远大于外力矩的影响.讨论质点系内各质点的运动时，可不计外力矩。故在碰撞时，可用质点系对O轴角动量守恒方程求近似解.取垂直纸面朝向读者的方向为O轴正方向，有第13页，本讲稿共28页得得 绳不伸长，故绳不伸长，故 将 代入，得 第14页，本讲稿共28页例例 质量均为质量均为m的两个小钢球固定在一个长为的两个小钢球固定在一个长为a 的轻质的轻质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆可在水平面内自由硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆可在水平面内自由转动。杆原来静止。另一泥球质量也是转动。杆原来静止。另一泥球质量也是m，以水平速，以水平速度
10、度V0垂直于杆的方向与其中的一个钢球发生碰撞，碰垂直于杆的方向与其中的一个钢球发生碰撞，碰后两者粘在一起。求碰撞后杆转动的角速度。后两者粘在一起。求碰撞后杆转动的角速度。moV0mma/2a/2解：选质点系解：选质点系:质点系对质点系对o点的合外力矩为零，点的合外力矩为零，两个钢球两个钢球+泥球泥球碰撞过程，碰撞过程，系统角动量守恒系统角动量守恒.第15页，本讲稿共28页VV碰后三质点的速率为碰后三质点的速率为V=a/2=(a/2)2mv+（a/2）mv 由角动量守恒定律，得：由角动量守恒定律，得：=2v0/3aoma/2a/2(a/2)mv0第16页，本讲稿共28页例：如图，圆盘的M、R、及
11、0已知。子弹m,以v0射入盘边缘，求此后盘转动的角速度。解：对M和m,用动量守恒律，有：其中：V0=R0正确解：对M和m,用角动量守恒律错第17页，本讲稿共28页例例:有一子弹有一子弹,质量为质量为m,以水平速度以水平速度v射入杆的下端而射入杆的下端而不复出不复出,求杆和子求杆和子弹开始一起运动时的角速度弹开始一起运动时的角速度?mv0解解:碰撞时间很短碰撞时间很短,考虑：考虑：杆和子弹组成的系统动量守恒杆和子弹组成的系统动量守恒?系统对轴系统对轴O O角动量守恒角动量守恒!M.lO如果子弹穿出或反弹的情形？如果子弹穿出或反弹的情形？第18页，本讲稿共28页例例 质量为质量为 m1、长为、长为
12、 l 的均匀细杆的均匀细杆,静止静止平放在滑动摩擦系数为平放在滑动摩擦系数为 m 的水平桌面上的水平桌面上,它可绕过其端点它可绕过其端点 o 且与桌面垂直的固且与桌面垂直的固定光滑轴转动定光滑轴转动,另有一水平运动的质量为另有一水平运动的质量为m2的小滑块的小滑块,从侧面垂直与杆的另一端从侧面垂直与杆的另一端 A 相碰撞相碰撞,设碰撞时间极短设碰撞时间极短,已知小滑块在已知小滑块在碰撞前后的速度分别为碰撞前后的速度分别为 v1 和和 v2,方向方向如图所示如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停求碰撞后从细杆开始转动到停止转动过程所需时间止转动过程所需时间,（已知杆绕点（已知杆绕点 o 的转动惯量
13、的转动惯量 J=ml2/3)第19页，本讲稿共28页解：解：碰撞过程，杆和滑块组成的系统的合外力矩为碰撞过程，杆和滑块组成的系统的合外力矩为0，系统角动量守恒。规定逆时针方向为正。系统角动量守恒。规定逆时针方向为正。碰撞后杆受摩擦力矩的作用碰撞后杆受摩擦力矩的作用由角动量定理由角动量定理得：得：第20页，本讲稿共28页1 2例例 人与转盘的转动惯量人与转盘的转动惯量J0=60kgm2，伸臂时臂长为伸臂时臂长为 1m，收臂时臂长为，收臂时臂长为 0.2m。人站在摩擦可不计的自由转动的。人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量圆盘中心上，每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转动角
14、速度的哑铃。伸臂时转动角速度 1=3 s-1,求收臂时的角速度求收臂时的角速度 2？解：解：整个过程合外力矩为整个过程合外力矩为0，角动量守恒，角动量守恒由由得得第21页，本讲稿共28页例例 质量为质量为M半径为半径为R的转台可绕通过中心的竖直轴转的转台可绕通过中心的竖直轴转动，设阻力可忽略不计，质量为动，设阻力可忽略不计，质量为m的一人站在台的边的一人站在台的边缘，人和台原来都静止，如果人沿台的边缘奔跑一周，缘，人和台原来都静止，如果人沿台的边缘奔跑一周，问相对于地面来说，人和转台各转了多少角度？问相对于地面来说，人和转台各转了多少角度？第22页，本讲稿共28页解：如果以人和转台为一系统，该
15、系统未受到外力矩解：如果以人和转台为一系统，该系统未受到外力矩的作用，故角动量守恒。开始时角动量为零，由角动的作用，故角动量守恒。开始时角动量为零，由角动量守恒得量守恒得转台的转动惯量转台的转动惯量MR2/2,人的转动惯人的转动惯量量mR2人相对转台的角速度为人相对转台的角速度为人奔跑一圈所需的时间为人奔跑一圈所需的时间为人相对地面绕行的角度为人相对地面绕行的角度为转台转过的角度转台转过的角度第23页，本讲稿共28页例例、一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮、一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量悬有质量 为为 m1 和和 m2 的物体的物体，m1 m2
16、，滑轮的滑轮的 质量为质量为 m，半径为，半径为 R，所受的摩擦阻，所受的摩擦阻 力矩为力矩为 Mf，绳与滑轮间无相对滑动。，绳与滑轮间无相对滑动。试求：物体的加速度。试求：物体的加速度。已知：已知：m1,m2,m,R,Mf 求求:a.解解:把把m1、m2和和m看作一系统看作一系统,系统所受系统所受 合外力有重力合外力有重力m1g、m2g,这两个力对轴这两个力对轴 的力矩分别为的力矩分别为m1gR、m2gR;支撑力支撑力N通过转轴通过转轴,对轴的力对轴的力矩为零矩为零.加上阻力矩加上阻力矩Mf,系统所受合外力矩为系统所受合外力矩为(顺时针为正顺时针为正)NMfM=m2gR-m1gR-Mf系统的
17、角系统的角动量包括动量包括m:Jm1:Rm1vm2:Rm2v系统的总角动量为系统的总角动量为(顺时针为正顺时针为正)L=J+Rm1v+Rm2v第24页，本讲稿共28页根据角动量定理根据角动量定理利用利用解得解得第25页，本讲稿共28页 例 质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处，并背离点O 向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?l/4O第26页，本讲稿共28页解虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒第27页，本讲稿共28页由角动量定理由角动量定理考虑到得此即小虫需具有的爬行速率此即小虫需具有的爬行速率第28页，本讲稿共28页