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1、角动量守恒刚体力学第1页，本讲稿共86页441 1角动量定理与角动量守恒角动量定理与角动量守恒1、质点对一参考点的角动量、质点对一参考点的角动量O定义：动量为的质点，相对某一参考点O的角动量（动量矩）为大小：方向：满足右手螺旋法则。一、质点的一、质点的角动量定理与角动量守恒角动量定理与角动量守恒第2页，本讲稿共86页2、力对一参考点的力矩、力对一参考点的力矩O定义：力F 相对某一参考点O的力矩为：大小：方向：满足右手螺旋法则。若质点同时受多个力作用，则对一参考点的力矩矢量和等于合力对该点的力矩：第3页，本讲稿共86页3、质点对参考点的角动量定理、角动量守恒定律、质点对参考点的角动量定理、角动量
2、守恒定律质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率该点的角动量对时间的变化率角动量定理。角动量定理。第4页，本讲稿共86页角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。力矩力矩M=0的条件：（的条件：（1）力臂）力臂r=0（有心力作用）（有心力作用），（2）力）力F=0，（，（3）r 与与F 相互平行。相互平行。若质点所受的合外力矩如如果果对对于于某某一一固固定定点点，质质点点所所受受的的合合外外力力矩矩为为零零，则则质质点点对对该该固固定定点点的的角角动动量量矢矢量量保保持持
3、不不变变角角动动量量守守恒恒定律定律。第5页，本讲稿共86页例1、质点运动时，位矢r 在单位时间内扫过的面积称为掠面速度。试证明：作匀速直线运动的质点，其掠面速度为常数。解：质点作匀速直线运动，受合外力F0，因而对原点O的力矩0，对O点的角动量守恒。角动量大小因而掠面速度：第6页，本讲稿共86页例例2、行星运动的开普勒第二运动定律：、行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。解：行星在太阳引力（有心力）作用下沿椭圆轨道运动，因而行星在运行过程中，它对太阳的角动量守恒因而掠面速度：第7页，本讲稿共86页rm2m1OR
4、例3、发射一宇宙飞船去考察一质量为m1，半径为R的行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时，以初速v0发射一质量为m2(m2远小于飞船质量)的探测器，要使探测器正好能掠着行星表面着陆，角应多大？解：探测器飞行过程中只受到行星的引力，因而对O点的角动量守恒：又由机械能守恒：代入r=4R，求出第8页，本讲稿共86页4、质点对轴的角动量定理、角动量守恒定律、质点对轴的角动量定理、角动量守恒定律Z动量为的质点对Z轴的角动量：为质点动量在与Z轴相垂直的平面上的分量，也在该平面上。Z同样，力对Z轴的力矩：为力在垂直于Z轴平面上的分量第9页，本讲稿共86页质点对轴的角动量定理为：力对Z轴的力矩等于质点对
5、Z轴的角动量随时间的变化率。也可认为是质点对Z轴上任一点O的角动量定理在Z轴上的投影。当当MZ=0时，时，LZ=常量常量质点对轴的角动量守恒。质点对轴的角动量守恒。第10页，本讲稿共86页解：小球运动过程中受重力和绳中张力的作用。张力不作功机械能守恒：mg例例4、一小球用摆长为、一小球用摆长为L的轻绳系于的轻绳系于O点，开始时将小点，开始时将小球移开使绳与竖直方向成球移开使绳与竖直方向成 角，并给小球一水平初速角，并给小球一水平初速度度v0使小球绕使小球绕O点旋转，若希望在运动过程中，绳与点旋转，若希望在运动过程中，绳与竖直方向的最大瞬时夹角为竖直方向的最大瞬时夹角为90，问问v0 应多大？应
6、多大？LO重力对竖直轴无力矩，张力过O点也对竖直轴无力矩，因而对竖直轴角动量守恒：求出：第11页，本讲稿共86页二、质点系的角动量定理、角动量守恒二、质点系的角动量定理、角动量守恒1、质点系对一参考点的角动量定理与角动量守恒、质点系对一参考点的角动量定理与角动量守恒设一质点系中各质点相对参考点设一质点系中各质点相对参考点O的位矢用的位矢用(i=1,2,3,)，各质点的运动速度用，各质点的运动速度用(i=1,2,3,)表示，表示，则质点系对则质点系对O点的角动量为：点的角动量为：质点系中各质点所受外力对O点的力矩和为：第12页，本讲稿共86页而质点系中内力总是成对出现的，因而对同一参考点而言，内
7、力矩之和总为零。因而质点系对一参考点的角动量定理为：质点系相对参考点O的角动量随时间的变化率等于所有外力对该点力矩的矢量和。当时，当外力对参考点O的力矩矢量和为零时，质点系对该点的角动量守恒。第13页，本讲稿共86页2、质点系对轴的角动量定理与角动量守恒、质点系对轴的角动量定理与角动量守恒考虑质点系中质点都在垂直于Z轴的平面上运动的情形，可得出质点系对轴的角动量定理：质点系对Z轴的角动量随时间的变化率等于质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和。当质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和=0时，质点系对Z轴的角动量守恒。第14页，本讲稿共86页3、角动量守恒定律可以解释星系的圆盘形结构。、角动量守恒定律可
8、以解释星系的圆盘形结构。观察表明银河系及许多星系都呈扁平的圆盘形结构。观察表明银河系及许多星系都呈扁平的圆盘形结构。银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与其它银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与其它星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚（坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形（坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒（结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒（r2=常常量）要求转速随量）要求转速
9、随r 的减小而增大，因而使离心力增大，的减小而增大，因而使离心力增大，它往往比引力增大得更快，最终引力会和离心力相互它往往比引力增大得更快，最终引力会和离心力相互平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴方向的平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴方向的进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转轴方向进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转轴方向的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求增加转的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求增加转速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。减少的引力势能将以辐射的形式释放掉
10、。第15页，本讲稿共86页三、质点系对质心的角动量定理和守恒定律三、质点系对质心的角动量定理和守恒定律 前述角动量定理和角动量守恒定律都是相对某惯性系的，若参考系是一非惯性系，则还要考虑各质点所受的惯性力的力矩。选系统质心C为参考系，并设质心具有加速度,质点系相对质心C的角动量为，用 表示作用在质点系上各外力对质心C的力矩矢量和，再考虑各质点所受的惯性力矩，有：第16页，本讲稿共86页因而在质心系中，有：即质心系中的角动量定理和惯性系中的角动量定理有完全相同的形式。这说明质心系的特殊和重要。第17页，本讲稿共86页42对称性、对称性与守恒定律对称性、对称性与守恒定律一、自然界中的对称性对对称称
11、是是自自然然界界固固有有的的一一种种属属性性。如如球球体体关关于于球球心心对对称称；圆圆柱柱体体关关于于轴轴对对称称；人人和和动动物物“左左、右右”对对称称；花花、草草有有对对称称性性；各各种种建建筑筑物物也也“左左、右右”对对称称，等。人们也习惯了等。人们也习惯了“对称对称”之美。之美。第18页，本讲稿共86页我们要给对称性下一个较严格的定义：若对某一几何我们要给对称性下一个较严格的定义：若对某一几何形体施行某种操作后会使其状态与初态完全相同，则形体施行某种操作后会使其状态与初态完全相同，则称它具有对称性。常见的对称性有称它具有对称性。常见的对称性有:平移对称性：平移对称性：如果一个形体发生
12、一平移后，它和原来如果一个形体发生一平移后，它和原来一模一样，那么该形体具有一模一样，那么该形体具有空间平移对称性空间平移对称性。转动对称性转动对称性:如果一个形体绕某一固定轴转动一个角如果一个形体绕某一固定轴转动一个角度，它又和原来一模一样度，它又和原来一模一样,则称它具有转动对称性。则称它具有转动对称性。左右对称又称镜象对称性:人们照镜子时，镜中的像与你实际上是不同的，你的像将你的左、右对换了。所以镜象对称操作也称为空间反演变换。第19页，本讲稿共86页二、物理定律的对称性二、物理定律的对称性物理学中讨论的对称性要比上述形体上的对称性物理学中讨论的对称性要比上述形体上的对称性有更深的内涵。
13、物理学家认为，若某一事物、某一性有更深的内涵。物理学家认为，若某一事物、某一性质、某一规律在某种变换之后仍保持不变，就称其具质、某一规律在某种变换之后仍保持不变，就称其具有对称性，也称为在这种变换下的不变性。由于事物有对称性，也称为在这种变换下的不变性。由于事物在变换后完全复原，因而在变换前、后是不能区分的，在变换后完全复原，因而在变换前、后是不能区分的，也无法作出辨别性的测量。故物理学中将也无法作出辨别性的测量。故物理学中将对称性、在对称性、在变换下的不变性、不可区分性和不可测性变换下的不变性、不可区分性和不可测性四者给予相四者给予相同的涵义。同的涵义。物理学中也研究几何对称性，但更重要的是
14、物理物理学中也研究几何对称性，但更重要的是物理定律的对称性，即物理定律在某种变换下的不变性。定律的对称性，即物理定律在某种变换下的不变性。这些变换包括：时间平移、空间平移和转动、空间镜这些变换包括：时间平移、空间平移和转动、空间镜像、惯性系坐标变换等。像、惯性系坐标变换等。第20页，本讲稿共86页物理定律的时间平移不变性：物理定律的时间平移不变性：无论是过去、现在还是无论是过去、现在还是将来，物理定律都不会改变。一个实验只要不改变实将来，物理定律都不会改变。一个实验只要不改变实验条件和使用的仪器，不管是昨天、今天还是明天去验条件和使用的仪器，不管是昨天、今天还是明天去做，都应得到相同的结果。这
15、一事实表明物理定律具做，都应得到相同的结果。这一事实表明物理定律具有时间平移的对称性。或者说有时间平移的对称性。或者说对物理定律而言，时间对物理定律而言，时间有均匀性。有均匀性。物理定律的空间平移不变性：物理定律的空间平移不变性：物理定律在空间中任何物理定律在空间中任何位置上都相同。这一性质称为物理定律的空间平移对位置上都相同。这一性质称为物理定律的空间平移对称性，即称性，即对物理定律而言，空间具有均匀性。对物理定律而言，空间具有均匀性。物理定律的空间转动不变性物理定律的空间转动不变性:物理定律在空间所有方向物理定律在空间所有方向上都相同上都相同,不管将实验仪器在空间中如何转向不管将实验仪器在
16、空间中如何转向,只要实只要实验条件相同验条件相同,就应得到相同的实验结果。这一性质称为就应得到相同的实验结果。这一性质称为物理定律的空间转动不变性，或者说物理定律的空间转动不变性，或者说对物理定律而言，对物理定律而言，空间为各向同性。空间为各向同性。第21页，本讲稿共86页物理定律的镜像不变性：物理定律的镜像不变性：著名的物理学家费因曼讲过著名的物理学家费因曼讲过一个例子：若依据一只钟的镜像制作出另一只钟，并一个例子：若依据一只钟的镜像制作出另一只钟，并将这两只互为镜像的钟的发条上的一样紧，则这两只将这两只互为镜像的钟的发条上的一样紧，则这两只钟将以相同的速率走动，它们遵从相同的力学定律。钟将
17、以相同的速率走动，它们遵从相同的力学定律。类似地，若制造出两台互为镜像的电动机，这两台电类似地，若制造出两台互为镜像的电动机，这两台电动机也应遵从相同的电磁学定律。可见，物理定律在动机也应遵从相同的电磁学定律。可见，物理定律在镜像变换下具有不变性，或者说镜像变换下具有不变性，或者说对物理定律而言，空对物理定律而言，空间是左、右对称的。间是左、右对称的。物理定律的惯性系变换不变性：物理定律的惯性系变换不变性：按相对性原理，当从按相对性原理，当从一个惯性系变换到另一个惯性系时，物理定律保持不一个惯性系变换到另一个惯性系时，物理定律保持不变。这表明对物理定律而言，所有的惯性系是完全对变。这表明对物理
18、定律而言，所有的惯性系是完全对称的。称的。第22页，本讲稿共86页物理定律的对称性都可用一种否定的形式来表述：物理定律的对称性都可用一种否定的形式来表述：人人们无法通过任何物理实验来确定人们所处的时间绝对们无法通过任何物理实验来确定人们所处的时间绝对值、所在的空间绝对位置、空间绝对方向，也不能确值、所在的空间绝对位置、空间绝对方向，也不能确定绝对的左和右。在参考系内做任何实验也无法确定定绝对的左和右。在参考系内做任何实验也无法确定参考系在空间的绝对速度。参考系在空间的绝对速度。物理定律的对称性归根到物理定律的对称性归根到底反映了我们所处时空的特性。底反映了我们所处时空的特性。三、物理定律的对称
19、性与守恒定律三、物理定律的对称性与守恒定律由于物理定律具有某种对称性，就以相应的方式限制由于物理定律具有某种对称性，就以相应的方式限制了物理定律，继而使遵循物理定律的物质体系的运动了物理定律，继而使遵循物理定律的物质体系的运动受到某种制约，这种制约就是物质体系在运动中保持受到某种制约，这种制约就是物质体系在运动中保持某个物理量为恒量。于是某个物理量为恒量。于是物理定律的一种对称性就导物理定律的一种对称性就导致一条守恒定律，反之有一条守恒定律也必定有一种致一条守恒定律，反之有一条守恒定律也必定有一种对称性与之相应。对称性与之相应。第23页，本讲稿共86页不可测量性物理定律变换不变性守恒定律时间绝
20、对值时间平移能量空间绝对位置空间平移动量空间绝对方向空间转动角动量空间左和右空间反演宇称惯性系等价伽利略变换 洛伦兹变换时空绝对性 时空四维间隔带电粒子与中性粒子的相对位置电荷规范变换电荷重子与其它粒子的相对位置重子规范变换重子数轻子与其它粒子的相对位置轻子规范变换轻子数粒子与反粒子电荷共轭电荷 宇称第24页，本讲稿共86页例1 空间平移对称性与动量守恒定律 设由两个质点组成的封闭系统，二者间只存在保守内力（如引力）的相互作用，如图所示。将两个质点沿同一方向平移，二者的相互作用势能改变：但因空间具有平移对称性，平移后两质点的相对位置不变，因而势能不变，即 。因此有：即第25页，本讲稿共86页例
21、2、空间旋转对称性与角动量守恒设两质点位于以设两质点位于以O点为圆心，点为圆心，R为半为半径的圆周上，二者对圆心的连线之间径的圆周上，二者对圆心的连线之间的夹角为的夹角为，让两质点在此圆周轨道让两质点在此圆周轨道上沿同一方向转过的角度上沿同一方向转过的角度d，如图所，如图所示。在此过程中系统势能改变量示。在此过程中系统势能改变量O，其中 分别是力 对O点的力矩。由于空间具有旋转对称性，旋转后两质点的相对位置不变，因而势能应不变。即 第26页，本讲稿共86页四、对称性的自发破缺四、对称性的自发破缺一个原先具有较高对称性的体系，在没有受到任何一个原先具有较高对称性的体系，在没有受到任何不对称因素的
22、影响下，突然间对称性明显下降的现象称不对称因素的影响下，突然间对称性明显下降的现象称为对称性的自发破缺。当系统中存在或受到破坏对称性为对称性的自发破缺。当系统中存在或受到破坏对称性的微拢时，若这种微拢会被不断地放大，最终就会出现的微拢时，若这种微拢会被不断地放大，最终就会出现明显的不对称，产生对称性的自发破缺。明显的不对称，产生对称性的自发破缺。设想将一支削得十分均匀的铅笔笔尖朝下竖立在桌面上，设想将一支削得十分均匀的铅笔笔尖朝下竖立在桌面上，放手后只要有十分微小的一点点拢动，笔就会倒下，笔放手后只要有十分微小的一点点拢动，笔就会倒下，笔未倒之前，对竖直轴线具有轴对称性，倒下后这种对称未倒之前
23、，对竖直轴线具有轴对称性，倒下后这种对称性就被打破了，出现对称性的自发破缺。性就被打破了，出现对称性的自发破缺。目前，人们应用对称性原理有三个逻辑步骤：目前，人们应用对称性原理有三个逻辑步骤：假设假设某个绝对量不可观测；某个绝对量不可观测；导出时空的某种对称性即物导出时空的某种对称性即物理定律在某种变换下的不变性；理定律在某种变换下的不变性；推出某条守恒定律推出某条守恒定律第27页，本讲稿共86页这种对称性的自发破缺何时发生、在何处发生都这种对称性的自发破缺何时发生、在何处发生都具有偶然性。具有偶然性。运动的多样性的一个重要表现，是自然运动的多样性的一个重要表现，是自然界同时显现出许多不同类型
24、的对称性。这些对称性互界同时显现出许多不同类型的对称性。这些对称性互相交织在一起，在演化过程中不断地有对称性发生破相交织在一起，在演化过程中不断地有对称性发生破缺，同时往往又显现出新的对称性。缺，同时往往又显现出新的对称性。对称是美丽的，但若完全对称又会显得单调、平对称是美丽的，但若完全对称又会显得单调、平淡而缺乏生机，真正的美正是对称与不对称的完美结淡而缺乏生机，真正的美正是对称与不对称的完美结合，那蜿蜒曲折、此起彼伏而又错落有致的层层山峦合，那蜿蜒曲折、此起彼伏而又错落有致的层层山峦不正是大自然创造出的美景吗？不正是大自然创造出的美景吗？对称性导致守恒而对称性的自发破缺则产生变化，对称性导
25、致守恒而对称性的自发破缺则产生变化，二者的有机结合才有了大自然的变化莫测和多彩多姿。二者的有机结合才有了大自然的变化莫测和多彩多姿。第28页，本讲稿共86页43刚体运动的描述刚体运动的描述刚体是一种特殊的质点系统，无论在多大外力刚体是一种特殊的质点系统，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。形状、大小都不变的物体称为刚体形状、大小都不变的物体称为刚体。刚体是刚体是可以忽略由于受力而引起物体形状和体可以忽略由于受力而引起物体形状和体积改变的积改变的理想模型。理想模型。第29页，本讲稿共86页一、刚体的平动：刚体运动时，刚体上任一
26、条直线的位置始终保持彼此平行，称为平动。此时，刚体中所有质点的位移、速度和加速度都相同，可任选刚体上一点的运动来代表。即刚体的平动满足质心运动定理：第30页，本讲稿共86页二、刚体的定轴转动：刚体绕一固定直线（转轴Z）的转动。z此时轴外各质点都在垂直于转轴的平面上作圆周运动，在同一时间间隔内，走过的弧长虽不同，但角位移，因而角速度、角加速度都一样。适合用圆周运动的角量描述：第31页，本讲稿共86页三、刚体的定点转动：刚体绕一固定点O的转动，称为定点转动。实际上，在任一瞬时，刚体上都存在一条轴线（瞬时转轴Z）各质点都在垂直于瞬时转轴的平面上作圆周运动。zO与定轴转动不同的是，此瞬时转轴的方位，在
27、空间中不断变化。若能确定出瞬时转轴的方位（三个方位角，中的两个），接下来就与定轴转动毫无差别了。第32页，本讲稿共86页角速度矢量：定义刚体转动的角速度为矢量。方向：沿(瞬时)转轴，与转动方向成右手螺旋关系。大小：角速度可定义为矢量，是因角速度可定义为矢量，是因为角速度合成时符合平行四为角速度合成时符合平行四边形法则。边形法则。演示实验演示实验角速度矢量合成角速度矢量合成第33页，本讲稿共86页注意：角速度是矢量，因而无限小的角位移是矢量，但有限大的角位移合成结果与转动的先后次序有关，不服从交换律，因此它一般不是矢量。演示动画：转动的次序影响转动结果角加速度矢量：因角速度是矢量，所以角加速度也
28、是矢量。对定轴转动，均沿转轴方向。第34页，本讲稿共86页四、刚体的平面运动：刚体在运动过程中，各质点均在平面内运动，且这些平面均与一固定的平面平行，称为平面运动。如车轮沿一直线的滚动。可认为：平面运动=质心平动+过质心轴的定轴转动演示:车轮的无滑动滚动第35页，本讲稿共86页五、刚体的一般运动：刚体的一般运动=平动+定点转动。演示动画 手榴弹的运动第36页，本讲稿共86页44刚体定轴转动刚体定轴转动一、刚体定轴转动的角动量一、刚体定轴转动的角动量质点mi 的动量mi 对O点的角动量刚体对O点的角动量：通常角动量与角速度的方向并不一致。演示：刚体对点的角动量第37页，本讲稿共86页刚体对定轴Z
29、的角动量LZ定义：刚体对Z轴的转动惯量I有：第38页，本讲稿共86页二、刚体转动惯量的计算二、刚体转动惯量的计算rdm刚体对某一转轴的转动惯量I，是刚体转动时惯性大小的量度。其地位和作用都有与质点动力学中的质量m相当。常用的计算方法有：积分法：dm为质量元，简称质元。r为质元到转轴的距离。I与质量大小、质量分布、及转轴位置有关。演示：影响刚体转动惯量的因素第39页，本讲稿共86页常见刚体的转动惯量第40页，本讲稿共86页例1 求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；(2)转轴通过棒的一端并和棒垂直。解：(1)在棒上离轴x处，取一长度元dx，设棒的质量
30、线密度为，则dm=dx，有：（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时：第41页，本讲稿共86页例2 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，它的转动惯量为：积分：注意：注意：I与与h无关一个质量为无关一个质量为m、半径为、半径为R的实心圆柱的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。第42页，本讲稿共86页平行轴定理：dICCIDIC、ID 分别是刚体对过质心轴，和与之相平行的另一转轴的转动惯量。两转轴间距为d 薄板的正交轴定理：yxzoX
31、,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。第43页，本讲稿共86页例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒，组成一正方形框架，绕过其一顶点O并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。Om,lC解：由平行轴定理，先求出一根棒对框架质心C的转动惯量：因而框架对质心C的转动惯量再次用平行轴定理，得：第44页，本讲稿共86页OIR例4、一质量为m，半径为R的薄圆盘，绕与盘边相切的轴转动，求转动惯量IZXY解：取图示坐标系，已知由垂直轴定理得又由平行轴定理，有第45页，本讲稿共86页三、刚体定轴转动的角动量定理、转动定律三、刚体定轴转动的角动量定理、转动定律把刚体看成是质点组，由质点组角动量定理得出刚体定轴转动的角动量定
32、理：刚体对轴的外力矩总和=刚体对轴的角动量变化率。或用冲量矩写成：通常，给定的刚体的IZ为常量，得出转动定律：第46页，本讲稿共86页例5 一质量为M，半径为R的定滑轮（当作圆盘）上面绕有细绳。绳的另一端挂一质量为m的物体而下垂忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮的角速度。对物体m，由牛顿第二定律滑轮和物体的运动学关系为解：对定滑轮M，由转动定律，对于轴O，有第47页，本讲稿共86页物体下落高度h时的速度这时滑轮转动的角速度以上三式联立，可得物体下落的加速度为第48页，本讲稿共86页例例6待测物体装在转动架上，待测物体装在转动架上，细线的一端绕在半径为细线的一端绕在半径为R
33、的轮的轮轴上，另一端通过定滑轮悬挂轴上，另一端通过定滑轮悬挂质量为质量为m的物体。测得的物体。测得m自静自静止下落高度止下落高度h的时间为的时间为t，求待，求待测刚体对转轴的转动惯量。忽测刚体对转轴的转动惯量。忽略各轴承的摩擦、滑轮质量，略各轴承的摩擦、滑轮质量，已知转动架的转动惯量为已知转动架的转动惯量为I0解：对物体m，应用牛顿定律：对待测物体，应用转动定律：并有关系式：求出：TT第49页，本讲稿共86页例例7如图，以水平力如图，以水平力f打击悬挂在打击悬挂在P点的刚体，打击点为点的刚体，打击点为O，若打击点，若打击点选择合适，则打击过程中轴对刚体选择合适，则打击过程中轴对刚体的切向力的切
34、向力Ft=0，该点称为打击中心。，该点称为打击中心。求打击中心到轴的距离求打击中心到轴的距离rO解：刚体在水平外力f 的力矩作用下定轴转动。由转动定律，有：刚体质心的切向加速度为刚体质心的切向加速度为Ct=rC，沿此方向的运动方，沿此方向的运动方程为程为:当Ft=0时，得对细棒第50页，本讲稿共86页例例8一质量为一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失端长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后棒，求子弹穿出后棒的角速度的角速度。已知棒长为。已知棒长为l，质量为，质量为M解：以f代表棒对子弹的阻力，对于子弹有子弹对棒的反作用力
35、子弹对棒的反作用力f 对棒的冲量矩为对棒的冲量矩为因因f=f ，有，有第51页，本讲稿共86页例例9两个均匀圆柱各自绕自身的轴转动，两轴互相平两个均匀圆柱各自绕自身的轴转动，两轴互相平行。圆柱半径和质量分别为行。圆柱半径和质量分别为R1,R2,M1,M2.开始时两开始时两柱分别以角速度柱分别以角速度1,2同向旋转。然后缓缓移动它们，同向旋转。然后缓缓移动它们，使之互相接触。求两柱在相互之间摩擦力的作用下所使之互相接触。求两柱在相互之间摩擦力的作用下所达到的最终角速度达到的最终角速度1、2.解：最终状态是两柱表面没有相解：最终状态是两柱表面没有相对滑动，即对滑动，即1、2方向相反，方向相反，并满
36、足并满足由于两柱接触时摩擦力f 大小相等,方向相反，它们的冲量矩的大小正比于半径，方向相同：第52页，本讲稿共86页消去 得：解出其中用到两圆柱体的转动惯量公式：请考虑，此例中由两柱所构成的系统总角动量守恒吗请考虑，此例中由两柱所构成的系统总角动量守恒吗？为什么？为什么？第53页，本讲稿共86页例题一质量为例题一质量为m、半径为、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以垂直于盘面的光滑轴正以 o的角速度转动。现将盘的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为为，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
37、，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？解解摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为、宽为dr的的圆环积分。故摩擦力矩为圆环积分。故摩擦力矩为rdro于是得第54页，本讲稿共86页rdro由=o+t=0得又由又由 2-o2=2，所以停下来前转过的圈数所以停下来前转过的圈数为为第55页，本讲稿共86页四、刚体定轴转动的角动量守恒定理由前知当MZ=0 时，LZ=常量刚体对轴的角动量守恒。或在前后任意两个时刻，有：此式也适用于刚体的转动惯量有发生变化的情形。例如跳水、冰上芭蕾舞、茹可夫斯基
38、凳等。演示：茹可夫斯基凳第56页，本讲稿共86页解解系统系统:圆盘圆盘+人。系统什么量人。系统什么量守恒？守恒？(1)外力外力(重力和轴的支撑力重力和轴的支撑力)对转轴的力矩为零，所以系统对转轴的力矩为零，所以系统角动量守恒，于是有角动量守恒，于是有(I盘盘+I人人)O=I盘盘 +m人人v(R/2)上式正确吗？上式正确吗？显然是错误的。显然是错误的。oR/2例题:匀质园盘(m、R)与一人(m/10,视为质点)一起以角速度o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动,如图所示。如果此人相对于盘以速率v、沿半径为R/2的园周运动(方向与盘转动方向相反),求:(1)圆盘对地的角速度;(2)欲使园盘对地静止，人
39、相对园盘的速度大小和方向？第57页，本讲稿共86页 所以在应用角动量守恒定律求解问题时，应代入人相对于惯性系(地面)的角速度。正确的式子是：解出：R/2(2)欲使盘静止，可令得式中负号表示人的运动方向与盘的初始转动(o)方向一致。角动量守恒定律只适用于惯性系。第58页，本讲稿共86页五、五、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理1、力矩的功外力Fi 使刚体转动一微小角度d 所作的元功：刚体转过有限大角度时力矩的功有多个力矩作用在刚体上时：第59页，本讲稿共86页2、定轴转动的动能定理、定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能：为刚体各质点动能之和因得到外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增
40、量。刚体定轴转动的动能定理：第60页，本讲稿共86页3、刚体的重力势能、刚体的重力势能刚体的重力势能是组成刚体的各个质点重力势能之和刚体的重力势能相当于质量集中在刚体质心C 的重力势能。ohihcxmCmy对于包含刚体的系统，功能原理仍然成立：对于包含刚体的系统，功能原理仍然成立：系统外系统外力所作的功与系统非保守内力所作的功之和等于系力所作的功与系统非保守内力所作的功之和等于系统机械能的增量。统机械能的增量。第61页，本讲稿共86页解：细棒下降过程中只有重力矩做功。解：细棒下降过程中只有重力矩做功。杆重心下降了杆重心下降了l/2,应用机械能守恒：应用机械能守恒：例1 一质量为m、长为l的均匀
41、细棒OA可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时下端点A的速度，和O点处的受力。OAG第62页，本讲稿共86页设在竖直位置时，杆在O点受力N，将它分解成水平与竖直的两个分量。由于此时N与G 都过转轴O，对O点的力矩=0。由转动定律知，棒转动的角加速度=0因而ONnNtNGC第63页，本讲稿共86页例3 质量M长L的均匀细杆可绕过O点的水平轴转动，初始时杆静止于竖直位置质量m 的小球以v0垂直撞向杆的下端与杆发生完全弹性碰撞，求碰后小球回弹速度v,杆角速度及上摆的最大角度M,Lm,v0O解：相撞过程系统对解：相撞过程系统对O轴的角动量守恒；撞前
42、后动能轴的角动量守恒；撞前后动能相等，上摆过程机械能守恒：相等，上摆过程机械能守恒：求出第64页，本讲稿共86页45 刚体平面运动动力学刚体平面运动动力学一、刚体的动量，质心运动定理，动能一、刚体的动量，质心运动定理，动能1、刚体的质心：前面已知质点系的质心取刚体中小质元dm，其位矢为，则刚体的质心：或：第65页，本讲稿共86页2、刚体的动量，质心运动定理、刚体的动量，质心运动定理定义刚体的动量其中m是刚体质量，是刚体质心运动速度。若刚体所受外力矢量和为零，则刚体的动量守恒。质心运动定理：其中 是作用在刚体上所有外力的矢量和，是刚体质心加速度。3、平面运动刚体的动能第66页，本讲稿共86页二、
43、刚体平面运动基本方程二、刚体平面运动基本方程刚体平面运动刚体平面运动=质心平动质心平动+绕过质心轴的定轴转动绕过质心轴的定轴转动质心平动基本方程过质心轴的定轴转动基本方程实际上，刚体质心的平动与一个质点的运动没有区实际上，刚体质心的平动与一个质点的运动没有区别，因而可应用质点动力学的所有公式；同样，绕别，因而可应用质点动力学的所有公式；同样，绕质心轴的定轴转动也可应用定轴转动的所有公式。质心轴的定轴转动也可应用定轴转动的所有公式。第67页，本讲稿共86页例1 质量为m、半径为R的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，求质心的加速度和圆柱所
44、受的静摩擦力。lFac f解：设静摩擦力f 的方向如图，则由质心运动方程圆柱对质心的转动定律纯滚动条件为又求出当R 2L时，f 0,向后；当R 2L时，f 0R情形二 2vc00R情形三 2vc0=0R第71页，本讲稿共86页例4 质量m,半径R的球体，从高h 的斜面上由静止开始无滑动滚下，求它到底部时质心速度和转动角速度解：纯滚动时摩擦力不作功，机械能守恒：纯滚动条件：对实心球体求出第72页，本讲稿共86页例例5在光滑的桌面上有一质量为在光滑的桌面上有一质量为M、长、长2l的细杆，一质的细杆，一质量为量为m的小球沿桌面以速率的小球沿桌面以速率v0垂直地撞击在细杆的一端。垂直地撞击在细杆的一端
45、。设碰撞是完全弹性的，求碰后球和杆的运动情况设碰撞是完全弹性的，求碰后球和杆的运动情况解：设碰撞后小球和杆的质心速度分别解：设碰撞后小球和杆的质心速度分别为为v v1 1和和v vC C，杆绕质心的角速度为，杆绕质心的角速度为，有，有动量守恒：动量守恒：关于质心角动量守恒：碰前后系统动能相等求出第73页，本讲稿共86页OR1R2Mm例 半径R1,R2的两滑轮同轴合在一起，总质量M，对质心轴转动惯量IC。内轮上缠绕的细线悬挂于天花板，外轮上也用细线悬挂另一重物。求物体加速度，滑轮质心加速度、角加速度，及细线中张力。T1T2aac解：画出受力和加速度如图。列出方程组：求出第74页，本讲稿共86页4
46、6刚体的平衡刚体的平衡刚体平衡的充分必要条件是它所受合外力=0；对任意一参考点的合外力矩=0：例例1一架均匀的梯子，重为一架均匀的梯子，重为W，长，长为为2l，上端靠于光滑的墙上，下端，上端靠于光滑的墙上，下端置于粗糙的地面上，梯与地面的摩置于粗糙的地面上，梯与地面的摩擦系数为擦系数为。有一体重。有一体重W1的人攀登的人攀登到距梯下端到距梯下端l1的地方。求梯子不滑的地方。求梯子不滑动的条件。动的条件。第75页，本讲稿共86页解：设梯子不滑动，它与地面夹角为，地面与墙的法向力分别为N1和N2，地面摩擦力为f。力平衡方程为1力矩的参考点可以任意选择。为了简单，可以选图中N1和N2延长线的交点C。
47、求出梯子不滑的条件第76页，本讲稿共86页即1对于一定的倾角，人所能攀登的高度为 角愈大允许人攀登得愈高；角愈大允许人攀登得愈高；愈大允许人攀登得也愈愈大允许人攀登得也愈高。高。如果要求攀到一定的高度如果要求攀到一定的高度l1，则要求梯子的倾角，则要求梯子的倾角l1 1愈小允许愈小允许 愈小，愈小，愈大允许愈大允许 愈小。愈小。第77页，本讲稿共86页天平灵敏度问题。天平的主要结构是通过刀口架在立柱上的一根横梁，其两端挂有秤盘。横梁的重心必须在刀口的下方。通常灵敏天平的横梁的下方都固联一根摆动指针，针上装有一个螺丝，用以调节重心的高低。第78页，本讲稿共86页求出或如图，设刀口在O，臂长为l，
48、横梁重为W0，重心在C点,OC=h。两边重量稍有不同，此时横梁倾角为。这是刚体绕定点转动的平衡问题，只需一个平衡方程：OChLW+WW定义天平灵敏度为提高天平灵敏度，可把重心螺丝向上旋，以减小h。第79页，本讲稿共86页47自转与旋进自转与旋进一、陀螺仪陀螺仪的轴装在内环上，它又可绕AC轴相对于内环转动。AC、BD、EF三轴两两垂直，而且都通过陀螺仪的重心。这样，陀螺仪就不受外力矩，且能在空间任意取向。陀螺仪是一个边缘厚重的轴对称转盘，可绕对称轴转动。转轴装在一个常平架上。常平架是由支在框架S上的两个圆环组成，外环能绕EF轴转动，内环可绕BD轴相对于外环转动，第80页，本讲稿共86页刚体不受外
49、力矩时角动量守恒，因而转动轴线的方向不变。特别是陀螺仪，由于当它高速旋转时角动量很大，即使受到在实际中不可避免的外力矩（如轴承处的摩擦），如果外力矩较小，则其角动量的改变相对于原有的角动量来说是很小的，可忽略不计。这时无论我们怎样去改变框架的方向，都不能使陀螺仪的转轴AC在空间的取向发生变化。陀螺仪这一特性可用来做为导弹、飞机等飞行体的方向标准，即可利用它来随时纠正导弹飞行中可能发生的方向偏离，控制航向。第81页，本讲稿共86页二、回转效应（进动）二、回转效应（进动）由转动，也可偏离水平方向而倾斜。陀螺仪G和平衡重物W置于杆的两端，若调至平衡，杆AB是水平的。当陀螺仪不转动时，若移动W使之偏离
50、平衡位置，杆就会倾斜。现在先调至平衡，并让陀螺仪G绕自身的转轴高速旋转起来，此后再移动W我们会发现，此时杆并不倾斜，而是在水平面内绕铅直轴缓慢地旋转起来。陀螺仪自转轴的这种转动，叫做进动。陀螺仪的另一重要特性，是它受到外力矩作用时所产生的回转效应。右图为一杠杆陀螺仪，杆AB可绕光滑支点O在水平面内自第82页，本讲稿共86页小孩玩的陀螺就是绕自转轴转动惯量小孩玩的陀螺就是绕自转轴转动惯量较大的轴对称物体，当它绕自转轴旋较大的轴对称物体，当它绕自转轴旋转的时候，在重力矩的作用下，它并转的时候，在重力矩的作用下，它并不倒下来，而是其自转轴绕铅直方向不倒下来，而是其自转轴绕铅直方向进动，维持自转轴与铅