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1、球的体积和表面积第1页，本讲稿共27页例题讲解课堂作业教学目标重点难点球表面积球的体积课堂练习封底封底退出退出课堂小结第2页，本讲稿共27页l掌握球的体积、表面积公式l掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思想掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思想进一步理解分割进一步理解分割近似求和近似求和精确求和的思想方法精确求和的思想方法l会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力l能解决球的截面有关计算问题及球的能解决球的截面有关计算问题及球的“内接内接”与与“外外切切”的几何体问题的几何体问题教学目标教学目标第3页，本讲稿共27页球的体积公式的推导球的体积公式及应
2、用球的表面积公式及应用球的表面积公式的推导l教学重点l教学难点重点难点重点难点第4页，本讲稿共27页R高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积球的体积第5页，本讲稿共27页 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法球的体积球的体积 我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是第6页，本讲稿共27页当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到
3、了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的面积公式即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积球的体积球的体积分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和第7页，本讲稿共27页问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.AOB2C2球的体积球的体积AO第8页，本讲稿共27页OROA球的体积球的体积第9页，本讲稿共27页球的体积球的体积第10页，本讲稿共27页
4、球的体积球的体积第11页，本讲稿共27页2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面,球心作为球心作为顶点便得到顶点便得到n n个棱锥个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积.当当n n越大越大,越接近于球的体积越接近于球的体积,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.1)1)球的表面是曲面球的表面是曲面,不是平面不是平面,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块,每小块表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面,这这n n小块平面面积之和可近
5、似小块平面面积之和可近似看作球的表面积看作球的表面积.当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时,这这n n小块平面面积之和接近小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积于甚至等于球的表面积.球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种是否也可借助于这种极限极限思想方法来推导球的表面积公式呢思想方法来推导球的表面积公式呢?下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式
6、球的表面积球的表面积第12页，本讲稿共27页球的表面积球的表面积第13页，本讲稿共27页第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的表面积：则球的体积为：则球的体积为：OO球的表面积球的表面积第14页，本讲稿共27页第第二二步：步：求求近近似似和和由第一步得：由第一步得：OO球的表面积球的表面积第15页，本讲稿共27页第第三三步：步：化化为为准准确确和和 如果网格分的越细如果网格分的越细,则则:“小锥小锥体体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥O球的表面积球的表面积第16页，本讲稿共27页例1.钢球直径是5cm,求它的体积.(
7、变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它的内径求它的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2)例题讲解例题讲解第17页，本讲稿共27页(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得由计算器算得:例题讲解例题讲解第18页，本讲稿共27页(变式变式2)2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中把钢球放入一个正方体的有盖
8、纸盒中,至至少要用多少纸少要用多少纸?用料最省时用料最省时,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体球内切于正方体侧棱长为侧棱长为5cm例题讲解例题讲解第19页，本讲稿共27页例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。ABCDD1C1B1A1O例题讲解例题讲解第20页，本讲稿共27页O
9、ABC例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积解：如解：如图图，设设球球O半径半径为为R，截面截面 O的半径的半径为为r，例题讲解例题讲解第21页，本讲稿共27页OABC例.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积例题讲解例题讲解第22页，本讲稿共27页2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个球这个球的体积为的体积为cm3.83.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正方体一球切
10、于正方体的各侧棱的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积求这三个球的体积之比之比_.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习一课堂练习课堂练习第23页，本讲稿共27页4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_.练习二1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的_倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的_倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_.课堂练习课堂练习第24页，本讲稿共27页7.7.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这
11、个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为_.6.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212,则两球的直径之差为则两球的直径之差为_.练习二课堂练习课堂练习第25页，本讲稿共27页l了解球的体积、表面积推导的基本思路：分了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割割求近似和求近似和化为标准和的方法，是一种重化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法要的数学思想方法极限思想，它是今后要学极限思想，它是今后要学习的微积分部分习的微积分部分“定积分定积分”内容的一个应用；内容的一个应用；l熟练掌握球的体积、表面积公式：熟练掌握球的体积、表面积公式：课堂小结课堂小结第26页，本讲稿共27页课堂作业课堂作业习题习题9.11 P.74 5、6、7、8预习小结与复习预习小结与复习P.75P.77第27页，本讲稿共27页