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1、球的表面积与体积第1页，本讲稿共19页RR实验可以发现，一个半径和高都等于实验可以发现，一个半径和高都等于R的圆柱，的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径所得的几何体的体积与一个半径为为R的半球的体积相等的半球的体积相等.一、球的体积一、球的体积:第2页，本讲稿共19页RR第3页，本讲稿共19页R高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比小规律小规律第4页，本讲稿共19页R设想一个球由许多顶点设想一个球由许多顶点在球心在球心,底面在球面底面在球面上的上的“准锥体准锥体”组成组成,这
2、些准锥体这些准锥体的底面并不是真的底面并不是真的多边形的多边形,但只要但只要其底面足够小其底面足够小,就就可以把它们看成可以把它们看成真正的锥体真正的锥体.二、球的表面积二、球的表面积:第5页，本讲稿共19页RS球表球表=4R2第6页，本讲稿共19页 例例1 1 如图，圆柱的底面直径与高都等如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：于球的直径，求证：（1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的 ；（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积.第7页，本讲稿共19页例例2:钢球直径是钢球直径是5cm,求它的体积求它的体积.(变式变式1)一种空心钢球的质量是一种
3、空心钢球的质量是142g,外径外径 是是5cm,求它的内径求它的内径.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm3)（注：外径、内径是指直径）（注：外径、内径是指直径）第8页，本讲稿共19页解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得由计算器算得:(变式变式1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,外径外径 是是5cm,求它的内径求它的内径.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm3)第9页，本讲稿共19页(变式变式2)把直径为把直径为5cm的钢球放入一个正方体的钢球放入一个正方体的有盖纸盒
4、中的有盖纸盒中,至少要用多少纸至少要用多少纸?用料最省时用料最省时,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系?侧棱长为侧棱长为5cm两个几何体相切两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切几何体的各面相切.球内切于正方体球内切于正方体第10页，本讲稿共19页练习：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积.A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，都是
5、中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等则正方体对角线与球的直径相等.A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O第11页，本讲稿共19页(变式变式)把正方体的纸盒装入半径为把正方体的纸盒装入半径为r的球状木盒的球状木盒里里,正方体的棱长正方体的棱长a最大能为多少最大能为多少?半径为半径为r的木盒能装下的最大正方体与球盒有的木盒能装下的最大正方体与球盒有什么位置关系什么位置关系?球外接于正方体球外接于正方体两个几何体相接两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在一个几何体的所有顶点都在 另一个几何体的表面上另一个几何体的表面上.第12页，本讲
6、稿共19页OABC 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积解：如解：如图图，设设球球O半径半径为为R，截面截面 O的半径的半径为为r，第13页，本讲稿共19页 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积OABC第14页，本讲稿共19页82.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正一球切于正方体的各侧棱方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三个求这三个球的体积之比球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的球的直径
7、伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习练习1:探究：若正方体的棱长为探究：若正方体的棱长为a，则：，则：(1)正方体的内切球的直径正方体的内切球的直径=(2)正方体的外接球的直径正方体的外接球的直径=(3)与正方体所有的棱相切的球的直径与正方体所有的棱相切的球的直径=第15页，本讲稿共19页1.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm3.2.一个长方体同一顶点上的三条棱分别长3、4、5，且它的八个顶点都在球面上，球的半径、体积、表面积分别为_.变式：变式：第16页，本讲稿共19页4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是，则其表面积
8、之比是_.练习练习2:1.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来则半径变为原来的的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来倍，则表面积变为原来的的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.第17页，本讲稿共19页7.将半径为将半径为1和和2的两个铅球，熔成一个大铅球，的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是那么这个大铅球的表面积是_.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为48,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为12,则两球的直径之差为则两球的直径之差为_.练习练习2:5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_.第18页，本讲稿共19页【小结】1.球的表面积公式；球的表面积公式；2.球的体积公式球的体积公式.第19页，本讲稿共19页