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1、第二章完全且完美信息静态博弈2023/1/231第1页，共108页，编辑于2022年，星期二一、博弈的数学描述一、博弈的数学描述2.1 2.1 基本分析思路和方法基本分析思路和方法 假假设设一一个个博博弈弈有有n个个博博弈弈方方，博博弈弈方方i i的的策策略略集集(又又称称策策略略空空间间)为为S Si i(i=1,2,n)(i=1,2,n)，用用 s sijij S Si i表表 示示博博 弈弈 方方 i i的的 第第 j j个个 策策 略略；若若s si iSSi i(i=1,2,n),(i=1,2,n),称称s=(ss=(s1 1,s,s2 2,s,sn n)为为一一个个策策略略组组合合
2、；若若用用s s-i-i=(s=(s1 1,s,s2 2,s,si-1i-1,s,si+1i+1,s,sn n),则则 s=(ss=(si i,s,s-i-i)。第2页，共108页，编辑于2022年，星期二用用u ui i(s)=u(s)=ui i(s(s1 1,s,s2 2,s,sn n)(i=1,2,n)(i=1,2,n)表示表示博弈方博弈方i i 在在策策略组合略组合s=(ss=(s1 1,s,s2 2,s,sn n)的的得益得益,u,ui i是策略集是策略集S S1 1SS2 2SSn n上上的的多元函数。多元函数。定义定义1：若一个博弈的策略空间为若一个博弈的策略空间为S Si i,
3、得益函数为得益函数为：u ui i(s)=u(s)=ui i(s(s1 1,s,s2 2,s,sn n)(i=1,2,n),)(i=1,2,n),则该博弈表示为：则该博弈表示为：G=SG=S1 1,S,S2 2,S,Sn n；u u1 1,u,u2 2,u,un n 。第3页，共108页，编辑于2022年，星期二二、上策均衡二、上策均衡定义定义2：一个博弈一个博弈G，若对，若对博弈方博弈方i i及及所有所有s si i都有都有u ui i(s(si i,s,s-i-i)u ui i(s(si i,s,s-i-i)，则称，则称s si i是是s si i的的严格上策严格上策，s si i是是s
4、si i的的严格下策严格下策。即：即：如果不管其他博弈方选择什么策略，一博弈方的某个策略给如果不管其他博弈方选择什么策略，一博弈方的某个策略给他带来的得益始终高于其他策略，该策略称为该博弈方的一个他带来的得益始终高于其他策略，该策略称为该博弈方的一个“严严格上策格上策”。第4页，共108页，编辑于2022年，星期二定义定义3：若在博弈若在博弈G中对每个博弈方中对每个博弈方i都存在策略都存在策略s si i*是其它所有策是其它所有策略的略的严格上策严格上策,则称策略组合则称策略组合s s*=(s=(s1 1*,s,s2 2*,s,sn n*)是是G G的的上策均衡上策均衡。在第一章的在第一章的“
5、囚徒困境囚徒困境”博弈中，其中博弈中，其中（坦白，坦白）坦白，坦白）就是一个就是一个上策均衡。而其它例子都没有上策均衡。上策均衡。而其它例子都没有上策均衡。上策均衡反映了所有博弈方的上策均衡反映了所有博弈方的绝对偏好绝对偏好，因此非常稳定，根据上，因此非常稳定，根据上策均衡可以对博弈结果作出最肯定的预测。策均衡可以对博弈结果作出最肯定的预测。第5页，共108页，编辑于2022年，星期二三、严格下策反复消去法三、严格下策反复消去法在在博弈博弈G中博弈方的严格下策当然是博弈方实际上中博弈方的严格下策当然是博弈方实际上不愿选择不愿选择的策的策略略，因此可以从博弈方的策略集中去掉。，因此可以从博弈方的
6、策略集中去掉。定义定义4：若博弈若博弈G中每个博弈方都反复去掉严格下策后剩下唯一策略组合中每个博弈方都反复去掉严格下策后剩下唯一策略组合s s*=(s=(s1 1*,s,s2 2*,s,sn n*)，则称，则称s s*=(s=(s1 1*,s,s2 2*,s,sn n*)为为G G的的反复消去严格反复消去严格下策均衡下策均衡。第6页，共108页，编辑于2022年，星期二 显然第一章的显然第一章的“智猪博弈智猪博弈”中大猪中大猪“按按”、小猪、小猪“等待等待”是是一一个个 反复消去严格下策均衡反复消去严格下策均衡。例例1：博弈博弈G如右图：如右图：1,01,30,10,40,22,0博弈方博弈方
7、 左左 中中 右右求解反复消去严格下策均衡的方法称为求解反复消去严格下策均衡的方法称为严格下策反复消去法严格下策反复消去法。博弈方博弈方上上下下第7页，共108页，编辑于2022年，星期二 解：解：博弈方博弈方的策略的策略“右右”是策略是策略“中中”的严格下策，消去策略的严格下策，消去策略“右右”后后为：为：0,41,00,21,3左左 中中 博弈方博弈方的策略的策略“下下”是策略是策略“上上”的严格下策，消去策略的严格下策，消去策略“下下”后为：后为：1,01,3左左 中中上上 博弈方博弈方的策略的策略“左左”是策略是策略“中中”的严格下策，消去策略的严格下策，消去策略“左左”后为可后为可知
8、知（上，中）（上，中）就是该博弈就是该博弈反复消去严反复消去严格下策均衡。格下策均衡。1,01,30,10,40,22,0 左左 中中 右右上上下下第8页，共108页，编辑于2022年，星期二 严格下策反复消去法中每次消去的必须是严格下策反复消去法中每次消去的必须是严格下策严格下策，否则会出，否则会出现一些意想不到的结果。现一些意想不到的结果。例例2：博弈博弈G如下图如下图：1,81,62,80,80,80,91,50,80,6博弈方博弈方 L M R第9页，共108页，编辑于2022年，星期二1,81,62,80,80,80,91,5 0,8 0,6 解：解：1）博弈方）博弈方的策略的策略“
9、L”和和“M”都是策略都是策略“R”的的下策下策(不是严格下策不是严格下策)，消去策，消去策略略“L”和和“M”后为：后为：0,90,81,8 R 博弈方博弈方的策略的策略“S”和和“D”都是都是策略策略“U”的严格下策，消去策略的严格下策，消去策略“S”和和“D”后剩下唯一策略组合后剩下唯一策略组合（U,R）。L M RU SD第10页，共108页，编辑于2022年，星期二 1,81,62,80,80,80,91,5 0,8 0,6 2）博弈方）博弈方的策略的策略“S”和和“D”都是策略都是策略“U”的下策的下策(不是严不是严格下策格下策)，消去策略消去策略“S”和和“D”后为后为:博弈方博
10、弈方的策略的策略“M”和和“R”都是策略都是策略“L”的下策的下策(不是严不是严格下策格下策)，消去策略，消去策略“M”和和“L”后剩下唯一策略组合后剩下唯一策略组合（U,L）。L M RU SD1,81,62,8L M R U第11页，共108页，编辑于2022年，星期二四、划线法四、划线法博弈方的最终目标都是实现自身的最大利益。在具有策略和利博弈方的最终目标都是实现自身的最大利益。在具有策略和利益相互依存性的博弈问题中，各个博弈方的得益既取决于自己选益相互依存性的博弈问题中，各个博弈方的得益既取决于自己选择的策略，还与其他博弈方选择的策略有关，因此博弈方在决策择的策略，还与其他博弈方选择的
11、策略有关，因此博弈方在决策时必须考虑其他博弈方的存在和策略选择。时必须考虑其他博弈方的存在和策略选择。思路：思路：找出自己针对其他博弈方每种策略或策略组合（对多人博找出自己针对其他博弈方每种策略或策略组合（对多人博弈）的最佳对策，即自己的可选策略中与其他博弈方的策略或策略弈）的最佳对策，即自己的可选策略中与其他博弈方的策略或策略组合配合，给自己带来最大得益的策略（这种相对最佳对策总是存组合配合，给自己带来最大得益的策略（这种相对最佳对策总是存在的，不过不一定唯一）。若存在一个策略组合，使得所有博弈方在的，不过不一定唯一）。若存在一个策略组合，使得所有博弈方的得益值下都划了线，则该策略组合就是一
12、个纳什均衡。的得益值下都划了线，则该策略组合就是一个纳什均衡。第12页，共108页，编辑于2022年，星期二例例3：博弈博弈G如右图：如右图：0,41,00,00,20,11,3博弈方博弈方 左 中 右解：解：该博弈的纳什均衡为该博弈的纳什均衡为（上，中）（上，中）。博弈方博弈方 上下第13页，共108页，编辑于2022年，星期二例例4：博弈博弈G如下图：如下图：2,81,61,80,80,60,80,81,50,9博弈方博弈方 L M R解：解：该博弈有两个纳什均衡该博弈有两个纳什均衡(U,L)和和(U,R)。U博弈方博弈方 S D第14页，共108页，编辑于2022年，星期二例例5：博弈博
13、弈G如下图：如下图：-1,1 1,-11,-1-1,1猜硬币方猜硬币方正面正面 反面反面盖盖硬硬币币方方正面正面反面反面该博弈没有一个策略组合是双方同时愿意接受的。没该博弈没有一个策略组合是双方同时愿意接受的。没有纯策略纳什均衡。有纯策略纳什均衡。第15页，共108页，编辑于2022年，星期二 例例6：博弈博弈G如下图：如下图：2,1 0，0 0，01,3丈夫丈夫时装时装 足球足球妻妻子子时装时装足球足球该博弈有两个策略组合是双方同时愿意接受的：该博弈有两个策略组合是双方同时愿意接受的：（时装，时装），（足球，足球）（时装，时装），（足球，足球）。但是，由于具有上述特征的策略。但是，由于具有上
14、述特征的策略组合不是唯一的一个，因此我们也无法确定哪一个会出现，对于这种博弈，组合不是唯一的一个，因此我们也无法确定哪一个会出现，对于这种博弈，划线法显然也没有完全解决问题。划线法显然也没有完全解决问题。第16页，共108页，编辑于2022年，星期二五、箭头法五、箭头法 箭头法与划线法的分析思路不同，但效果与划线法相同。箭头法与划线法的分析思路不同，但效果与划线法相同。考察在每个策略组合处各个博弈方能否通过单独改变自己的考察在每个策略组合处各个博弈方能否通过单独改变自己的策略而增加得益。如能，则从所分析的策略组合对应的得益数策略而增加得益。如能，则从所分析的策略组合对应的得益数组引一箭头，到改
15、变策略后策略组合对应的得益数组。若存在组引一箭头，到改变策略后策略组合对应的得益数组。若存在一策略组合，其得益数组一策略组合，其得益数组只有进来只有进来的箭头而的箭头而没有出去没有出去的箭头，则的箭头，则该策略组合就是纳什均衡。该策略组合就是纳什均衡。第17页，共108页，编辑于2022年，星期二例例7：博弈博弈G如右图：如右图：1,01,30,10,40,20,0博弈方博弈方 左左 中中 右右纳什均衡为纳什均衡为（上，中）（上，中）。博弈方博弈方上下第18页，共108页，编辑于2022年，星期二斗鸡斗鸡B进攻进攻 退却退却-3,-32,00,20,0例例8：斗鸡博弈斗鸡博弈 (进，退进，退)
16、和和(退，进退，进)是两个是两个纳什纳什均衡。均衡。斗鸡A进攻退却第19页，共108页，编辑于2022年，星期二 一、纳什均衡的定义一、纳什均衡的定义定义定义5：博弈博弈G=SG=S1 1,S,S2 2,S,Sn n；u u1 1,u,u2 2,u,un n 中中，若存在策略组合，若存在策略组合s s*=(s=(s1 1*,s,s2 2*,s,sn n*)，任一博弈方任一博弈方 i的策略的策略s si i*都是对其余博弈方策略都是对其余博弈方策略组合组合 s s-i-i*(s(s1 1*,s,s2 2*,s,si-1i-1*,s,si+1i+1*,s,sn n*)最佳对策，即最佳对策，即u u
17、i i(s(si i*,s,s-i-i*)u ui i(s(si i,s,s-i-i*)对任意对任意s si iSSi i都成立，都成立，则称则称s s*=(s=(s1 1*,s,s2 2*,s,sn n*)是是G G的一的一个个纳什均衡纳什均衡。2.2 2.2 纳什均衡纳什均衡第20页，共108页，编辑于2022年，星期二二、纳什均衡的一致预测性二、纳什均衡的一致预测性一致预测性一致预测性是指这样一种性质：如果所有博弈方都预测一个特定的博是指这样一种性质：如果所有博弈方都预测一个特定的博弈结果会出现，那么所有的博弈方都不会利用该预测或者这种预测能力，弈结果会出现，那么所有的博弈方都不会利用该
18、预测或者这种预测能力，选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有偏离这个预测结果选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因此这个预测结果最终真会成为博弈的结果的愿望，因此这个预测结果最终真会成为博弈的结果。即：即：如果所有博弈方都预测一个特定的纳什均衡会出现，那么，没如果所有博弈方都预测一个特定的纳什均衡会出现，那么，没有人有兴趣作不同的选择。有人有兴趣作不同的选择。一致预测性是纳什均衡的一致预测性是纳什均衡的本质属性本质属性。一致预测性使纳什均衡是一致预测性使纳什均衡是稳定稳定的和的和自我强制自我强制的。的。第21页，共108页，编辑于2022年，星期二三、
19、纳什均衡与严格下策反复消去法三、纳什均衡与严格下策反复消去法上策均衡肯定是纳什均衡，但反过来纳什均衡上策均衡肯定是纳什均衡，但反过来纳什均衡不一定是上策均衡，因此上策均衡是比纳什均衡不一定是上策均衡，因此上策均衡是比纳什均衡更强、稳定性更高的均衡概念。只是，上策均衡更强、稳定性更高的均衡概念。只是，上策均衡在博弈问题中的普遍性比纳什均衡要差得多。在博弈问题中的普遍性比纳什均衡要差得多。第22页，共108页，编辑于2022年，星期二命题命题1：在在n个博弈方的博弈个博弈方的博弈G=SG=S1 1,S,S2 2,S,Sn n；u u1 1,u,u2 2,u,un n 中，中，如果如果s s*=(s
20、=(s1 1*,s,s2 2*,s,sn n*)是是G的一个纳什均衡，那么严格下策反复消的一个纳什均衡，那么严格下策反复消去法一定不会将它消去。去法一定不会将它消去。证：证：用反证法：用反证法：设策略组合设策略组合 (s(s1 1*,s,s2 2*,s,sn n*)是博弈是博弈G的一个纳什均的一个纳什均衡，且博弈方衡，且博弈方i的策略的策略s si i*，是该策略组合中第一个由于相对于该博弈方的其，是该策略组合中第一个由于相对于该博弈方的其他策略是严格下策而被消去的策略他策略是严格下策而被消去的策略(也许是在其他某些策略被消去以后也许是在其他某些策略被消去以后)。则必然存在博弈方则必然存在博弈
21、方i的某个策略的某个策略s si i，该，该s si i在在s si i*被消去的时候还没有被消被消去的时候还没有被消去，并且是相对于去，并且是相对于s si i*的严格上策，即满足：的严格上策，即满足：第23页，共108页，编辑于2022年，星期二u ui i(s(si i,s,s-i-i)u ui i(s(si i,s,s-i-i)(1)(1)对任意由其他博弈方此时尚未消去的所有策略构成的策略组合对任意由其他博弈方此时尚未消去的所有策略构成的策略组合s s-i i=(s=(s1 1,s,si-1i-1,s,si+1i+1,s,sn n)都成立都成立。由于假设由于假设s si i是纳什均衡是
22、纳什均衡(s(s1 1*,s,s2 2*,s,sn n*)的各方策略中第一个被消去的，的各方策略中第一个被消去的，因因此其他博弈方的策略此其他博弈方的策略s s1 1,s,si-1i-1,s si+1i+1,s,sn n，在，在s si i被消去的时候都还没有被消去，于是对被消去的时候都还没有被消去，于是对s s-i-i=(s=(s1 1,s,si-1i-1,s,si+1i+1,s,sn n)也必须成立即也必须成立即:u ui i(s(si i,s,s-i-i*)u ui i(s(si i,s,s-i-i*)(2)(2)第24页，共108页，编辑于2022年，星期二 这显然与这显然与(s(s1
23、 1*,s,s2 2*,s,sn n*)是纳什均衡策略组合的假设相矛盾，因为是纳什均衡策略组合的假设相矛盾，因为不等式不等式(2)表明表明s si i不是博弈方不是博弈方i对其他博弈方的策略组合的最佳反应。对其他博弈方的策略组合的最佳反应。该矛盾证明了开头所作的：纳什均衡被严格下策反复消去该矛盾证明了开头所作的：纳什均衡被严格下策反复消去法消去的假设是不可能成立的，这样命题法消去的假设是不可能成立的，这样命题1就得到了证明。就得到了证明。第25页，共108页，编辑于2022年，星期二 命题命题2：在在n 个博弈方的博弈个博弈方的博弈G中，如果严格下策反复消去法中，如果严格下策反复消去法排除了除
24、排除了除s s*=(s=(s1 1*,s,s2 2*,s,sn n*)之外的所有策略组合，那么之外的所有策略组合，那么s s*一定是该一定是该博弈惟一的纳什均衡。博弈惟一的纳什均衡。证：证：命题命题2的后半部分即惟一性可由命题的后半部分即惟一性可由命题1的结论得到证明。下面用的结论得到证明。下面用反证法证明前半部分：反证法证明前半部分：第26页，共108页，编辑于2022年，星期二 设严格下策反复消去法已经消去除了设严格下策反复消去法已经消去除了s s*=(s=(s1 1*,s,s2 2*,s,sn n*)以外的所有策略组合。但以外的所有策略组合。但s s*却不是一个纳什均衡。就是说，至少存却
25、不是一个纳什均衡。就是说，至少存在某个博弈方在某个博弈方i的某个策略的某个策略s si i使得：使得：u ui i(s(si i,s,s-i-i*)u ui i(s(si i*,s,s-i-i*)(1)(1)但由于但由于s s*是经过严格下策反复消去法以后留下的惟一策略组是经过严格下策反复消去法以后留下的惟一策略组合，因此合，因此s si i必然是被严格下策反复消去法消去的策略。也就是说，必然是被严格下策反复消去法消去的策略。也就是说，在严格下策反复消去过程中的某个阶段，必然存在某个当时还没在严格下策反复消去过程中的某个阶段，必然存在某个当时还没有被消去的策略有被消去的策略s si i使得：使
26、得：第27页，共108页，编辑于2022年，星期二u ui i(s(si i,s,s-i-i)u ui i(s(si i,s,s-i-i)(2)(2)对由此时尚未被消去的，其他博弈方的策略构成的所有策略对由此时尚未被消去的，其他博弈方的策略构成的所有策略组合组合s s-i-i都成立。都成立。由于由于s s*是本博弈经过严格下策反复消去法以后惟一留下的策略是本博弈经过严格下策反复消去法以后惟一留下的策略组合，因此策略组合，因此策略s s1 1,s si-1i-1,s,si+1i+1,s,sn n始终不会被消去，因此始终不会被消去，因此也应该满足也应该满足(2)式，即式，即:u ui i(s(si
27、 i/,s,s-i-i*)u ui i(s(si i,s,s-i-i*)(3)(3)第28页，共108页，编辑于2022年，星期二 如果如果s si i/就是就是s si i*,即即s si i*是相对于是相对于s si i的严格上策，则的严格上策，则(3)式和式和(1)式相矛盾，从而式相矛盾，从而s s*不是纳什均衡的假设不能成立。这就证明了命不是纳什均衡的假设不能成立。这就证明了命题题。如果如果s si i/与与s si i*不同，则不同，则s si i/在严格下策反复消去的过程中也必须在严格下策反复消去的过程中也必须被消去被消去(要不然要不然s s*就不会是留下的惟一的策略组合就不会是留
28、下的惟一的策略组合)。第29页，共108页，编辑于2022年，星期二 进一步推定在某阶段存在进一步推定在某阶段存在s si i/是相对于是相对于s si i/的严格上策，用的严格上策，用s si i/和和s si i/分别代替分别代替s si i/和和s si i时，时，(2)式和式和(3)式仍然必须成立，如果式仍然必须成立，如果s si i/就是就是s si i*，则与上相同也证明了命题。，则与上相同也证明了命题。否则用否则用s si i/代替代替s si i/重复上述过程。这样，总会找到某个重复上述过程。这样，总会找到某个s si i(k)(k)就是就是s si i*,从而证明在前述假设下
29、必然导致从而证明在前述假设下必然导致(1)式和式和(3)式的矛式的矛盾，否定前述假设成立的可能性，由此证明了命题盾，否定前述假设成立的可能性，由此证明了命题2。第30页，共108页，编辑于2022年，星期二 根据上一节的分析已经明白，分析完全信息静态博弈的关键是找根据上一节的分析已经明白，分析完全信息静态博弈的关键是找出其中的纳什均衡。但前面所讨论都是可通过策略之间的两两比较进出其中的纳什均衡。但前面所讨论都是可通过策略之间的两两比较进行分析的有限策略博弈模型。行分析的有限策略博弈模型。在无限策略、连续策略空间的博弈中，纳什均衡的概念同样适用。在无限策略、连续策略空间的博弈中，纳什均衡的概念同
30、样适用。我们通过具体模型来说明这种博弈的纳什均衡分析方法。我们通过具体模型来说明这种博弈的纳什均衡分析方法。2.3 2.3 无限策略博弈分析和反应函数无限策略博弈分析和反应函数第31页，共108页，编辑于2022年，星期二一、古一、古诺（诺（CournotCournot）模型）模型 古诺模型是研究寡头垄断市场的古诺模型是研究寡头垄断市场的经典模型经典模型，在古诺模型中，在古诺模型中,假设一个假设一个市场有两家生产同一种产品的厂商。如果厂商市场有两家生产同一种产品的厂商。如果厂商1 1的产量为的产量为q q1 1，厂商，厂商2 2的的产量为产量为q q2 2，则市场总产量为，则市场总产量为Q Q
31、q q1 1十十q q2 2。设市场出清价格设市场出清价格P(P(即可以将产即可以将产品全部卖出去的价格品全部卖出去的价格)是市场总产量的函数是市场总产量的函数(即逆需求函数即逆需求函数)P=P(QP=P(Q）a a-Q-Q。再设两厂商有相同的单位生产成本。再设两厂商有相同的单位生产成本c c1 1=c=c2 2=c=c,且都没有固定成本，且都没有固定成本，则该博弈中两博弈方的则该博弈中两博弈方的得益得益(即两厂商各目的利润即两厂商各目的利润)分别为分别为:第32页，共108页，编辑于2022年，星期二和和虽然本博弈中两博弈方都有虽然本博弈中两博弈方都有无限多种无限多种可选策略，但可选策略，但
32、根据纳什均衡根据纳什均衡的定义我们知道，纳什均衡就是具有相互是最优对策性质的各博弈方的定义我们知道，纳什均衡就是具有相互是最优对策性质的各博弈方策略组成的策略组合。策略组成的策略组合。(1)(2)第33页，共108页，编辑于2022年，星期二 因此，如果假设策略组合因此，如果假设策略组合(q(q1 1*,q,q2 2*)是本博弈的纳什均衡，是本博弈的纳什均衡，则则(q(q1 1*,q,q2 2*)必须是使得两博弈方的得益达到最大值必须是使得两博弈方的得益达到最大值,即满足即满足:第34页，共108页，编辑于2022年，星期二 要要求求上上式式的的最最大大值值,只只需需(1)(1)、(2)(2)
33、两两式式分分别别对对q q1 1、q q2 2求求偏偏导并令两个偏导数都等于零导并令两个偏导数都等于零,由此可得由此可得q q1 1*,q,q2 2*应满足方程组应满足方程组:第35页，共108页，编辑于2022年，星期二 解之得该方程组唯解之得该方程组唯的一组解的一组解:两博弈方的均衡得益两博弈方的均衡得益(利润利润)分别为分别为:均衡总产量为：均衡总产量为：具体地具体地,若设若设:则则:第36页，共108页，编辑于2022年，星期二 如果想对上述博弈结果作效率评价，可以再从两厂商总体如果想对上述博弈结果作效率评价，可以再从两厂商总体利益最大化的角度作一次产量选择，根据已知条件求实现总得利益
34、最大化的角度作一次产量选择，根据已知条件求实现总得益益(总利润总利润)最大的总产量最大的总产量。设总产量为设总产量为Q，则总得益为，则总得益为UPQ cQQ(8Q)2Q6Q Q2。很容易求得使总得益最大的总产量。很容易求得使总得益最大的总产量Q*3，最大总得益，最大总得益U*9。第37页，共108页，编辑于2022年，星期二 将此结果与两厂商独立决策，追求自身而不是共同利益最将此结果与两厂商独立决策，追求自身而不是共同利益最大化时的博弈结果相比，不难发现此时总产量较小，而总利润却大化时的博弈结果相比，不难发现此时总产量较小，而总利润却较高较高。因此从两厂商的总体来看，根据总体利益最大化确定产量
35、因此从两厂商的总体来看，根据总体利益最大化确定产量效率更高。换句话说，如果两厂商更多考虑合作，联合起来决定效率更高。换句话说，如果两厂商更多考虑合作，联合起来决定产量，先定出使总利益最大的产量后各自生产一半产量，先定出使总利益最大的产量后各自生产一半(1.5,1.5单位单位)，则各自可分享到的利益为，则各自可分享到的利益为4.5，比只考虑自身利益的独立决策行为得到，比只考虑自身利益的独立决策行为得到的利益要高。的利益要高。第38页，共108页，编辑于2022年，星期二 当然，在独立决策、缺乏协调机制的两个企业之间，当然，在独立决策、缺乏协调机制的两个企业之间，上述合作的结果并不容易实现，即使实
36、现了也往往是不上述合作的结果并不容易实现，即使实现了也往往是不稳定的。合作难以实现或维持的原因主要是：各生产一稳定的。合作难以实现或维持的原因主要是：各生产一半实现最大总利润产量的产量组合半实现最大总利润产量的产量组合(1.5,1.5）不是该博不是该博弈的纳什均衡策略组合。弈的纳什均衡策略组合。第39页，共108页，编辑于2022年，星期二 也就是说，在这个策略组合下，双力都可以通过独自改变也就是说，在这个策略组合下，双力都可以通过独自改变(增加增加)自自己的产量而得到更高的利润，它们都有突破己的产量而得到更高的利润，它们都有突破1.5单位产量的冲动。在缺乏由单位产量的冲动。在缺乏由强制作用的
37、协议等保障手段的情况下，这种冲动注定了维持上述较低水平强制作用的协议等保障手段的情况下，这种冲动注定了维持上述较低水平的产量组合是不可能的，两厂商早晚都会增产，只有达到纳什均衡的产量的产量组合是不可能的，两厂商早晚都会增产，只有达到纳什均衡的产量水平水平(2，2)时才会稳定下来。时才会稳定下来。因为只有这时候任一厂商单独改变产量才不利于自己，这实际上也因为只有这时候任一厂商单独改变产量才不利于自己，这实际上也是一种是一种“囚徒困境囚徒困境”，如果将遵守限额还是突破限额作为厂商面临的选，如果将遵守限额还是突破限额作为厂商面临的选择，则构成了得益矩阵如下图的博弈。择，则构成了得益矩阵如下图的博弈。
38、第40页，共108页，编辑于2022年，星期二4.5,4.53.75,55,3.754,4厂商厂商2不突破不突破 突破突破当然不难看出该博弈是一个囚徒困境博弈。当然不难看出该博弈是一个囚徒困境博弈。上述两寡头产量博弈只是古上述两寡头产量博弈只是古诺诺模型中比较简单的一个特例，模型中比较简单的一个特例，更一般的古更一般的古诺诺模型是包括模型是包括n 个寡头的寡占市场产量决策。但其分析个寡头的寡占市场产量决策。但其分析方法是一样的。方法是一样的。典型例子：典型例子：石油输出国组织的限额和突破问题石油输出国组织的限额和突破问题F4厂商厂商1不突破不突破突破突破第41页，共108页，编辑于2022年，
39、星期二二、反应函数二、反应函数古诺模型的纳什均衡也可以通过对划线法思路的推广来求，划线法的古诺模型的纳什均衡也可以通过对划线法思路的推广来求，划线法的思路是先找出思路是先找出每个博弈方每个博弈方针对针对其他博弈方所有策略其他博弈方所有策略(或策略组合或策略组合)的的最佳最佳对策，然后再找出相互构成最佳对策的各博弈方策略组成的对策，然后再找出相互构成最佳对策的各博弈方策略组成的策略组合，也就是博弈的纳什均衡。策略组合，也就是博弈的纳什均衡。在无限策略的在无限策略的古诺古诺博弈模型中这样的思路实际上也是可行的，博弈模型中这样的思路实际上也是可行的，只是其他博弈方的策略现在有无限多种，因此各个博弈方
40、的最佳只是其他博弈方的策略现在有无限多种，因此各个博弈方的最佳对策也有无限种，它们之间往往构成一种连续函数关系。对策也有无限种，它们之间往往构成一种连续函数关系。第42页，共108页，编辑于2022年，星期二 在上面讨论的两寡头古诺模型中，对厂商在上面讨论的两寡头古诺模型中，对厂商2的任意产量的任意产量q q2 2，厂商，厂商1的最的最佳对策产量佳对策产量q q1 1，就是使白己在厂商，就是使白己在厂商2生产产量生产产量q q2 2的情况下利润最大化的产的情况下利润最大化的产量，即量，即q q1 1是最大化问题：是最大化问题：的解。上式对的解。上式对q q1 1求导求导并令导数等于并令导数等于
41、0：由此得：由此得：第43页，共108页，编辑于2022年，星期二 这样我们得到了对于厂商这样我们得到了对于厂商2的每的每个可能的产量，厂商个可能的产量，厂商1的的最佳对最佳对策策产量的计算公式，它是厂商产量的计算公式，它是厂商2产量的一个连续函数，我们称这个连续函数产量的一个连续函数，我们称这个连续函数为厂商为厂商1对厂商对厂商2产量的一个产量的一个“反应函数反应函数”(Reaction Function)。同样。同样的方法，我们可再求出厂商的方法，我们可再求出厂商2对厂商对厂商1产量产量q q1 1的反应函数：的反应函数：q q2 26363q q1 1由于这两个反应函数都是连续的线由于这
42、两个反应函数都是连续的线性函数，因此可以用坐标平面上的性函数，因此可以用坐标平面上的两条直线表示它们两条直线表示它们,如图如图:(2,2)第44页，共108页，编辑于2022年，星期二 从图中可以看出，当一方的产量选择为从图中可以看出，当一方的产量选择为0时，另一方的时，另一方的最佳最佳反应为反应为3。这正是实现市场总利润最大的产量，因为这时候等于由一个。这正是实现市场总利润最大的产量，因为这时候等于由一个厂商垄断市场，市场总体利润就是该厂商的利益；当一方的产量达到厂商垄断市场，市场总体利润就是该厂商的利益；当一方的产量达到6时，另一方时，另一方被迫选择被迫选择0，因为这时后者坚持生产已经，因
43、为这时后者坚持生产已经无利可图无利可图。在两个反应函数对应的两条直线上，只有它们的交点在两个反应函数对应的两条直线上，只有它们的交点(2，2)代表代表的产量组合，才是由相互对对方的最佳反应产量构成的。的产量组合，才是由相互对对方的最佳反应产量构成的。R1(q2)上的其他所有点上的其他所有点(q q1 1,q,q2 2)只有只有q q1 1是对是对q q2 2的的最佳反应最佳反应，q q2 2 不是不是对对q q1 1的最佳反应，而的最佳反应，而R2(q1)上的点则刚好相反。上的点则刚好相反。第45页，共108页，编辑于2022年，星期二 根据纳什均衡的定义，根据纳什均衡的定义，(2，2)是该古
44、诺模型的纳什均衡，是该古诺模型的纳什均衡，并且因为它是惟一的一个，因此应该是该并且因为它是惟一的一个，因此应该是该博弈的结果博弈的结果。这。这个结论与前面直接根据纳什均衡定义得到的完全个结论与前面直接根据纳什均衡定义得到的完全样。样。第46页，共108页，编辑于2022年，星期二现在我们把反应函数法应用到伯特兰德模型的分析。伯持兰德现在我们把反应函数法应用到伯特兰德模型的分析。伯持兰德1883年提出了另一种形式的寡占模型。这种模型与选择产量的古诺模型的年提出了另一种形式的寡占模型。这种模型与选择产量的古诺模型的区别在于，伯特兰德模型中各厂商所选择的是区别在于，伯特兰德模型中各厂商所选择的是价格
45、价格而不是产量。我们而不是产量。我们用简单的两寡头且产品有一定差别的伯特兰德价格博弈模型进行分析。用简单的两寡头且产品有一定差别的伯特兰德价格博弈模型进行分析。三、伯特兰德三、伯特兰德(Bertrand)寡头模型寡头模型第47页，共108页，编辑于2022年，星期二 上述产品有一定差别是指两个厂商生产的是同类产品，上述产品有一定差别是指两个厂商生产的是同类产品，但在品牌、质量和包装等方面有所不同，因此伯特兰德模型但在品牌、质量和包装等方面有所不同，因此伯特兰德模型中厂商的产品之间有很强的中厂商的产品之间有很强的替代性替代性。但又不是完全可替代，即。但又不是完全可替代，即价格不同时，价格较高的不
46、会完全销不出去。当厂商价格不同时，价格较高的不会完全销不出去。当厂商1和厂商和厂商2价格分别为价格分别为P1和和P2时，它们各自的时，它们各自的需求函数需求函数为：为：和和第48页，共108页，编辑于2022年，星期二 从上式可以看出产品之间是有差别的，其中从上式可以看出产品之间是有差别的，其中d1，d20即两厂商产即两厂商产品的替代系数。我们也假设两厂商无固定成本，假设边际生产成本分别为品的替代系数。我们也假设两厂商无固定成本，假设边际生产成本分别为c c1 1和和c c2 2。两博弈方的得益函数分别为：两博弈方的得益函数分别为：我们直接用反应函数法分析这个博弈。上两式分别对我们直接用反应函
47、数法分析这个博弈。上两式分别对P1和和P2求偏导，并令偏导数为求偏导，并令偏导数为0，由此得：，由此得：第49页，共108页，编辑于2022年，星期二很容易求出两厂商对对方策略很容易求出两厂商对对方策略(价格价格)的反应函数分别为的反应函数分别为和和第50页，共108页，编辑于2022年，星期二 纳什均衡纳什均衡(P1*，P2*)必是两反应函数的必是两反应函数的交点交点，即必须满足：，即必须满足：求解此方程组即可得到求解此方程组即可得到纳什均衡纳什均衡(P1*，P2*)：记：记：第51页，共108页，编辑于2022年，星期二具体地，如果进一步假设模型中的参数分别为：具体地，如果进一步假设模型中
48、的参数分别为：将将P1*，P2*代入得益函数则可进一步得到两厂商的代入得益函数则可进一步得到两厂商的均衡得益均衡得益值。值。则可以得到：则可以得到：P1*P2*20，u1*u2*324。第52页，共108页，编辑于2022年，星期二 值得一提的另外一点是，这种价格决策与古诺模型中的产量值得一提的另外一点是，这种价格决策与古诺模型中的产量决策一样，其纳什均衡也不如各博弈方通过协商、合作得到的最决策一样，其纳什均衡也不如各博弈方通过协商、合作得到的最佳结果，因此也是囚徒困境的一种。佳结果，因此也是囚徒困境的一种。上述模型是伯特兰德模型较简单的情况。更一般的情况是有上述模型是伯特兰德模型较简单的情况
49、。更一般的情况是有n个个寡头寡头的价格决策，并且产品也可以是的价格决策，并且产品也可以是无差别无差别的。的。第53页，共108页，编辑于2022年，星期二随着社会经济的不断发展，我们越来越无法回避随着社会经济的不断发展，我们越来越无法回避公共资源利用公共资源利用、公公共设施提供共设施提供和和公共环境保护公共环境保护等方面的问题。而在这些问题中，也包含等方面的问题。而在这些问题中，也包含了众多的博弈关系。我们以人们对公共资源利用方面的博弈关系为例了众多的博弈关系。我们以人们对公共资源利用方面的博弈关系为例来作一些讨论。来作一些讨论。四、公共资源问题四、公共资源问题第54页，共108页，编辑于20
50、22年，星期二 在经济学中，所谓公共资源是指具有在经济学中，所谓公共资源是指具有(1)没有哪个个人、企业或没有哪个个人、企业或组织拥有所有权组织拥有所有权；(2)大家都可以自由利用大家都可以自由利用，这样两个特征的自然资，这样两个特征的自然资源或人类生产的供源或人类生产的供大众免费使用大众免费使用的设施和财货。的设施和财货。例如大家都可以开采使用的地下水，可自由放牧的草地，可自例如大家都可以开采使用的地下水，可自由放牧的草地，可自由排放废水的公共河道由排放废水的公共河道(假设政府未予限制假设政府未予限制)，以及公共道路、楼道的，以及公共道路、楼道的照明灯等。照明灯等。由于公共资源有上述两个特征