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1、第四节广义积分初步本讲稿第一页，共二十九页一一.无穷积分无穷积分本讲稿第二页，共二十九页一一.无穷积分无穷积分1.定义定义设设在在上连续上连续,取取存在存在,如果极限如果极限则称此极限值为函数则称此极限值为函数在在上的无穷积分上的无穷积分.记作记作:此时也称无穷积分收敛此时也称无穷积分收敛,否则称无穷否则称无穷积分发散积分发散.即即本讲稿第三页，共二十九页注注(1)无穷积分的几何意义无穷积分的几何意义:当当时时表示由曲线表示由曲线与直线与直线和和 轴所围成的向右无限延伸的轴所围成的向右无限延伸的平面图形的面积平面图形的面积.(2)的敛散的敛散性与性与无关无关.本讲稿第四页，共二十九页2.定义定
2、义设设在在上连续上连续,取取存在存在,如果极限如果极限则称此极限值为函数则称此极限值为函数在在上的无穷积分上的无穷积分.记作记作:此时也称无穷积分收敛此时也称无穷积分收敛,否则称无穷否则称无穷积分发散积分发散.即即本讲稿第五页，共二十九页3.定义定义设设在在上连续上连续,同时收敛同时收敛,如果如果则称它们的和为函数则称它们的和为函数在在上的无穷积分上的无穷积分.记作记作:此时也称无穷积分收敛此时也称无穷积分收敛,否则称无穷否则称无穷积分发散积分发散.和和(某个实数某个实数)为某个实数为某个实数,即即本讲稿第六页，共二十九页例例1.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解即广义积分收敛即广
3、义积分收敛,值为值为本讲稿第七页，共二十九页本讲稿第八页，共二十九页例例2.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解故广义积分故广义积分时收敛时收敛,时发散时发散.本讲稿第九页，共二十九页例例3.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解而而即即发散，发散，故故发散发散.本讲稿第十页，共二十九页例例 已知已知求常数求常数的值的值(1993年考研真题年考研真题8分分)解解本讲稿第十一页，共二十九页由由得得本讲稿第十二页，共二十九页二二.瑕积分瑕积分本讲稿第十三页，共二十九页二二.瑕积分瑕积分1.定义定义设设在在上连续上连续,且且存在存在,如果极限如果极限则称此极限值为函数则称此极限值为
4、函数在在上的瑕积分上的瑕积分.记作记作:此时也称瑕积分收敛此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分否则称瑕积分发散发散.即即本讲稿第十四页，共二十九页2.定义定义设设在在上连续上连续,且且存在存在,如果极限如果极限则称此极限值为函数则称此极限值为函数在在上的瑕积分上的瑕积分.记作记作:此时也称瑕积分收敛此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分否则称瑕积分发散发散.即即本讲稿第十五页，共二十九页3.定义定义 设设在在上连续上连续,并且并且如果如果同时收敛同时收敛,则称它们的和为函数则称它们的和为函数在在上的瑕积分上的瑕积分.记作记作:此时也称瑕积分收敛此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分否则称瑕积分发散发散.和和即
5、即本讲稿第十六页，共二十九页例例4.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解因因故故是瑕点是瑕点即广义积分收敛即广义积分收敛,值为值为本讲稿第十七页，共二十九页例例5.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解因因故故是瑕点是瑕点故广义积分故广义积分时收敛时收敛,时发散时发散.本讲稿第十八页，共二十九页例例6.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解因因而而发散发散,故故发散发散本讲稿第十九页，共二十九页例例7.判定判定的敛散性的敛散性.解解因因故故是瑕点是瑕点本讲稿第二十页，共二十九页即瑕积分发散即瑕积分发散.本讲稿第二十一页，共二十九页瑕积分瑕积分时收敛时收敛,时发散时发散
6、.无穷积分无穷积分时收敛时收敛,时发散时发散.总结总结本讲稿第二十二页，共二十九页三三.函数函数定义定义 广义积分广义积分是是的函数的函数,称为称为函数函数.性质性质1函数是收敛的函数是收敛的.性质性质2证证本讲稿第二十三页，共二十九页性质性质3证证性质性质4本讲稿第二十四页，共二十九页性质性质5证证性质性质6其中其中本讲稿第二十五页，共二十九页例例7 求求解解例例8 求求解解本讲稿第二十六页，共二十九页四四.函数函数定义定义 广义积分广义积分是是的函数的函数,称为称为函数函数.和和记作记作性质性质1收敛收敛.性质性质2证证本讲稿第二十七页，共二十九页性质性质3例例9 计算计算解解本讲稿第二十八页，共二十九页例例10 求求解解令令则则本讲稿第二十九页，共二十九页