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1、古典概型的特征和概率计算公式 第1页，本讲稿共26页你参加过你参加过“抽奖抽奖”吗？吗？活动规则活动规则4 4人人按按顺顺序序摸摸球球,摸摸到白球为中奖到白球为中奖不透明的袋子里面装了有不透明的袋子里面装了有2 2黑黑2 2白，白，除颜色外完全相同的除颜色外完全相同的4 4个球个球.摸奖的顺序不影响中奖率摸奖的顺序不影响中奖率如何从理论上计算每个人的得奖率呢？如何从理论上计算每个人的得奖率呢？第2页，本讲稿共26页掷硬币实验掷硬币实验摇骰子实验摇骰子实验转盘实验转盘实验第3页，本讲稿共26页试验一：试验一：抛掷一枚均匀的硬币，试验的结果有抛掷一枚均匀的硬币，试验的结果有_个，个，其中出现其中出
2、现“正面朝上正面朝上”的概率的概率_._.出现出现“反面朝反面朝上上”的概率的概率=_.=_.试验二：试验二：掷一粒均匀的骰子，试验结果有掷一粒均匀的骰子，试验结果有_ _ 个，其中出现个，其中出现“点数点数5”5”的概率的概率_._.试验三：试验三：转转8 8等分标记的转盘，试验结果有等分标记的转盘，试验结果有_个，个，出现出现“箭头指向箭头指向4”4”的概率的概率_._.上述三个试验有什么特点？上述三个试验有什么特点？第4页，本讲稿共26页归纳上述三个试验的特点：归纳上述三个试验的特点：1 1、试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的、试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现
3、其中的一个结果一个结果.2 2、每一个试验结果出现的可能性相同、每一个试验结果出现的可能性相同.我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型古典概型（古（古典的概率模型）典的概率模型）.古典概型古典概型试验的每一个可能结果称为试验的每一个可能结果称为基本事件基本事件有限性有限性等可能性等可能性第5页，本讲稿共26页掷硬币实验掷硬币实验摇骰子实验摇骰子实验转盘实验转盘实验第6页，本讲稿共26页1 1、向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都、向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗
4、？为什么？是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？解解因为试验的所有可能结果是圆因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出数是无限的，虽然每一个试验结果出现的现的“可能性相同可能性相同”，但这个试验不满，但这个试验不满足古典概型的第一个条件足古典概型的第一个条件.第7页，本讲稿共26页2 2、如图，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限、如图，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中个：命中1010环、命中环、命中9 9环环命中命中1 1环和命中环和命中0 0环环.你认为这是古你认为
5、这是古典概型吗？为什么？典概型吗？为什么？解解不是古典概型，因为试验的所有可不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有能结果只有1111个，而命中个，而命中1010环、命中环、命中9 9环环命中命中1 1环和不中环的出现不是等可能环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件的，即不满足古典概型的第二个条件.第8页，本讲稿共26页 掷一粒均匀的骰子，骰子落地时向上的点数为掷一粒均匀的骰子，骰子落地时向上的点数为2 2的概率是的概率是多少？点数为多少？点数为4 4的概率呢？点数为的概率呢？点数为6 6的概率呢？骰子落地时向上的概率呢？骰子落地时向上的点数为偶数的概率是多少？的点数为偶数
6、的概率是多少？分析：分析：用事件用事件A A表示表示“向上的点数为偶数向上的点数为偶数”，则事件，则事件A A由由“点数点数为为2 2”、“点数为点数为4 4”、“点数为点数为6 6”三个可能结果组成，又出三个可能结果组成，又出现现“点数为点数为2 2”的概率为的概率为 ，出现，出现“点数为点数为4 4”的概率为的概率为 ，出，出现现“点数为点数为6 6”的概率为的概率为 ，且且A A的发生，指三种情形之一的出现，因此的发生，指三种情形之一的出现，因此即骰子落地时向上的点数为偶数的概率是即骰子落地时向上的点数为偶数的概率是 .思考：在古典概型中如何求随机事件发生的概率？思考：在古典概型中如何求
7、随机事件发生的概率？第9页，本讲稿共26页 古典概型中，试验的所有可能结果（基本事件）数为古典概型中，试验的所有可能结果（基本事件）数为n n，随，随机事件机事件A A包含包含m m个基本事件，那么随机事件个基本事件，那么随机事件A A的概率规定为：的概率规定为：应该注意：应该注意：（1 1）要判断该概率模型是不是古典概型；）要判断该概率模型是不是古典概型；（2 2）要找出随机事件）要找出随机事件A A包含的基本事件的个数和包含的基本事件的个数和 试验中基本事件的总数试验中基本事件的总数.第10页，本讲稿共26页如图，转动转盘计算下列事件的概率：如图，转动转盘计算下列事件的概率：（1 1）箭头
8、指向）箭头指向8 8；（2 2）箭头指向）箭头指向3 3或或8 8；（3 3）箭头不指向）箭头不指向8 8；（4 4）箭头指向偶数；）箭头指向偶数；第11页，本讲稿共26页例例1 1 在一个健身房里，用拉力器进行锻炼时，需要选取在一个健身房里，用拉力器进行锻炼时，需要选取2 2个质量盘装在拉力器上个质量盘装在拉力器上.有有2 2个装质量盘的箱子，每个箱子个装质量盘的箱子，每个箱子中都装有中都装有4 4个不同的质量盘：个不同的质量盘：2.5 kg2.5 kg、5 kg5 kg、10 kg10 kg和和20 kg20 kg，每次都随机地从，每次都随机地从2 2个箱子中各取个箱子中各取1 1个质量盘
9、装在拉个质量盘装在拉力器上后，再拉动这个拉力器力器上后，再拉动这个拉力器.（1 1）随机地从）随机地从2 2个箱子中各取个箱子中各取1 1个质量盘，共有多少种可能个质量盘，共有多少种可能的结果？用表格列出所有可能的结果的结果？用表格列出所有可能的结果.（2 2）计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的概）计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的概率率.（）20 kg20 kg；（；（）30 kg30 kg；（）不超过）不超过10 kg10 kg；（；（）超过）超过10 kg.10 kg.（3 3）如果一个人不能拉动超过）如果一个人不能拉动超过22 kg22 kg的质量，那么他不能的质量
10、，那么他不能拉开拉力器的概率是多少？拉开拉力器的概率是多少？第12页，本讲稿共26页解：解：（1 1）第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以）第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以从从4 4种不同的质量盘中任意选取种不同的质量盘中任意选取.我们可以用一个我们可以用一个“有序实数有序实数对对”来表示随机选取的结果来表示随机选取的结果.例如，我们用（例如，我们用（1010，2020）来表）来表示：在一次随机的选取中，从第一个箱子取的质量盘是示：在一次随机的选取中，从第一个箱子取的质量盘是10 kg10 kg，从第二个箱子取的质量盘是从第二个箱子取的质量盘是20 kg20 kg，表，表1
11、 1列出了所有可列出了所有可能的结果能的结果.表表1 1 第二质量第一质量2.5510202.5(2.5，2.5)(2.5，5)(2.5，10)(2.5，20)5(5，2.5)(5，5)(5，10)(5，20)10(10，2.5)(10，5)(10，10)(10，20)20(20，2.5)(20，5)(20，10)(20，20)第13页，本讲稿共26页从上表中可以看出，随机地从从上表中可以看出，随机地从2 2个箱子中各取个箱子中各取1 1个质量盘的个质量盘的所有可能结果数有所有可能结果数有1616种种.由于选取质量盘是随机的，因此由于选取质量盘是随机的，因此这这1616种结果出现的可能性是相同
12、的，这个试验属于古典概种结果出现的可能性是相同的，这个试验属于古典概型型.（2 2）表）表2 240403030252522.522.5202030302020151512.512.510102525151510107.57.55 522.522.512.512.57.57.55 52.52.5202010105 52.52.5总质量总质量 第二个质量第二个质量 第一个质量第一个质量第14页，本讲稿共26页（）用）用A A表示事件表示事件“选取的两个质量盘的总质量是选取的两个质量盘的总质量是20 kg”20 kg”，因为总质量为，因为总质量为20 kg20 kg的所有可能结果只有的所有可能结果
13、只有1 1种，种，因此，事件因此，事件A A的概率的概率P(A)=0.062 5.P(A)=0.062 5.（）用）用B B表示事件表示事件“选取的两个质量盘的总质量是选取的两个质量盘的总质量是30 kg”30 kg”，从表，从表2 2中可以看出，总质量为中可以看出，总质量为30 kg30 kg的所有可的所有可能结果共有能结果共有2 2种，因此事件种，因此事件B B的概率的概率P(B)=0.125.P(B)=0.125.第15页，本讲稿共26页（）用）用C C表示事件表示事件“选取的两个质量盘的总质量不超过选取的两个质量盘的总质量不超过10 kg”10 kg”，总质量不超过，总质量不超过10
14、kg10 kg，即总质量为，即总质量为5 kg5 kg，7.5 kg7.5 kg，10 kg10 kg，从表，从表2 2中容易看出，所有可能结果共有中容易看出，所有可能结果共有4 4种，因种，因此，事件此，事件C C的概率的概率P(C)=0.25.P(C)=0.25.（）用）用D D表示事件表示事件“选取的两个质量盘的总质量超过选取的两个质量盘的总质量超过10 kg”10 kg”，总质量超过，总质量超过10 kg10 kg，即总质量为，即总质量为12.5 kg12.5 kg，20 kg20 kg，15 kg15 kg，22.5 kg22.5 kg，25 kg25 kg，30 kg30 kg，4
15、0 kg40 kg，从表，从表2 2中可以看出，中可以看出，所有可能结果共有所有可能结果共有1212种，因此，事件种，因此，事件D D的概率的概率P(D)=0.75.P(D)=0.75.第16页，本讲稿共26页（3 3）用）用E E表示事件表示事件“不能拉开拉力器不能拉开拉力器”，即总质量超过了，即总质量超过了22 kg22 kg，总质量超过，总质量超过22 kg22 kg是指总质量为是指总质量为22.5 kg22.5 kg，25 kg25 kg，30 kg30 kg，40 kg40 kg，从表，从表2 2中可以看出，这样的可能结果中可以看出，这样的可能结果共有共有7 7种，因此，不能拉开拉力
16、器的概率种，因此，不能拉开拉力器的概率P(E)=P(E)=0.44.0.44.第17页，本讲稿共26页规律方法：规律方法：在这个例子中，用列表的方法列出了所有在这个例子中，用列表的方法列出了所有可能的结果可能的结果.在计算古典概率时，只要所有可在计算古典概率时，只要所有可能结果的数量不是很多，列举法是我们常用的能结果的数量不是很多，列举法是我们常用的一种方法一种方法.第18页，本讲稿共26页求古典概型的步骤：求古典概型的步骤：（1 1）判断是否为等古典概型；）判断是否为等古典概型；（2 2）列举所有基本事件的总结果数）列举所有基本事件的总结果数n n（3 3）列举事件）列举事件A A所包含的结
17、果数所包含的结果数m m（4 4）计算）计算 当结果有限时，列举法是很常用的方法当结果有限时，列举法是很常用的方法第19页，本讲稿共26页6 7 8 9 10 11例：（例：（掷骰子问题掷骰子问题）：将一个骰子先后抛掷）：将一个骰子先后抛掷2次，观察次，观察向上的点数向上的点数.问问:（1）共有多少种不同的结果共有多少种不同的结果?（2）两数之和是）两数之和是3的倍数的结果有多少种？的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是）两数之和是3的倍数的概率是多少？的倍数的概率是多少？第一次抛掷后向上的点数第一次抛掷后向上的点数1 2 3 4 5 6第第二二次次抛抛掷掷后后向向上上的的点点数数6 65 5
18、4 43 32 21 1 解解：（1）将）将骰子抛掷骰子抛掷1次，次，它出现的点数有它出现的点数有1，2，3，4，5，6这这6种结果，对于每一种种结果，对于每一种结果，第二次抛时又都有结果，第二次抛时又都有6种可种可能的结果，于是共有能的结果，于是共有66=36种种不同的结果。不同的结果。2 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 97 8 9 10 11 125 6 7 8 9 10第20页，本讲稿共26页1 2 3 4 5 6第一次抛掷后向上的点数第一次抛掷后向上的点数7 7 8 9 10 11 128 9 10 11 126 7 8 9 10 116 7 8 9 10
19、 115 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 104 5 6 7 8 94 5 6 7 8 93 4 5 6 7 83 4 5 6 7 82 3 4 5 6 72 3 4 5 6 76 65 54 43 32 21 1第第二二次次抛抛掷掷后后向向上上的的点点数数（2）记）记“两次向上点数之和是两次向上点数之和是3的倍数的倍数”为事件为事件A，则事件则事件A的结果有的结果有12种。种。（3）两次向上点数之和是）两次向上点数之和是3的倍数的概率为：的倍数的概率为：第21页，本讲稿共26页解：记解：记“两次向上点数之和不低于两次向上点数之和不低于10”为事件为事件B，则事件则事件B的结果有的结
20、果有6种，种，因此所求概率为：因此所求概率为：1 2 3 4 5 6第一次抛掷后向上的点数第一次抛掷后向上的点数7 7 8 9 10 11 128 9 10 11 126 7 8 9 10 116 7 8 9 10 115 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 104 5 6 7 8 94 5 6 7 8 93 4 5 6 7 83 4 5 6 7 82 3 4 5 6 72 3 4 5 6 76 65 54 43 32 21 1第第二二次次抛抛掷掷后后向向上上的的点点数数变式变式1：两数之和不低于：两数之和不低于10的结果有多少种？两数之的结果有多少种？两数之和不低于和不低于10的的概率
21、是多少的的概率是多少？第22页，本讲稿共26页1 2 3 4 5 6第一次抛掷后向上的点数第一次抛掷后向上的点数7 7 8 9 10 11 128 9 10 11 126 7 8 9 10 116 7 8 9 10 115 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 104 5 6 7 8 94 5 6 7 8 93 4 5 6 7 83 4 5 6 7 82 3 4 5 6 72 3 4 5 6 76 65 54 43 32 21 1第第二二次次抛抛掷掷后后向向上上的的点点数数变式：变式：点数之和为质数的概率为多少？点数之和为质数的概率为多少？变式：变式：点数之和为多少时，概率最大且概率是多少
22、？点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？点数之和为点数之和为7时，概率最大，时，概率最大，且概率为：且概率为：7 7 8 9 108 9 10 11 11 12126 6 7 7 8 9 108 9 10 11 115 5 6 6 7 7 8 9 108 9 104 4 5 5 6 6 7 7 8 98 93 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 82 3 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7第23页，本讲稿共26页 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A A，B B，C C，D D四四个选项中选择一个正确答案个选项中选择一个正确答案.如果考生
23、掌握了考察的内容，他可以选择如果考生掌握了考察的内容，他可以选择唯一正确的答案唯一正确的答案.假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？他答对的概率是多少？解：解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4 4个：选择个：选择A A、选择选择B B、选择、选择C C、选择、选择D D，即基本事件共有，即基本事件共有4 4个，考生随机地选择一个个，考生随机地选择一个答案即选择答案即选择A A，B B，C C，D D的可能性是相等的的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计从而由古典概型的概率计算公式得
24、：算公式得：第24页，本讲稿共26页1 1古典概型：古典概型：我们将具有：我们将具有：（1 1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）（2 2）每个基本事件出现的可能性相等）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）（等可能性）这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型.第25页，本讲稿共26页2 2古典概型计算任何事件的概率计算公式为：古典概型计算任何事件的概率计算公式为：3 3求某个随机事件求某个随机事件A A包含的基本事件的个数和实验中基本包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数时常用的方法是列举法，注意做到不重不漏事件的总数时常用的方法是列举法，注意做到不重不漏.第26页，本讲稿共26页