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1、数值计算方法 三次样条插值第1页，本讲稿共69页4.4.1 分段插值第2页，本讲稿共69页分段线性插值第3页，本讲稿共69页分段线性插值第4页，本讲稿共69页分段线性插值第5页，本讲稿共69页n缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在第6页，本讲稿共69页分段三次Hermite插值n上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。第7页，本讲稿共69页分段三次Hermite插值第8页，本讲稿共69页分段三次Hermite插值算法第9页，本讲稿共69页例题第10页，本讲稿共69页例题第11页，本讲稿共69页4.4
2、.2 三次样条插值第12页，本讲稿共69页三次样条插值第13页，本讲稿共69页三次样条插值第14页，本讲稿共69页三次样条插值第15页，本讲稿共69页三次样条插值第16页，本讲稿共69页三次样条插值第17页，本讲稿共69页三次样条插值第18页，本讲稿共69页三次样条插值第19页，本讲稿共69页第20页，本讲稿共69页三次样条插值第21页，本讲稿共69页三次样条插值第22页，本讲稿共69页三次样条插值第23页，本讲稿共69页三次样条插值第24页，本讲稿共69页例题n例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.97800 0.
3、91743 0.831600.73529第25页，本讲稿共69页n解 做差商表(P111),由于是等距离节点,第26页，本讲稿共69页n由第二类边界条件得第27页，本讲稿共69页n解方程得n将Mi代入式4.4.14)得第28页，本讲稿共69页由于 故 第29页，本讲稿共69页45 曲线拟合的最小二乘法n插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.第30页，本讲稿共69页4.5.1 最佳平方逼近n定义4.5.1 设 称 为函数 在区间a,b上的内积.其中
4、 为区间a,b上的权函数,且满足下面两个条件:第31页，本讲稿共69页容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.第32页，本讲稿共69页内积的性质第33页，本讲稿共69页函数的欧几里得范数n定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.第34页，本讲稿共69页函数的欧几里得范数性质第35页，本讲稿共69页线性相关的函数系n定义4.5.3 设函数 ,如果存在一组不全为零的数 使成立,则称函数系 是线性相关的,否则称 是线性无关的.第36页，本讲稿共69页线性相关的函数系的判定n定理4.5.1 函数 在区间a,b上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式第37
5、页，本讲稿共69页n不难证明 在R上线性无关.n定理4.5.1的等价说法是:函数系 线性无关的充分必要条件是Gramer行列式 .第38页，本讲稿共69页最佳平方逼近n定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关.记 为连续函数空Ca,b的子空间,如果存在元素 满足第39页，本讲稿共69页则称 为f(x)在 上的最佳平方逼近函数.且其中 是法方程唯一的一组解.第40页，本讲稿共69页n令 则误差为第41页，本讲稿共69页特例n取则法方程为其中第42页，本讲稿共69页例题n例4.5.1 设 求f(x)在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式.n解 设 由于第43页，本讲稿共69页n故法方程为解得第
6、44页，本讲稿共69页n平方误差为第45页，本讲稿共69页4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法n曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.第46页，本讲稿共69页n在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据:,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小.第47页，本讲稿共69页n设 是a,b上一组线性无关的连续函数系,令记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即第4
7、8页，本讲稿共69页达到极小值,这里 是a,b上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有第49页，本讲稿共69页n用向量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其矩阵的形式为第50页，本讲稿共69页n其中由于向量组 是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式 第51页，本讲稿共69页n故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函数f(x)的最小二乘解n其平方误差为第52页，本讲稿共69页特例第53页，本讲稿共69页例题n例4.5.2 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.0001
8、.2211.4921.8222.2262.718第54页，本讲稿共69页n解 由式(4.5.16)可得n解方程组得n所以拟合二次函数为第55页，本讲稿共69页n平方误差为第56页，本讲稿共69页n例4.5.3 地球温室效应问题n下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高第57页，本讲稿共69页年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.
9、0619800.3219300.08第58页，本讲稿共69页n解解 为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1(P119)第59页，本讲稿共69页n从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系n为决定参数,将上式改写成第60页，本讲稿共69页n记 则有n这是已知数据相应地变为如下表所示n1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19l
10、n24ln32第61页，本讲稿共69页n由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得解方程组得:第62页，本讲稿共69页n相应的t 与 n 的指数型拟合曲线关系为n就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求第63页，本讲稿共69页n以地球气温比1860年上升 为例,即以t=700代入上式可得:N(7)=2078(年)第64页，本讲稿共69页4.5.3 矛盾方程组的最小二乘解n设矛盾方程组n这里mn,记第65页，本讲稿共69页n则上式可简记为Ax=b.n矛盾方程组的最小二乘解x*是指满足第66页，本讲稿共69页n引理 设 则B为半正定对称方阵,当R(A)=n,则B是正定对称方程.若A的各列线性无关,则 是非奇异方阵.第67页，本讲稿共69页n定理4.5.2 设 且各列向量线性无关,则(1)矛盾方程组(4.5.19)的法方程组 恒有解;(2)设x*是法方程组 的解,则x*是矛盾方程组(4.5.19)的最小二乘解.第68页，本讲稿共69页n定理4.5.2指出:实验数据 的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方程组的最小二乘解.第69页，本讲稿共69页