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1、4.4 三次样条插值n前面我们根据区间a,b上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f (x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f (x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。4.4.1 分段插值2,)1,(, 1,)(,.,1 , 0,2010111jxujxuxxxjxuxuxxxfxxxnjyxjjjjjj取若，则外插也选若，即取，若计算机上实现。上的现性插值函数表示用则判断）已知（分段线性插值)/()()/()(,1111111111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxxyyxxyyxx
2、xxyxxxxyxxyyxuyuxux这是因为则线性插值函数为一般的，分段线性插值则如果做对于输入插值点做按输入算法：jiixumkniyxn1,2,.,j(2)u(1),.,2 , 1. 2),.,1 , 0(,. 1分段线性插值),()(.),()(),()()(,2)/()(11212101011110nnnjjjjjjxxxxIxxxxIxxxxIxIvuxxyyxuyv分段插值函数输出)/()(11111111jjjjjjjjjjjjjjjxxyyxxyyxxxxyxxxxI其中n缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在。足够小才能较好的逼近max11jjjnjxxhh分段三次H
3、ermite插值n上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。分段三次Hermite插值2221112122111111131)()()()()(21 ()()(21 ()()()()()()(,jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhxuxuuBhxuxuuBhxuhxuuAhxuhxuuAfxfxyxyxxHxxxHermite令时插值三次分段三次Hermite插值算法。输出则计算如果做对于输入插值点计算插值）；（输入算法：vufBfBfAfAvBBAAxunjunjffxjjjjjjjj
4、,. 3;,.,2 , 1)2(;) 1 (. 2,.,1 , 0,. 12112112121jjjjfBfByAyAv211211则例题222122222110) 1)(2()2)(1() 1)(32() 1)(2(21 ()2)(12()2)(1(21 (112, 2, 11)2(1) 1 (3)2(2) 1 (xxBxxBxxxxAxxxxAhxxHermiteffff则解：插值多项式。求满足条件的，设例例题5983) 1)(2()2)(1() 1)(32( 3)2)(12(2)(2322223xxxxxxxxxxxxH所以得4.4.2 三次样条插值的三次样条函数。对应于划分为区间则称有
5、连续的二阶导数）上在开区间（三次多项式；是不超过上在每个小区间）（满足条件如果函数：上给出一个划分，在区间，上的二次连续可微函数是区间设函数定义,)(,)(,) 3()(),.,2 , 1(,)2();,.2 , 1 , 0()()(1)(.,)(1110baxsxsbaxsnjxxnjxfxsxsbxxxxababaxfjjjjnn三次样条插值1,.,2 , 1)0()0()0()0()0()0() 1()2(,.,1 , 0)()(1.,.2 , 1),()()(,)(1231 njxsxsxsxsxsxsnnjxfxsdcbanjxxxdxcxbxaxsxsxxxsjjjjjjjjjjj
6、jjjjjjjjjj条件：内节点处连续及光滑性）；（）（为：为待定常数，插值条件其中上有表达式在每个子区间设三次样条函数三次样条插值nnnjjjjmxfxsmxfxsnnnjdcba)()()()(244,.2 , 1.,000已知两端点的一阶导数第一类以下三类：条件称为边界条件，有给出两个个，还缺两个，因此须而插值条件为个未知系数，即对于待定系数三次样条插值 )0()0()0()0()()(0)()()()(.0000000nnnnnnnxsxsxsxsxsxsMMMxfxsMxfxs第三类：周期边界条件时为自然边界条件当已知两端点二阶导数第二类：三次样条插值,)(,)(,)(),.2 ,
7、1 , 0()(!1111 iiiiiiiiiiiixxxxxMMxsxxxsxxxsniMxs项式，故有上是一次多在是三次多项式，所以上在。因为令条插值函数用三弯矩阵构造三次样三次样条插值) 1 ()(6261()()(! 3)(! 2)()()( ! 3)(! 2)()(! 3)()(! 2)()()()(111121121111311232iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiijiiiiiiiiixxMMxxyyxsxxMMxxMxxxsyyxxxxxxMMxxMxxxsyxxxsxxxsxxxsxsxsTaylor 解得得令展示有于是由三次样条插值iiiiiiiii
8、iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhxxhxxMMxxyyxxMMxxyyxsxxMMxxyyxsxx111111111111111111)(6162()(6261(21)()2()(6162()(,记）即（）连续，所以（因为上讨论得同理在三次样条插值),(6)(2),(6)2()2)2(61,)2(61,1111111111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxfxxfMhMhhMhxxfxxfhMMhMMhMMxxfhMMxxf也就是（即则上式为1,.2 , 1,62,62)(111111111111111nixx
9、xfMMMxxxfMhhhMMhhhhhxxxxxxiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii即得得两边同除三次样条插值,62)(6261()(0) 1 ()()()()(1001001010101000 xxxfMMxxMMxxyyxsixfxsxfxsnn既有得式中令第一类边界条件：三次样条插值,621,.,2 , 1,62,62,62)2(1111111001011nnnnniiiiiiiinnnnnxxxfMMnixxxfMMMxxxfMMxxxfMMni）（即有得式中令同理三次样条插值2,.,3 , 2,62,62,62)()(,)()(1122111110121021
10、1 00 0 niMxxxfMMxxxfMMMMxxxfMMMxfxsMxfxsnnnnnnnniiiiiiiinnn同理可得第二类边界条件三次样条插值1,.,3 , 2,62,62,2111111112101211nixxxfMMMxxxfMMMxxxfMMMnnnnnnniiiiiiiin三弯方程周期函数边界条件下的例题n例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.97800 0.91743 0.831600.73529。并计算函数三次样条)2 . 0(),(64879. 0)60. 0(, 0)0(sxsssn解
11、做差商表(P111),由于是等距离节点,21,214 , 3 , 2 , 115. 01111iiiiiiiiiiihhhhhhixxhn由第二类边界条件得01234215.866670.520.55.142600.520.53.367980.520.51.39740120.26880MMMMM n解方程得n将Mi代入式4.4.14)得08418. 0,43716. 0,13031. 1,77757. 1,04462. 243210MMMMM323232320.296721.022311,0,0.150.719181.212420.028510.99858,0.15,0.30( )0.7701
12、71.258310.042280.99720,0.30,0.450.579271.000590.073701.014610.45,0.60 xxxxxxxs xxxxxxxxx0.200.15,0.30由于 故 33(0.20)0.71918 0.21.21242 0.20.02851 0.2 0.99858 0.96154s45 曲线拟合的最小二乘法n插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.4.5.1 最佳平方逼近n定义4.5.1 设 称 为函数
13、 在区间a,b上的内积. 其中 为区间a,b上的权函数,且满足下面两个条件:( ), ( ) , ,f x g xC a bbaxxgxfxgfd)()()(),()(),(xgxf)(x,.2 , 1 , 0d)(2, 0)() 1 (ixxxxbabai存在，）（零点；并且最多只能有有限个上，在容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.内积的性质是等号成立。切当且仅当性质性质性质性质0, 0),(4);,(),(),(3;),(),(2);,(),(12121fffgfgfgffRgfgffggf函数的欧几里得范数n定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或
14、2范数.( ), ( ) , ,f x g xCab),(2fff函数的欧几里得范数性质。性质性质；时有，当且仅当性质22222223;20001gfgfRfffff线性相关的函数系n定义4.5.3 设函数 ,如果存在一组不全为零的数 使( ) , ,(0,1,2)kxC a bknk0011( )( )( )0nnxxx 成立,则称函数系 是线性相关的,否则称 是线性无关的.0( )nkx0( )nkx线性相关的函数系的判定n定理4.5.1 函数 在区间a,b上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式0( )nkx00010101110101( ,) ( , )( ,)( ,) ( , )
15、( ,)( , , ,)0( ,) ( , )( ,)nnnnnnnG n不难证明 在R上线性无关.n定理4.5.1的等价说法是:函数系 线性无关的充分必要条件是Gramer行列式 .( )(0,1,2, )kkxxkn0( )nkx01(,)0nG最佳平方逼近n定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关.记 为连续函数空Ca,b的子空间,如果存在元素 满足( ) , f xC a b( ) , (0,1,2, )kxC a b kn01,nSpan *0( )( )nkkksxx 22*2220infinf( ) ( )( )(4.5.5)nbkkasskfsfsxf xxdx 则称 为f
16、(x)在 上的最佳平方逼近函数.且其中 是法方程唯一的一组解.*( )sx*0()()nkkksxx *01,n 02( ) ( )( )( )0(0,1,2, )nbkkjakxf xxx dxjn n令 则误差为*( )( )f xsx2*22*20(,)(,)(,)( ,)(,)( ,)nkkkfsfsfsffs sf fsfff特例n取则法方程为其中( )(0,1,2, ),( )1, , 0,1kkxxknxa b001111121111(4.5.10)3221111221nnnnnnn10( )(0,1,2, )kjx f x dxkn例题n例4.5.1 设 求f(x)在区间0,1
17、上的一次最佳平方逼近多项式.n解 设 由于( ),0,1,xf xex01( )s xx11000(,)1xfe dxe 11110(,)1xfxe dx n故法方程为解得11e10312121101*4100.873127313,6(3)1.69030903( )0.873127313 1.69030903ees xxn平方误差为06277. 00039402234. 0)3(6) 1)(104(210211002222所以eeedxefx4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法n曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少
18、,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.n在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据: ,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小.),.2 , 1 , 0(),(miyxii)(.)()()(*1*10*0*xxxxsnnn设 是a,b上一组线性无关的连续函数系,令0( )nkx0011( )( )( )( )(4.5.11)nns xxxx 记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即( )(0,1,2 , )iiis xyim01,ni220120(,)()mniiiIx
19、( ) 0 x达到极小值,这里 是a,b上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有002()()()()0(0,1,2, )mnikkiijiikjIxxf xxjn n用向量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其矩阵的形式为0(,)(0,1,2, )njkkjkjn0000010111011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(4.5.14)(,)(,)(,)nnnnnnnn 01,nn其中0(,)()()()mjkijikiixxx),.2 , 1 , 0()()()(),(0njxxfxfijmiiijj由于向量组 是线性无关,故式(4.5.14)的系
20、数行列式 01,n01(,)0,nG n故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函数f(x)的最小二乘解n其平方误差为*01,n*0011( )( )( )( ),nnsxxxx TmkkkkTmnkkknkkkxxxyyyffff)(),.,(),(,),.,(),(10100*220*2222这里特例miniimiiimiinminiminiminiminimiimiiminimiimikkxyxyyxxxxxxxxnkxxx0001002010010200001),.,2 , 1 , 0()(1)(最小二乘的法方程为时，当例题n例4.5.2 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用
21、二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718iixiyn解 由式(4.5.16)可得n解方程组得n所以拟合二次函数为08612. 5433. 6479.105664. 18 . 12 . 28 . 12 . 232 . 2362100121.006321428,0.862589295,0.84241070421.0063214280.8625892950.842410704yxxn平方误差为01755.01007893.3242211002222所以fn例4.5.3 地球温室效应问题n下表统计了近10
22、0年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高7oC年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08Ct0Ct0n解解 为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5
23、.1 (P119)n从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系n为决定参数,将上式改写成ntelnlnttn记 则有n这是已知数据相应地变为如下表所示ln ,ln ,yt x n abbxayn1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32tylnn由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得解方程组得:116521.4509507865506164.2174248abab1.1436951080.307292969aeb所以,307292969. 0,1342
24、64343. 0ban相应的t 与 n 的指数型拟合曲线关系为n就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求0.3072929691.143695108teln( /1.143695108)/0.3072929661870 10ntNnn以地球气温比1860年上升 为例,即以t=700代入上式可得: N(7)=2078(年)7oC4.5.3 矛盾方程组的最小二乘解n设矛盾方程组n这里mn,记1 111 22112 112 22221122( 4 .5 .1 8 )nnnnmmm nnmxxxbxxxbxxxb1122(),ijm nnnxbxbAaxbxbn则上式可简记
25、为Ax=b.n矛盾方程组的最小二乘解x*是指满足22*22min AxbAxbn引理 设 则B为半正定对称方阵,当R(A)=n,则B是正定对称方程.若A的各列线性无关,则 是非奇异方阵.,m nTARBA ATBA An定理4.5.2 设 且各列向量线性无关,则(1)矛盾方程组(4.5.19)的法方程组 恒有解;(2)设x* 是法方程组 的解,则x* 是矛盾方程组(4.5.19)的最小二乘解.nmRATTA AxA bTTA AxA bn定理4.5.2指出:实验数据 的曲线拟合最小二乘法本质上就是矛盾方程组的最小二乘解.),.2 , 1 , 0(),(miyxii00011000001111110011()()()()()()(4.5.17)()()()nnnnmmnnmmxxxyxxxyxxxy