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1、第第1 1章电磁波章电磁波第1页，此课件共92页哦 第第1 1章章 矢量分析矢量分析第2页，此课件共92页哦 矢量代数矢量代数1.1矢量场的散度矢量场的散度1.2矢量场的旋度矢量场的旋度1.3标量场的梯度标量场的梯度1.4亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.5常用坐标系常用坐标系 1.6第3页，此课件共92页哦 如果在空间的一个区域中，每一点都如果在空间的一个区域中，每一点都有一个物理量的确定值与之对应，有一个物理量的确定值与之对应，则在这则在这个区域中就构成了该物理量的场。场的一个区域中就构成了该物理量的场。场的一个重要属性是它占有一个空间，它把物理个重要属性是它占有一个空间，它把物理量用空间和时间
2、的数学函数来描述。量用空间和时间的数学函数来描述。标量标量场在数学上只用一个代数变量描述，只有场在数学上只用一个代数变量描述，只有大小，没有方向。大小，没有方向。矢量场不仅需要定出大矢量场不仅需要定出大小，而且需要定出方向。见书小，而且需要定出方向。见书P1P1页页第4页，此课件共92页哦 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。例如,在直角坐标下,标量场标量场如温度场如温度场,电位场电位场,高度场等高度场等;第5页，此课件共92页哦矢量场矢量场如速度场如速度场,电场、磁场等电场、磁场等.空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随
3、空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。第6页，此课件共92页哦1.1 1.1 矢矢 量量 代代 数数 矢量既有大小，又有方向。矢量矢量既有大小，又有方向。矢量 A A 可以表示为可以表示为 A =e A =e A AA A，其中其中 A A 表示表示矢量矢量 A A 的大小，的大小，e eA A表示矢量表示矢量 A A 的方的方向。向。第7页，此课件共92页哦 A=exAx+eyAy+ezAz (1.1)(1.1)由式由式(1.1)(1.1)可以看出，一个矢量场对应可以看出，一个矢量场对应三个标量场。三个标量场。第8页，此课件共92页哦 1.1.1 1.1.1 矢量
4、的加法和减法矢量的加法和减法 两个矢量相加，等于两个矢量相应的两个矢量相加，等于两个矢量相应的分量分别相加，它们的和还是一个矢量。分量分别相加，它们的和还是一个矢量。如图如图1.1(b)1.1(b)所示。所示。A+B=ex(Ax+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz)(1.4)第9页，此课件共92页哦 两个矢量相减，等于两个矢量相应的两个矢量相减，等于两个矢量相应的分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。如图如图1.1(c)所示。所示。A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz)(1.5)第10页，此课件共92页哦
5、 图图图图1.1 1.1 1.1 1.1 矢量加减法矢量加减法矢量加减法矢量加减法第11页，此课件共92页哦 1.1.2 1.1.2 标量与矢量相乘标量与矢量相乘 标量标量k k与矢量与矢量A A相乘，结果是相乘，结果是A A的方向未的方向未变，大小改变了变，大小改变了k k倍，倍，kA=eAkA=exkAx+eykAy+ezkAz (1.6)第12页，此课件共92页哦 1.1.3 矢量的点积矢量的点积 矢量矢量A A与矢量与矢量B B的点积，写成的点积，写成A B A B，它的结果是一个标量，其大小等于两个矢它的结果是一个标量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角量的大小与它们夹角余弦的乘积，
6、如图余弦的乘积，如图1.21.2所示，表示为所示，表示为 A B =AB cos (1.7a)AB=AxBx+AyBy+AzBz (1.7b)第13页，此课件共92页哦 图图1.2 点积的图示点积的图示第14页，此课件共92页哦 1.1.4 1.1.4 矢量的叉积矢量的叉积 矢量矢量 A A 矢量矢量 B B 的叉积，写成的叉积，写成 AB AB ，它的结果是一个矢量，其大小等于两个，它的结果是一个矢量，其大小等于两个矢量的大小与它们夹角矢量的大小与它们夹角正弦的乘积，其正弦的乘积，其方向垂直于矢量方向垂直于矢量 A A 与矢量与矢量 B B 组成的平面组成的平面(符合右手螺旋法则符合右手螺旋
7、法则)，如图，如图1.31.3所示，表示所示，表示为为 AB =enAB sin (1.8a)第15页，此课件共92页哦 图图1.3 叉积的图示及右手螺旋叉积的图示及右手螺旋第16页，此课件共92页哦 ex ey ez AB=Ax Ay Az (1.8c)(1.8c)Bx By Az第17页，此课件共92页哦 例例1.1 1.1 已知已知A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,求求:（1 1）A B;(2)AA B;(2)A与与B B的夹角的夹角;(3)A;(3)AB B。解（解（1 1）A B=AxBx+AyBy+AzB
8、z=32+4+4+27=36第18页，此课件共92页哦 (2)A B 36cos=0.80 A B 32+42+22 22+42+72 第19页，此课件共92页哦 (3)ex ey ez AB=Ax Ay Az Bx By Az第20页，此课件共92页哦 =ex(4724)+ey(22 37)+ez(34 42)=ex20 ey17 +ez4第21页，此课件共92页哦1.2 1.2 矢量场的散度矢量场的散度 1.2.1 1.2.1 矢量场的矢量线矢量场的矢量线 矢量场矢量场A A可以用画图的方式描述，称为可以用画图的方式描述，称为矢量场的矢量线（也叫做力线、流线、通矢量场的矢量线（也叫做力线、
9、流线、通量线等）图。矢量线图上每一点处的切线量线等）图。矢量线图上每一点处的切线应当是该点矢量场的方向，如图应当是该点矢量场的方向，如图1.41.4（a a）所示。所示。第22页，此课件共92页哦 图图1.4 1.4 矢量场的矢量线图矢量场的矢量线图第23页，此课件共92页哦矢量线性质：矢量线性质：线上任一点线上任一点P的切向就是该点上场矢量的切向就是该点上场矢量A(P)的方向。的方向。第24页，此课件共92页哦 1.2.2 1.2.2 矢量场的通量矢量场的通量 矢量场的通量即为垂直于矢量场的单矢量场的通量即为垂直于矢量场的单位表面矢量线所穿过位表面矢量线所穿过 的数目。的数目。面元矢量面元矢
10、量dS定义为定义为 dS=en dS (1.12)第25页，此课件共92页哦 图图1.5 矢量的通量图矢量的通量图第26页，此课件共92页哦 n的取向有两种情形：一种是面元的取向有两种情形：一种是面元dS 为开表面，这个开表面由一条闭合曲线为开表面，这个开表面由一条闭合曲线C围成，选择围成，选择C的环行方向后，按右手螺旋的环行方向后，按右手螺旋法则，螺旋前进的方向为法则，螺旋前进的方向为en的方向；另一的方向；另一种是面元种是面元dS为闭合面上的一个面元，则为闭合面上的一个面元，则en 取闭合面的外法线方向。取闭合面的外法线方向。第27页，此课件共92页哦通量通量 矢量场的通量 若若S S 为
11、闭合曲面为闭合曲面 定义矢量定义矢量 A A 沿有向曲面沿有向曲面S S 的面积分的面积分为矢量为矢量 A A 沿有向曲面沿有向曲面S S 的通量的通量如果要知道矢量场如果要知道矢量场 A A的面的面S S内的源，只需要计算通内的源，只需要计算通量量 第28页，此课件共92页哦 散度的定义：设有矢量场散度的定义：设有矢量场A，在场中任一，在场中任一点点P处作一个包含该点的闭合面处作一个包含该点的闭合面S，设闭，设闭合面合面S所包围的体积为所包围的体积为 。当体积。当体积 以以任意方式缩向点任意方式缩向点P时，每单位体积由闭时，每单位体积由闭合面合面S向外穿出的净通量为矢量场向外穿出的净通量为矢
12、量场A在在该点的散度，即该点的散度，即 1.2.3 1.2.3 矢量场的散度矢量场的散度第29页，此课件共92页哦 (1.16)第30页，此课件共92页哦 于是得到于是得到A的散度在直角坐标系中的计的散度在直角坐标系中的计算公式为算公式为 (1.17)第31页，此课件共92页哦 为了方便，我们引入一个矢量微分算为了方便，我们引入一个矢量微分算子，称为哈密顿算子，它在直角坐标系表子，称为哈密顿算子，它在直角坐标系表示为示为 (1.18)第32页，此课件共92页哦 (1.19)第33页，此课件共92页哦 例例.已知矢量场已知矢量场 求：（求：（1）（2）计算通量。积分区域为闭）计算通量。积分区域为
13、闭合面合面，为一个球心在原点、半径为为一个球心在原点、半径为 的球面。的球面。第34页，此课件共92页哦 解解 （1）（2）的方向与的方向相同，所以有：的方向与的方向相同，所以有：第35页，此课件共92页哦散度的物理意义散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性散度代表矢量场的通量源的分布特性 A A =0 0(无源无源）A A =0 0(负负源源)A A =0 0 (正源正源)在矢量场中，若在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称之为有源场，称为称为(通量通量)源密度；若矢量场中处处源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
14、矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；第36页，此课件共92页哦 在矢量场中，若在矢量场中，若 A=A=0 0，称之为有源场，称之为有源场，称为称为(通量通量)源密度；源密度；若矢量场中处处若矢量场中处处 A=0 A=0，称之为无源场。，称之为无源场。A A =0 0(无源无源）A A =0 0(负负源源)A A =0 0 (正源正源)第37页，此课件共92页哦 1.2.41.2.4散度定理散度定理 散度定理也称高斯散度定理，表示为散度定理也称高斯散度定理，表示为 (1.20)式中积分区域式中积分区域 为闭合面为闭合面S所包围的体所包围的体积，并假设积，并假设A及其一阶导数连续。及其一阶导
15、数连续。第38页，此课件共92页哦高斯公式高斯公式(散度定理散度定理)n1=-n2n1n2 对于有限大体对于有限大体积积v v，可将其按如可将其按如图方式进行分割，图方式进行分割，对每一小体积元有对每一小体积元有第39页，此课件共92页哦n1=-n2n1n2高斯公式高斯公式式中式中s s为为v v的外表面的外表面该公式表明了区域该公式表明了区域V V 中场中场A A与边界与边界S S上的场上的场A A之间的关系。之间的关系。高斯公式高斯公式(散度定理散度定理)第40页，此课件共92页哦 例例1.3 1.3 已知已知 现有一个边长为现有一个边长为1 1的单位立方体，它的一的单位立方体，它的一个顶
16、点在原点，如图个顶点在原点，如图1.71.7所示。所示。第41页，此课件共92页哦 图图1.7 1.7 例例1.31.3图图 第42页，此课件共92页哦 求：求：（1）矢量场的散度；）矢量场的散度；（2）计算通量）计算通量 ，积分区域为如，积分区域为如图所示的单位立方体；图所示的单位立方体；（3）验证高斯散度定理。）验证高斯散度定理。第43页，此课件共92页哦 解解 （1）第44页，此课件共92页哦 （2）A从单位立方体内穿出的通量为从单位立方体内穿出的通量为 分三对面分别计算。分三对面分别计算。第45页，此课件共92页哦 第46页，此课件共92页哦 （3）因此，因此，高斯散度定理成立。高斯散
17、度定理成立。第47页，此课件共92页哦1.3 1.3 矢量场的旋度矢量场的旋度 1.3.1 1.3.1 矢量场的环流矢量场的环流 设某矢量场设某矢量场A绕着场中某闭合路径绕着场中某闭合路径C的的线积分为线积分为 (1.21)上述线积分称为该矢量场上述线积分称为该矢量场A的环流。的环流。第48页，此课件共92页哦 称为线元矢量，线元矢量既有大小，称为线元矢量，线元矢量既有大小，也有方向。也有方向。第49页，此课件共92页哦 矢量场的环流与矢量场的通量一样是描述矢量矢量场的环流与矢量场的通量一样是描述矢量场性质的量。如果场性质的量。如果 ，则在，则在C内必内必然有产生场然有产生场A的漩涡场；如果的
18、漩涡场；如果 在在C内没有产生场内没有产生场A的漩的漩涡场。涡场。第50页，此课件共92页哦环流环流定义矢量定义矢量A A沿空间有向闭合曲线沿空间有向闭合曲线C C 的线积分的线积分为为A A的的环流环流 环流的计算1.3.21.3.2矢量场的旋度矢量场的旋度1.1.环流密度环流密度 过点过点P P作一微小曲面作一微小曲面 S S,它的边界曲线记为它的边界曲线记为C C,面的法线面的法线方与曲线绕向成右手螺旋关系。当方与曲线绕向成右手螺旋关系。当 S S收缩至收缩至P P点附近点附近时时,存在存在极限极限第51页，此课件共92页哦 该极限值与该极限值与 S S的形状无关，但与的形状无关，但与
19、S S的方向的方向n n有关。有关。称为称为矢量场矢量场A A在在P P点沿点沿n n方向的方向的环流密度环流密度2.2.旋度旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用方向为最大环量密度的方向。用 表示表示它与环流密度的关系为它与环流密度的关系为第52页，此课件共92页哦 A的旋度，记为的旋度，记为 或或 。(1.22)式中式中 为矢量为矢量 在面元矢量上在面元矢量上的投影，如图的投影，如图1.8所示。所示。第53页，此课件共92页哦 图图1.8 1.8 在面元上的投影在面元上的投影 第54页，此课件共92页哦在直角坐
20、标系下在直角坐标系下三、旋度的物理意义三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。点点P P的旋度的大小是该点环流密度的最大值。的旋度的大小是该点环流密度的最大值。点点P P的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。2.2.旋度旋度第55页，此课件共92页哦 (1.24)旋度有一个重要的性质，就是它的散旋度有一个重要的性质，就是它的散度恒等于度恒等于0。(1.25)第56页，此课件共92页哦 1.3.31.3.3斯托克斯定理斯托克斯定理 在矢量分析中，除散度定理外，另一在矢量分析中，除散度定理外，另一个重
21、要的定理是斯托克斯定理，即个重要的定理是斯托克斯定理，即 (1.26)式中积分区域面式中积分区域面S的外围线为的外围线为C。第57页，此课件共92页哦斯托克斯定理斯托克斯定理由旋度的定义由旋度的定义 对于有限大面积对于有限大面积s s，可将其可将其按如图方式进行分割，对每按如图方式进行分割，对每一小面积元有一小面积元有第58页，此课件共92页哦斯托克斯定理斯托克斯定理第59页，此课件共92页哦 例例1.4 1.4 已知已知 。现有。现有一个在一个在 面内的闭合路径面内的闭合路径C C，此闭合路，此闭合路径由径由 和和 之间的一段抛物线之间的一段抛物线 和两段平行于坐标轴的直线组成，和两段平行于
22、坐标轴的直线组成，如图如图1.91.9所示。所示。第60页，此课件共92页哦 图图1.9 1.9 例例1.41.4图图第61页，此课件共92页哦 求：求：（1）矢量场的）矢量场的A旋度；旋度；（2）计算环流）计算环流 。积分区域为。积分区域为如图所示的闭合路径如图所示的闭合路径C；（3）验证斯托克斯定理。）验证斯托克斯定理。第62页，此课件共92页哦 解解 （1）第63页，此课件共92页哦 （2）第64页，此课件共92页哦 （3）斯托克斯定理成立。斯托克斯定理成立。第65页，此课件共92页哦1.4 1.4 标量场的梯度标量场的梯度 标量场是仅用大小就能完全表征的场。标量场是仅用大小就能完全表征
23、的场。为了研究标量场的空间分布和变化规律，为了研究标量场的空间分布和变化规律，引入等值面、梯度和方向导数的概念。引入等值面、梯度和方向导数的概念。第66页，此课件共92页哦 1.4.11.4.1标量场的等值面标量场的等值面 等值面就是标量函数等值面就是标量函数 相等的相等的点构成的曲面，如图点构成的曲面，如图1.10（a）所示。等值）所示。等值面画在二维平面上就成为等值线，例如在面画在二维平面上就成为等值线，例如在地图上的等高线就是等值线，如图地图上的等高线就是等值线，如图1.10（b）所示。所示。第67页，此课件共92页哦 图图1.101.10标量场图标量场图第68页，此课件共92页哦 1.
24、4.2 1.4.2 方向性导数与梯度方向性导数与梯度等值面等值面：标量场中量值相等的点构成的面。：标量场中量值相等的点构成的面。方向性导数方向性导数：考虑标量场中两个等值面考虑标量场中两个等值面 定义标量函数定义标量函数 沿给定方向沿给定方向 的方向的变化率的方向的变化率第69页，此课件共92页哦为标量场为标量场 在在P P点沿点沿 方向的方向的方向性导数。方向性导数。其大小与方向其大小与方向 有关。有关。第70页，此课件共92页哦梯度梯度:由方向性导数的定义可知：沿等值面法线由方向性导数的定义可知：沿等值面法线 的方向的方向性导数最大。性导数最大。故故标量场标量场 在在P P点的梯度是一个矢
25、量点的梯度是一个矢量大小：最大方向性导数大小：最大方向性导数方向：最大方向性导数所在的方向方向：最大方向性导数所在的方向第71页，此课件共92页哦 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.标量场u中每一点P处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(P)增大的方向。即梯度就是该等值面的法向矢量。梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数;梯度的性质梯度的性质:第72页，此课件共92页哦例 电位场的梯度 与过该点的等位线垂直；指向电位增加的方向。数值等于该点的最大方向导数；图2.2.2
26、电位场的梯度第73页，此课件共92页哦梯度梯度(gradient)(gradient)哈密顿算子哈密顿算子式中梯度的计算公式梯度的计算公式:第74页，此课件共92页哦 例例1.5 1.5 已知标量场已知标量场 。求空间一点求空间一点A A（1,0,11,0,1）的梯度和）的梯度和沿方向沿方向 的方向导数。的方向导数。第75页，此课件共92页哦 解解 由梯度公式由梯度公式(1.28)有有第76页，此课件共92页哦 方向的单位矢量为方向的单位矢量为 第77页，此课件共92页哦 故沿故沿 方向的方向导数为方向的方向导数为第78页，此课件共92页哦 梯度有一个重要的性质，就是它的旋度恒梯度有一个重要的
27、性质，就是它的旋度恒等于等于0。(1.30)在直角坐标系中在直角坐标系中 u的拉普拉斯为的拉普拉斯为 (1.31)第79页，此课件共92页哦 1.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在空间有限区域内有在空间有限区域内有一矢量场一矢量场F F，若已知它的散度、旋度和边界，若已知它的散度、旋度和边界条件，则该矢量场就唯一确定了。换言之，条件，则该矢量场就唯一确定了。换言之，一个矢量场所具有的特性完全由它的散度一个矢量场所具有的特性完全由它的散度和旋度确定。和旋度确定。第80页，此课件共92页哦 如果一个矢量场的旋度为如果一个矢量场的旋度为0 0，则称为无，则称为无旋场；
28、如果一个矢量场的散度为旋场；如果一个矢量场的散度为0 0，则称为，则称为无散场。无散场。矢量场的散度对应标量源，称为发散矢量场的散度对应标量源，称为发散源；矢量场的旋度对应矢量源，称为旋涡源；矢量场的旋度对应矢量源，称为旋涡源。源。对于一个无旋场，可以表示为一个标对于一个无旋场，可以表示为一个标量场的梯度，这一原则将标量场与矢量场量场的梯度，这一原则将标量场与矢量场联系了起来。联系了起来。第81页，此课件共92页哦1.6 1.6 常用坐标系常用坐标系 1.6.11.6.1直角坐标系直角坐标系 （1.35）（1.36）第82页，此课件共92页哦 （1.37）（1.38）第83页，此课件共92页哦
29、 1.6.2 1.6.2 圆柱坐标系圆柱坐标系图图1.15 1.15 圆柱坐标系圆柱坐标系第84页，此课件共92页哦 （1.47）（1.48）（1.49）第85页，此课件共92页哦 （1.50）（1.51）第86页，此课件共92页哦 (1.53)(1.55)第87页，此课件共92页哦 1.6.3 1.6.3 球坐标系球坐标系 图图1.18 1.18 球坐标系球坐标系 第88页，此课件共92页哦 （1.63）（1.64）（1.65）（1.66）第89页，此课件共92页哦补充补充1 1习题习题第90页，此课件共92页哦补充补充2 2第一章第一章 习题习题第91页，此课件共92页哦补充补充3 3第一章第一章 习题习题第92页，此课件共92页哦