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1、 1 第第 13 章章 虚位移原理及虚位移原理及拉格朗日方程拉格朗日方程 13-2 在题 13-2 图示机构中，已知 FB200N，60，30，刚度系数 k10N/cm 的弹簧在图示位置的总压缩量4cm，试求使该机构在图示位置保持平衡的力 FA的大小。 （1） （2） 题 13-2 图 解：解除弹簧约束，以弹性力 F 代替，设机构发生虚位移，由虚位移原理 0sin0 BBAACF rFrFrFW (a) 3 3 tg 2 DA DB r r rrkF A B CA 代入(a)式，由于0 A r，解得 kFF BA 2 1 3 3 3 2 110.2 N A F B F F A l D B b
2、b k O rC rA rB A F B F C 2 13-5 在题 13-5 图所示系统中，弹簧 AB、BC 的刚度系数均为 k，除连接 C 点的二杆长 度为 l 外，其余各杆长度均为 2l。各杆的自重可以忽略。未加力 F 时，弹簧不受力， 0。 试求加力 F 后的平衡位置所对应的值。 （1） （2） 题 13-5 图 解：设机构发生虚位移，解除弹簧，以弹性力 F 代替，采用变分法，取为广义坐标 cos5sin5 cos3sin3 cossin lxlx lxlx lxlx CC BB AA 由虚位移原理的解析表达式 0)(zFyFxF ziyixi 0 1111 CBBAC xFxFxFx
3、FxF 即 0)( 1 CAC xxFxF 0)cos5cos(cos5 1 llFlF 由于0，所以 045 1 FF 解得 FF 4 5 1 由于 )sin2sin2( 01 llkF 所以 0 sin 8 5 sin kl F 解得 0 sin 8 5 arcsin kl F F xC xA xB y O C B A F1 F1 F1 F1 F x 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 3 13-8 机构如题 13-8 图所示，曲柄 OA 上作用一矩为 M 的力偶，在滑块 D 上作用水平 力 F。求当机构平衡肘，力 F 与力偶矩 M 的关系。
4、 题 13-8 图 解 设 OA 杆的虚位移为，则 A、B、C 各点虚位移如图所示，由虚功方程 0 F W 0 D rFM 几何关系 arA cos2sin cos2cos DB AB rr rr 代入虚功方程，0，解得 2tanFaM F 4 13-12 在图示静定连续梁中，F15kN，F24kN，F33kN，力偶矩 M2kNm。求 固定端 A 的约束力和约束力偶。 (1) （2） （3） （4） 题 13-12 图 解：研究连续梁，解除 A 端约束，以约束力 FAx、FAy、MA、代替。 设发生虚位移xA，而0 A y 由虚位移原理 00 AAxF xFW 由于xA0，所以 FAx0 设发
5、生虚位移0, AA xy而 1 F 2 F 3 F MA A 1m 1m C B D M F1 F2 F3 y1 yC y2 yD Ax F Ay F M F1 F2 F3 xD xC xA MA XA B YA Ay F Ax F YA XA F1 F2 F3 B D M C A MA y1 yA y2 yD Ax F Ay F 5 由虚位移原理 00 32211 MyFyFyFyFW DAAyF 几何关系 33 1 21 A ADAA y yyyyyy 代入虚功方程 0 33 1 321 AAy y M FFFF 由于0 A y，解得 4 3 3 3 5 33 3 2 1 M F F FF
6、Ay kN 设发生虚位移，而0 AA yx，由虚位移原理 00 32211 MyFyFyFMW DAF 几何关系 CC yyy 3 2 3 1 CDC yyyy 3 1 2 代入上式 032 321 MFFFMA 由于0，解得 732 321 MFFFM A kNm 13-16 杆 AB 与 CD 由铰链 C 联结，并由铰链支座 A、D 固定，如题 13-16 图所示。 在 AB 杆上作用一铅直力 F，在 CD 杆上作用一力偶 M，不计杆重，求支座 D 的约束力。 题 13-16 图 F B y Dx F F C y 6 解：解除 D 点 x 方向的约束，用约束力 FDx代替。设机构发生虚位移
7、，由虚位移原理 00 BDDxF yFMxFW 由于 C为 CD 杆瞬心 bydx CD 而 AB 杆绕 A 点转动，所以，几何关系为 byy CB 2 3 2 3 代入虚功方程 0 2 3 bFMdFDx 由于0，解得 d FbM FDx 2 32 解除 D 点 y 方向的约束，用约束力 FDy代替，设机构发生虚位移，由虚位移原理 00 BDDyF yFyFW 由于 DC 杆平移，所以 DCBDC yyyyy 2 3 2 3 代入虚功方程 0 2 3 DDy yFF 由于0 D y，得 FFDy5 . 1 13-18 图示桁架中，ADDB6m，CD3m，节点 D 的载荷为 F。求杆 3 的内
8、力。 （1） （2） 题 13-18 图 解：解除杆 3 的约束，用约束力 S3代替，设系统发生虚位移，如图所示，由虚位移原 理 00 3 DBF rFrSW 因为 CB 杆作平面运动，O 为瞬心， F A Dy F A 2 D B 4 O rD rB S3 S3 F rC 5 C 7 OC OB r r C B 由几何关系 5 2 53 6 5 2 53 6 5362 AC AD r r AD AC r r r r ACOCCDOB C D D D C B 代入虚功方程得 0 5 2 5 2 3 C rFS 由于0 C r，解得 FS 3 13-22 题 13-22 图所示一升降机的简图，被
9、提升的物体 A 重为 FP1,平衡锤 B 重为 FP2； 带轮 C 及 D 重均为 FP3，半径均为 r，可视为均质圆柱。设电机作用于轮 C 的转矩为 M，胶 带的质量不计，求重物 A 的加速度。 题 13-22 图 解：设物块 A 的加速度为 a，则各运动物体上的惯性力为 D PP IMMa g F Fa g F F 2I1I 2 I2 1 I1 , 其中 23 2 1 r g F I r a P D 设系统发生虚位移r，由虚位移原理 00 I22IP21II11 MMrFrFMrFrFW PF 其中 rr 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
10、8 代入方程得 0) 111 ( I22IP21II11 r r M r MFF r MFFP 由于r 0，所以 0 111 I22IP21 II11 r M r MFF r MFFP 解得 g rFFF rFFM a PPP PP A )( )( 321 12 13-24 题 13-24 图所示，吊索一端绕在鼓轮上，另一端绕过滑轮系于重gm1的平 台 A 上，鼓轮半径为 r、重为gm2，电动机给鼓轮的转矩为 M，试求平台上升的加速度。 设鼓轮可看作均质圆盘，滑轮的质量可以不计。 （1） （2） 题 13-24 图 解：设平台上升的加速度为 a，则各运动物体的惯性力为 m2g A FI1 MI M rQ FI2 gm1 a 9 IMamFamF I22I11I 由虚位移原理 0)(0 2I1I12I QF rFFgmgmMMW 其中 2 2 2 1 2 1 2 1 rmIrrra Q 代入虚功方程 0 2 12 2 1 2112 2 2 ramamgmgm r a rmM 0 2 1 21122 ramamgmgmramM 由于0，所以 0 2 1 21122 ramamgmgmramM 解得 rmm rgmgmM a )3( )(2 12 21