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1、第三章 可逆矩阵 第二讲第1页，共17页，编辑于2022年，星期二 设A为mn矩阵，当R(A)=m时，称A为行满秩矩阵；当R(A)=n时，称A为列满秩矩阵。若A为n阶方阵，且R(A)=n，则称A为满秩矩阵。它既是行满秩矩阵，又是列满秩矩阵。显然，方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵。若A为n阶方阵，且R(A)n，则称A为降秩矩阵。由此方阵A不可逆的充分必要条件是A为降秩矩阵。非奇异矩阵又称为满秩矩阵，而奇异矩阵又称为降秩矩阵。例如例如 显然，A 为满秩矩阵，而 B 则为降秩矩阵。第2页，共17页，编辑于2022年，星期二例例1 求下列矩阵的秩 解解 在A中，容易看出：一个2阶子式 ，A的3阶
2、子式只有一个|A|，经计算可知A,因此R（A）.第3页，共17页，编辑于2022年，星期二 由于B是一个阶梯形矩阵，其非零行有行，故可知B的所有阶子式全为零。而以三个非零行的第一个非零元素为对角元的阶行列式因此（B）。第4页，共17页，编辑于2022年，星期二 3.2 矩阵秩的有关定理矩阵秩的有关定理 定理3.1 对矩阵施行初等变换，其秩不变。推论3.1 等价矩阵有相同的秩。推论3.2 设A为mn矩阵,P是m阶可逆矩阵,Q是n阶可逆矩阵,则R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ).第5页，共17页，编辑于2022年，星期二 定理定理3.2 对行满秩矩阵Amn，必有列满秩矩阵B n m，使
3、AB=E.证明证明 当m=n时，定理显然成立。所以只需考虑m n的情况。由R(A)=m，知A中存在m个列，由它们构成的m阶子式|A1|0。A经过适当的列的换法变换可使A1位于A的前m列。即有n阶的可逆矩阵P，使AP=(A1,A2)其中A1为m阶的可逆矩阵。令则显然R(B)=R(A1-1)。于是B为列满秩矩阵，且有第6页，共17页，编辑于2022年，星期二 3.3 矩阵秩的求法矩阵秩的求法 例例2设求矩阵的秩 解解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：第7页，共17页，编辑于2022年，星期二 因为阶梯形矩阵有3个非零行，所以 R(B)=3。从而R(A)=3。第8页，共17页，编辑于2022年，
4、星期二 例例例例3 3 设求矩阵A及矩阵B=（A|b）的秩。解解 对矩阵B施以初等行变换第9页，共17页，编辑于2022年，星期二因此，R(A)=2,R(B)=3.第10页，共17页，编辑于2022年，星期二 例例4 设Amn、Bnp，试证R(AB)R(A)+R(B)-n。证明证明 设R(A)=r，则存在m、n阶的可逆矩阵P和Q，使得 将矩阵分块为其中，B1是r p 矩阵，B2是(n-r)p 矩阵。由于所以第11页，共17页，编辑于2022年，星期二注意B1是Q-1B去掉n-r行得到的矩阵，而矩阵每去掉一行其秩减1或不变，因此 R(B1)R(Q-1B)-(n-r)=R(B)-(n-r)。从而
5、R(AB)r+R(B)-n。即 R(AB)R(A)+R(B)-n。显然，在上式中当AB=O时，有公式R(A)+R(B)n。第12页，共17页，编辑于2022年，星期二 例例5 设A为n阶方阵(n 2)，A*是A的伴随矩阵，试证1）当R(A)=n时，R(A*)=n;2）当R(A)=n-1时，R(A*)=1;3）当R(A)n-1时，R(A*)=0。证明证明 1）当R(A)=n时,即A为满秩矩阵,所以|A*|=|A|n-1 0,从而R(A*)=n。2）当R(A)=n-1时，|A|=0，所以A A*=|A|E=O。由R(A)+R(A*)n，得R(A*)1。又由R(A)=n-1知，A中至少有一个元素的代数余子式不等于零，即A*是非零矩阵，从而R(A*)1，故R(A*)=1。3）当R(A)n-1时，A的每一个n-1阶子式都为零，因而A的所有元素的代数余子式均为零，即A*是零矩阵，故R(A*)=0。第13页，共17页，编辑于2022年，星期二例例6 设若秩R(AB+B)=2，求a。解解 因为 AB+B=(A+E)B第14页，共17页，编辑于2022年，星期二将所得的矩阵施以初等变换得第15页，共17页，编辑于2022年，星期二 由于R(AB+B)=2，所以12a 0。故 a=12。第16页，共17页，编辑于2022年，星期二第17页，共17页，编辑于2022年，星期二