第二章-波函数ppt课件.ppt

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1、第一章第一章 复习复习 n n量子力学的诞生量子力学的诞生1 1 四大力学：牛顿力学、热力学、电动力学、量子四大力学：牛顿力学、热力学、电动力学、量子2 2 两个理论：相对论和量子论两个理论：相对论和量子论3 3 四个实验：四个实验：(1)(1)黑体辐射黑体辐射 普朗克公式：普朗克公式：普朗克的能量子假说：普朗克的能量子假说：=h =h (2)(2)光电效应光电效应 Einstein Einstein光量子假说：光量子假说：=h (=h (光子光子)由由 可知，光子的频率不小于阈值才有可知，光子的频率不小于阈值才有 光子发射。光子发射。(3)(3)原子光谱原子光谱 原子只有在两个定态间跃迁时才

2、发射或吸收电磁波原子只有在两个定态间跃迁时才发射或吸收电磁波 Em-En=h Em-En=h能量量子化，轨道角动量的量子化条件能量量子化，轨道角动量的量子化条件(4)Compton(4)Compton 散射散射 光子与电子的碰撞，动量能量守恒光子与电子的碰撞，动量能量守恒 光的粒子性的实验证实光的粒子性的实验证实outline黑体辐射Planck假设光电效应Einstein假说 Compton散射光的粒子性 光子光子Bohr理论能量量子化 能量非连续性光光的的波波粒粒二二象象性性第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程1 1德布罗意假设德布罗意假设2 2薛定谔方程薛定谔方程3 3波函

3、数的统计解释波函数的统计解释4 4粒子数守恒粒子数守恒5 5态的叠加原理态的叠加原理6 6不确定关系不确定关系(测不准测不准)一一 物质波的提出物质波的提出 matter wave一个能量为一个能量为E E,动量为动量为 P P 的实物粒子同时具有波动性的实物粒子同时具有波动性,且有且有:德布罗意关系式德布罗意关系式De Broglie relation De Broglie relation 与粒子相联系的波称为物质波，或德布罗意波。德布罗意波长估算自由电子的波长估算自由电子的波长:设电子动能由设电子动能由U伏电压加速产生伏电压加速产生()若若 U=100伏伏 =1.225 X射线波段射线波

4、段若若 U=150伏伏 =1若若 U=1000伏伏 =0.122(1)(1)微观粒子德布罗意波长的计算微观粒子德布罗意波长的计算（2 2）经典粒子德布罗意波长的估算）经典粒子德布罗意波长的估算例1 质量m=0.01kg，速度V=300m/s的子弹的德布罗意波长为 因普朗克常数极其微小，子弹的波长小到实验难以测量的程度(其它经典粒子，例如足球的波长也是如此)，它们只表现出粒子性，并不是说没有波动性。设有一个体重为m=50kg的短跑运动员，以速度V=10m/s作运动，求其相应的德布罗意波长。n 微观粒子有二象性：既有粒子性，又有波动性；微观粒子有二象性：既有粒子性，又有波动性；n 微观粒子的状态用

5、波函数微观粒子的状态用波函数 描述；描述；n 微观粒子在不同的条件下，应该有不同的状态微观粒子在不同的条件下，应该有不同的状态例如，电子例如，电子在氢原子中时在氢原子中时和和在无外电场时在无外电场时的状态应该的状态应该是不同的。是不同的。波函数也应该是不同的。波函数也应该是不同的。怎么找到在不同的条件下描述微观粒子的不同状态的怎么找到在不同的条件下描述微观粒子的不同状态的波函数？波函数？波动方程的引入波动方程的引入wave equation对于沿对于沿n方向传播的平面波可写为方向传播的平面波可写为写成复数形式写成复数形式代表频率为代表频率为、波长为、波长为，沿，沿x x方向传播的平面波方向传播

6、的平面波1 1 平面波平面波 plane wave plane wave 平面波是描述自由粒子的量子态，是最简单的波函数平面波是描述自由粒子的量子态，是最简单的波函数 平面波具有时、空周期性平面波具有时、空周期性 其中其中对对任任意意方方向向运运动动的的自自由粒子的波函数由粒子的波函数2 2 德布罗意自由粒子的平面波德布罗意自由粒子的平面波利用利用de Brogliede Broglie物质波的概念，我们可以得到量子力学中自由物质波的概念，我们可以得到量子力学中自由粒子平面波的表达式粒子平面波的表达式A 薛定谔方程适用条件薛定谔方程适用条件 只适用于低能粒子的体系，粒子具有较慢的运动只适用于低

7、能粒子的体系，粒子具有较慢的运动速度速度(c)c)要求没有粒子的产生和湮灭，即粒子的数目始终保要求没有粒子的产生和湮灭，即粒子的数目始终保持不变，持不变，-粒子数守恒粒子数守恒 二二 薛定谔方程薛定谔方程-量子力学的基本原理之三量子力学的基本原理之三u为了考察体系状态随时间的变化，则波函数必须有时间tu介绍量子态随时间变化规律的动力学方程u引入了力学量算符的本征值、本征函数等概念Schrdinger equation 薛定谔方程是一个非相对论范畴内的波动方程薛定谔方程是一个非相对论范畴内的波动方程 自由粒子的波函数自由粒子的波函数 将上式对将上式对t 求微商求微商即即对对x求微商求微商即即B.

8、B.波动方程的建立波动方程的建立同理同理 可得可得即即其中其中 有有Laplace 算符梯度算符自由粒子的能量自由粒子的能量 自由粒子波函数所满足的微分方程自由粒子波函数所满足的微分方程 自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程若粒子在势场中运动，其势能为U(r),在这种情况下，粒子的能量是类比自由粒子的情况，得到波函数类比自由粒子的情况，得到波函数 所满足的微分方程所满足的微分方程薛定谔波动方程薛定谔波动方程 算符化规则-量子力学的基本原理之四将将写成写成可见可见另，由另，由动量算符动量算符能量算符能量算符由此派生的经典动能T与算符的对应关系为哈密顿(Hamilton)量对应的算符为于是薛定

9、谔方程可简写成(1)(1)波函数的统计解释波函数的统计解释 statistical interpretationn 玻恩的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）与该点找到粒子的几率成正比。也就是描写微观粒子的波乃是几率波。三三 波函数的统计解释波函数的统计解释-量子力学的基本原理之一量子力学的基本原理之一量子力学的基本原理之一量子力学的基本原理之一 在在t时刻，在时刻，在r点附近的体积元点附近的体积元d 中中找到粒子的几率为找到粒子的几率为在某一位置附近衍射图样的强度与r点附近感光粒子的数目 成正比，即与电子打在该点附近的几率成正比。称为几率密度称为几率密度(2)实验表明n 通

10、过波函数可以确定在r处附近的体积元d中找到粒 子的几率分布n 波函数波函数(r,t)也常称为几率波幅也常称为几率波幅 (probability amplitude)n 不同于经典波的波函数，它是个复函数，本 身不代表任何物理量，是个不可观测量。n 考虑由若干个粒子组成的多粒子体系，则波函数为(3)(3)波函数的性质波函数的性质n 波函数描述微观粒子的运动状态，即量子态 粒子在空间各点的几率总和应为粒子在空间各点的几率总和应为l l，即即归一化是几率波的特性归一化是几率波的特性A 归一化条件归一化条件 normalization condition(4)波函数的数学性质波函数的数学性质(r,t)

11、与C(r,t)所描述的(相对)几率是相同的，例如在空间点r1与点r2的相对几率，波函数为 所以应该有所以应该有,ifB 归一化常数归一化常数 normalization constant称为归一化常数称为归一化常数 例：假如粒子做一维运动，波函数为A是一常数，求：是一常数，求：(1)归一化的波函数；归一化的波函数；(2)几率分布函数几率分布函数(几率密度几率密度)(3)几率密度最大的位置几率密度最大的位置解：解：(1)因为粒子做一维运动，归一化条件为因为粒子做一维运动，归一化条件为将已知波函数代入得到将已知波函数代入得到例题积分后有积分后有即：即：所以归一化的波函数为所以归一化的波函数为(2)

12、几率密度为几率密度为知道几率密度函数后，任意一点的几率密度就可以求得，例知道几率密度函数后，任意一点的几率密度就可以求得，例如如xa/2处的几率密度处的几率密度(3)首先求出几率密度一阶导数为零的位置首先求出几率密度一阶导数为零的位置则则二阶导数小于零的位置二阶导数小于零的位置（只能取x0，a/2,a）当当xa/2时，上式的值为时，上式的值为所以，所以，x=a/2处几率密度最大处几率密度最大严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。(5)波函数满足的条件波函数满足的条件量子力学基本假设之一量子力学基本假设之一1.平方可积条件

13、2.一般说来，波函数3.要求是 单值函数几率密度只能有限，所以要求波函数有限，不能无限大几率密度只能有限，所以要求波函数有限，不能无限大4.波函数及其各级微商要具有连续性推广：推广：当1，2，n是体系的可能状态时它们的线性叠加也是系统的可能状态。定义：若定义：若 1 1,2 2 是体系可能状态，是体系可能状态，则它们的线性则它们的线性组合组合 =C=C1 1 1 1+C+C2 2 2 2 也是该体系的一个可能的状态。也是该体系的一个可能的状态。其中其中CC1 1,C,C2 2 为为复常数复常数各态出现的几率为四 态叠加原理量子力学第二个基本原理量子力学第二个基本原理五 不确定关系量子力基本假设

14、之一量子力基本假设之一 The uncertainty principle 量子实体在移动中是波，而到达某一处时，则是粒子。量子世界的这种似波又似粒子的性质直接引出量子的不确定性。测不准原理（不确定关系）内容不确定关系或测不准原理不确定关系或测不准原理例例1 1：一颗质量为一颗质量为10g的子弹，具有的子弹，具有200ms1的速率。若其动量的速率。若其动量的不确定范围为动量的的不确定范围为动量的0.01%（这在宏观范围内是十分精确了）（这在宏观范围内是十分精确了），则该子弹位置的不确定范围为多大？，则该子弹位置的不确定范围为多大？解：解：子弹的动量子弹的动量动量的不确定范围动量的不确定范围 由

15、不确定关系，得子弹位置的不确定范围 例例2：一电子具有：一电子具有200ms1的速率，动量的不确定范围为动量的的速率，动量的不确定范围为动量的0.01%（这也是十分精确了），则该电子的位置不确定范围有（这也是十分精确了），则该电子的位置不确定范围有多大？多大？解：解：电子的动量电子的动量 动量的不确定范围动量的不确定范围 由不确定关系，得电子位置的不确定范围由不确定关系，得电子位置的不确定范围 Schrdingers cat 假想实验 死活概率各占50%检测时，波函数坍缩 不检测时，猫处于死 活两种状态的叠加实验表明：经典世界和量子世界存在着一条界限，一旦越过，量子现象就会消失。作业题：作业题

16、：1 证明自由粒子的不确定关系式可以写成证明自由粒子的不确定关系式可以写成 x 2其中其中 为自由粒子的德布罗意波长。为自由粒子的德布罗意波长。2 电子位置的不确定量为电子位置的不确定量为0.10nm,求其速度的不确定量求其速度的不确定量3 一质量为一质量为40g的子弹以的子弹以1103m/s的速度飞行，求的速度飞行，求(1)其德布罗意波长，其德布罗意波长，(2)若测量子弹位置的不确定量为若测量子弹位置的不确定量为0.1mm,其速率的不确定量其速率的不确定量作业题：讲义作业题：讲义P P7474，第，第2 2、3 3、19(1),(3)19(1),(3)题题第二章 定态薛定谔方程严格执行突发事

17、件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定态薛定谔方程 常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t无关的稳定的势场问题，这称为定态问题 自由运动粒子自由运动粒子 U=0=0 氢原子中的电子氢原子中的电子 薛定谔方程是描述体系的状态如何随时间变化 特殊的状态，就是能量取确定值的状态，称之为稳定状态，简称定态stationary state 定态下，能量的取值不随时间的变化而改变 描述定态的波函数称为定态波函数 定态波函数满足的薛定谔方程称为定态薛定谔方程严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处

18、理各类违纪行为或突发事件。1 1 定态薛定谔方程的建立定态薛定谔方程的建立 用用分离变量法分离变量法求解薛定谔方程的特解求解薛定谔方程的特解设设E是不依赖是不依赖r和和t的常数的常数在分离变量过程中引入的常数在分离变量过程中引入的常数 E 为粒子的能量为粒子的能量体系处于体系处于 所描写的状态时所描写的状态时能量有确定的值，称这种状态为定态定态波函数定态薛定谔方程 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。2 2 定态薛氏方程的边界条件和波函数满足的条件定态薛氏方程的边界条件和波函数满足的条件边界条件：在不同势能区域之间的边

19、界上波函数连续，在有限势能边界上波函数对空间坐标的一阶微商连续波函数满足的条件：1）归一化条件：2）束缚态条件：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定态薛定谔方程就是哈密顿算符的定态薛定谔方程就是哈密顿算符的本征值方程，E 称为哈密顿算符的本征值，(r,t)称为哈密顿算符的本征波函数(能量本征态)例如哈密顿算符例如哈密顿算符3 本征值、本征函数本征值、本征函数 eigenfunction 若一个算符作用在波函数上得出一个常数乘以该波函数若一个算符作用在波函数上得出一个常数乘以该波函数，如，则称此方程为该算符的，如，则称

20、此方程为该算符的本征方程本征方程，称，称此常数此常数fn为算符为算符F的第的第n个个本征值本征值，波函数为，波函数为fn相应的相应的本征本征波函数波函数严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。一维无限势阱模型1 一维无限深方势阱一维无限深方势阱 square potential well 粒子的势能具有如下形式粒子的势能具有如下形式U=0UUU(x)x 无限深方势阱无限深方势阱 是一个理想模型，适用于原子内层的电子、原子核中的质子 波函数在势阱之外为零 阱指的是势能曲线的形状，是无形的阱严格执行突发事件上报制度、校外活动报

21、批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。2 2 一维无限势阱的定态薛氏方程一维无限势阱的定态薛氏方程 在阱内在阱内(-a x a)在阱外在阱外(x -a,x a)3 3 边界条件边界条件在在 阱外阱外U，所以有，所以有由定态波函数的边界条件由定态波函数的边界条件严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。4 薛定谔方程的解薛定谔方程的解 首先，引入符号首先，引入符号 定态薛氏方程化为定态薛氏方程化为它的解为它的解为根据边界条件有根据边界条件有 A、B不能同时为零不能同时为零或或严格执行突发事

22、件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。当当同时有同时有第一组第一组当当同时有同时有第二组第二组严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。因为因为将上面两个解合并写为将上面两个解合并写为常数常数A A 可由归一化条件可由归一化条件,确定确定 请同学们自己试一试请同学们自己试一试能量本征函数严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定态薛定谔方程定态薛定谔方程定态波函数定态薛定谔方程 边界条件：波函数

23、及其一阶微商连续波函数满足的条件：列出定态薛氏方程列出定态薛氏方程能量本征函数归一化引入参数化简方程求出方程的通解求出方程的通解确定粒子势能的表达式确定粒子势能的表达式能量的本征值和本征函数能量的本征值和本征函数解解题题思思路路波函数边界条件波函数边界条件严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。一维无限深势阱一维无限深势阱能量本征值能量本征值定态薛定谔方程 能量本征函数严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。束缚态 基态 宇称束缚态：粒子只能束缚在有限

24、区域内，在无限远处波函数束缚态：粒子只能束缚在有限区域内，在无限远处波函数为零的状态（断续谱）为零的状态（断续谱）非束缚态：在无穷远处发现该粒子的概率不为零（连续谱）非束缚态：在无穷远处发现该粒子的概率不为零（连续谱）一维无限势阱中给出的波函数全部是束缚态一维无限势阱中给出的波函数全部是束缚态1 束缚态束缚态bound state2 基态基态 ground state 粒子能量最低的本征态粒子能量最低的本征态 一维无限势阱中的粒子，阱内粒子的最低能量一维无限势阱中的粒子，阱内粒子的最低能量n=1n=1的本征态为基态的本征态为基态 一维线性谐振子的基态为一维线性谐振子的基态为n n=0=0的本征

25、态的本征态严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。当当n为奇数时为奇数时 我们称这时波函数具有我们称这时波函数具有偶宇称偶宇称 当当n为偶数时为偶数时 我们称这时波函数具有我们称这时波函数具有奇宇称奇宇称并非所有的函数都有确定的宇称并非所有的函数都有确定的宇称在一维情况下，只有在势能函数具有空间反演对称性：在一维情况下，只有在势能函数具有空间反演对称性：U(x)=U(-x)，是，是x的的偶函数时，波函数才有确定的宇称偶函数时，波函数才有确定的宇称3 3 宇称宇称 parity parity 由一维无限势阱的本征态，可以证明

26、由一维无限势阱的本征态，可以证明严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。一维线性谐振子模型 分子中的原子或晶格点阵上的原子都可以近似地看作处在分子中的原子或晶格点阵上的原子都可以近似地看作处在以平衡位置为中心的弹性力场中。按经典力学，它们将以一以平衡位置为中心的弹性力场中。按经典力学，它们将以一定的频率围绕平衡位置做简谐振动。定的频率围绕平衡位置做简谐振动。1 1 一维线性谐振子一维线性谐振子如果粒子的势能具有如下形式如果粒子的势能具有如下形式这样绕平衡位置做周期性振动的粒子称为这样绕平衡位置做周期性振动的粒子称为一维线性

27、谐振子一维线性谐振子 任何在平衡位置附近的微振动(三维振动)都可以分解成几个独立的一维谐振子 固体中原子的振动可以用这种模型近似地研究 晶体中格点的振动、分子与分子间的互作用势、核子之间的核力势等等都可近似为线性谐振子问题严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。势能势能U(x)可在平衡位置展开为可在平衡位置展开为式中式中k和和U0都是常量都是常量一般来说，一个体系在平衡点附近的行为，都可近似一般来说，一个体系在平衡点附近的行为，都可近似为一维线性谐振子问题为一维线性谐振子问题axU(x)两原子间的互作用能两原子间的互作用能

28、双原子分子的两原子间的相互作用双原子分子的两原子间的相互作用ax=a是一个稳定的平衡点严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。基态能量基态能量零点能零点能相邻两能级间距相邻两能级间距谐振子的能级谐振子的能级因此线性谐振子具有分立的能级为因此线性谐振子具有分立的能级为n=0,1,2U(x)u谐振子的基态能量不为零，是微观粒子波动性的体现u静止的波是不存在的u如果不考虑零点能，谐振子的能量 ,验证了Planck 量子化的假说2 线性谐振子的能量本征值线性谐振子的能量本征值严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度

29、。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例题例题利用不确定关系估算谐振子的零点能解：利用坐标和动量的不确定关系谐振子的能量不确定度为：使E取极小值条件谐振零点能为谐振零点能为严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。隧道效应 tunnelingeffect 1.势垒势垒设有一定能量设有一定能量E的粒子，沿的粒子，沿x轴方向射向势垒轴方向射向势垒经典力学：若EU0，则粒子将穿过势垒a0U0U(x)x量子力学：不论粒子的能量为何值，将按一定的几率穿透势垒、也可以按一定的几率被势垒反射123U(x)=严格执行突发事

30、件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。粒子的能量粒子的能量EU0时，时，透射系数随势垒宽度的加宽而指数下降。透射系数随势垒宽度的加宽而指数下降。在粒子能量在粒子能量EU0时的时的情况下，透射系数不为零经典理论无法情况下，透射系数不为零经典理论无法解释。解释。透射波透射波入射波反射波入射波反射波U(x)x严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。隧道效应的实质1 隧道效应隧道效应 粒子能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象粒子能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 类似一

31、列火车通过隧道穿过山峰，这里不存在有形的山峰，类似一列火车通过隧道穿过山峰，这里不存在有形的山峰，只存在一条无形的势垒曲线只存在一条无形的势垒曲线2 原因原因微观粒子具有波动、粒子二象性；波原则上可以透过不同物理微观粒子具有波动、粒子二象性；波原则上可以透过不同物理性质的两空间的界面，例如，光波的透射性质的两空间的界面，例如，光波的透射严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。作业：作业：1 一维无限势阱，粒子的势能为一维无限势阱，粒子的势能为求粒子的本征能量和本征函数求粒子的本征能量和本征函数2 设有一电子在宽为设有一电子

32、在宽为0.20nm的一维无限势阱中，计算的一维无限势阱中，计算(1)电子在最低能级的能量，（电子在最低能级的能量，（2）当电子在第一激发态）当电子在第一激发态(n=2)时时在势阱中何处出现的几率最小，其值为多少？在势阱中何处出现的几率最小，其值为多少？(2)3 讲义讲义P75，第第20题题严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。作业题：讲义作业题：讲义P76，第，第22、23题题思考：若势能思考：若势能U(x)改变一个常数改变一个常数C,即即U(x)U(x)C，粒子，粒子能量本征值是否改变？能量的本征函数是否改变？能量本征

33、值是否改变？能量的本征函数是否改变？作业题：讲义作业题：讲义P76，第，第7、27题；题；思考题：思考题：经典谐振子和量子谐振子的区别经典谐振子和量子谐振子的区别严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。第三章 量子力学中的力学量n n算符算符n n厄米算符的本征函数厄米算符的本征函数n n动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符n n电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动n n基本对易关系基本对易关系重点：厄米算符平均值角动量算符对易关系严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并

34、处理各类违纪行为或突发事件。第一节算符 operator算符算符算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号 就是一个算符就是一个算符算符的引入规则算符的引入规则 如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式F(r,p)中将动量p换为动量算符得出 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。名称名称名称名称力学量力学量力学量力学量OperatorOperator算符算符坐标坐标坐标坐标动量动量动量动量势能势能势能势能动能动能动能动能总

35、能量总能量总能量总能量角动量角动量角动量角动量经常遇到的力学量所对应的算符严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。简并简并degeneration 当算符的某一本征值n的本征函数不止一个，而是 f 个线性无关的函数n1、n2、nf，则称该本征值 f 度简并。若一个算符作用在波函数上得出一个常数乘以该波函数，如，则称此方程为该算符的本征方程，称此常数fn为算符F的第n个本征值，波函数为fn相应的本征波函数算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、

36、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性算符线性算符 linear operator 设设u u1 1、u u2 2为任意函数，为任意函数，c c1 1、c c2 2是任意两个复常数，如果是任意两个复常数，如果则称则称 为为线性算符线性算符 x、d/dx是线性算符，而开方运算不是线性算符 量子力学中用来表示力学量的算符，都是线性算符 是态叠加原理的要求设设根据态的叠加原理根据态的叠加原理也就是假设说也就是假设说 是二度简并的是二度简并的也是算符也是算符的本征态，应有的本征态，应有当当为线性算符时为线性算符时严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各

37、类违纪行为或突发事件。1 厄米算符厄米算符 Hermitian operatorHermitian operator设u、v为两个任意函数，如果算符满足则称为厄米算符量子力学中代表力学量的算符必须是线性厄米算符量子力学中代表力学量的算符必须是线性厄米算符 量子力学的又一基本概念 厄米算符在任意状态下的平均值必须是实数 力学量观测值必须是实数，要求算符的本征值是实数 线性厄米算符的作用就是把态空间中的一个元素变成另一个 元素 线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（1）厄米算符

38、本征函数的正交归一性(Orthonormality)（2）完备性(Completeness)设1、2、n，是某一线性厄米算符的本征函数系，任何与n满足同样边界条件且在同样区间定义的波函数,都可以按n展开，即厄米算符的本征函数厄米算符的本征函数(本征态本征态)具有正交、完备性具有正交、完备性若在每个r处，此无穷级数都收敛到(r,t)，则称n是完备的 第二节第二节严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。2力学量的平均值(Average Values)(1)力学量处于本征态时设厄米算符的本征函数分别为1、2、n，所属的本征值为，

39、1、2、n，当体系处于n时，力学量A有确定的值 n，（2）当体系处于）当体系处于的非本征态的非本征态 时，力学量时，力学量A为何值？为何值？在非本征态中测量力学量的值为一平均值，当体系处于算符的非本征态时，测量力学量A所得为平均值，如果已经归一化，力学量的平均值为如果如果 尚未归一化，力学量的平均值为尚未归一化，力学量的平均值为严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。利用归一化条件利用归一化条件用*左乘上式并对全空间积分左乘上式并对全空间积分根据本征函数的完全性根据本征函数的完全性力学量的平均值为：所以为在n态中，A取n的

40、几率严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。状态时，粒子的能量？状态时，粒子的能量？也就是说，此时粒子不处于本征态。也就是说，此时粒子不处于本征态。在此状态下，测量粒子的能量在此状态下，测量粒子的能量由于波函数是归一化的由于波函数是归一化的本征函数为：解：例例：设粒子在一维无限势阱：设粒子在一维无限势阱(0,a)中运动，如果描述粒子状态的中运动，如果描述粒子状态的波函数为波函数为严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3 轨道角动量算符的本征值和本征函

41、数(1)轨道角动量算符定义若位势与坐标的方向无关，即，则称此位势为 中心力场 粒子若在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的 重要物理量 为区别自旋角动量，将其称之为轨道角动量 第三节第三节严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。(2)本征问题本征问题Spherical-harmonicsl 称为称为角量子数角量子数，表征角动量的大小，表征角动量的大小A的本征方程本征函数m称为称为磁量子数磁量子数 本征值为球谐函数，不仅应当在全空间有限，而且是一个单值函数严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及

42、时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例如：例如：l=2时时m可以取可以取-2,-1,0,1,2;五个值五个值本征值本征值本征函数本征函数B Lz的本征值和本征函数Lz表示体系的轨道角动量在表示体系的轨道角动量在z轴方向的投影轴方向的投影一个本征值对应一个本征值对应2l+1个本征函数，本征值是个本征函数，本征值是2l+1度简并的度简并的严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。(3)讨论讨论n n算符的本征值是量子化的，只能取断续值算符的本征值是量子化的，只能取断续值n n除了的基态外，算符的所有本征值都是简除了的

43、基态外，算符的所有本征值都是简并的，且简并度为并的，且简并度为严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例题例题例题例题若粒子处于状态若粒子处于状态求：分别测量的可能取值与相应的取值概率解：首先判断波函数是否是归一化的状态其次计算各种条件下各力学量的可能取值和取值概率在态下，相应的取值概率公式为严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。4 类氢原子的波函数和能量本征值类氢原子的波函数和能量本征值(1)分离变量法求解定态方程，可以得到满足波函数条件的解设设

44、在球坐标下，薛定谔方程变为在球坐标下，薛定谔方程变为类氢原子中的电子有三个自由度，因此要用三个量子数n,l,m来描述其运动状态Rnl(r)是径向函数是角度部分的波函数，称球谐函数主量子数：主量子数：n角量子数：角量子数：l磁量子数：磁量子数：m能量能量角动量角动量角动量在角动量在z轴上的投影轴上的投影第四节第四节严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（2 2）本征能量本征能量能量取下列离散值时，才有满足波函数有限性条件的解电子的能量只与量子数电子的能量只与量子数n n有关有关,n称为主称为主量子数量子数玻尔第一轨道半径玻

45、尔第一轨道半径氢原子的基态能量为若要使处于基态的氢原子电离，必须外加 13.6eV的能量 随量子数n的增加，氢原子能级间隔越来越 小，当n时能级接近连续分布氢原子能级图EoE1E2严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（3 3）能级的简并度）能级的简并度电子的能级电子的能级En只与只与主量子数主量子数n有关有关对应一个对应一个n值值，l 可以取可以取0,1,2n-1共共n个个对应一个对应一个l 值值，m又可以取又可以取 0,1,2,l共共2l+1个个l、m不同，不同，函数函数的形式不同的形式不同同一能量级对应着不同的本征

46、函数同一能量级对应着不同的本征函数库仑场中运动的电子能级是简并的库仑场中运动的电子能级是简并的简并度为简并度为电子的能级是电子的能级是n2度简并的度简并的严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例1对能级对能级简并度是简并度是9，9个不同的波函数个不同的波函数(9个不同的本征态个不同的本征态)有相同的能量有相同的能量它们是它们是例例2：氢原子中的电子处于：氢原子中的电子处于状态，求：状态，求：(1)归一化的波函归一化的波函数数(2)能量有无确定值？如果没有，求其可能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些值的几率，并求

47、平均值？能值和取这些值的几率，并求平均值？(3)角动量有无确定值？如果没有，求其角动量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些值的几率，并求平均值？可能值和取这些值的几率，并求平均值？(4)角动量的角动量的z分量有无确定值？如果有，分量有无确定值？如果有，求其本征值求其本征值严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。利用本征函数的正交性，得到利用本征函数的正交性，得到所以所以归一化的波函数为归一化的波函数为解解:(1)设归一化常数为设归一化常数为A，利用归一化条件，利用归一化条件严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相

48、关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。(2)所以此波函数不是能量的本征函数，在此态中能量无确定值，所以此波函数不是能量的本征函数，在此态中能量无确定值，能量的可能值为能量的可能值为E2和和E3，能量的平均值为，能量的平均值为(3)容易证明此波函数不是角动量平方算符的本征态容易证明此波函数不是角动量平方算符的本征态严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。角动量平方的可能值为角动量平方的可能值为L2平均值：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违

49、纪行为或突发事件。是其本征函数，本征值为是其本征函数，本征值为(4)严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。作业题：作业题：1 氢原子中的电子处于氢原子中的电子处于求求:(1)归一化的波函数；归一化的波函数；(2)能量有无确定值？如没有，求其能量的可能值和取这能量有无确定值？如没有，求其能量的可能值和取这些值的几率些值的几率 (3)角动量平方有无确定值？如果有求其本征值角动量平方有无确定值？如果有求其本征值 (4)角动量的角动量的z分量有无确定值？如果没有？求其可能值和分量有无确定值？如果没有？求其可能值和取这些值的几率取

50、这些值的几率2 氢原子能量简并度是多少？写出氢原子能量简并度是多少？写出n2的所有可能的能量状态的所有可能的能量状态讲义讲义：P74 14任选两道严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。量子力学中可以进一步通过代表不同力学量的算符间所满足的关系，来判断哪些力学量可以同时取确定值，哪些力学量不可以同时取确定值，引入了对易的概念算符算符、不对易不对易如果两个算符、，先后作用到一个波函数上，作用的结果与作用的顺序无关，如两个两个算符算符、对易对易可以同时测定可以同时测定如果两个算符满足两个算符反对易1 算符的对易关系 commu