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1、第二章第二章 复变函数的积分复变函数的积分2.1 2.1 复变函数的积分复变函数的积分1 1 积分的概念积分的概念2 2 积分存在条件及性质积分存在条件及性质3 3 积分的计算积分的计算2.1.1 2.1.1 积分的概念积分的概念 定义定义2.1 设设 C是复平面上以是复平面上以z0为起点为起点,Z为终点为终点有向简单连续曲线，有向简单连续曲线，是是C上的复变函数上的复变函数.在在C上依次取分点上依次取分点 把曲线把曲线C分割为分割为n个小段个小段.(如图如图)在每个小弧段在每个小弧段上任取上任取一点一点 做和数做和数 其中，其中，令令 如果分点的个数无限增多，并且极限如果分点的个数无限增多，
2、并且极限 存在存在,则称该极限值为函数则称该极限值为函数 在曲线在曲线C上的积上的积分分,并记作并记作 即即 如果如果C是闭曲线，经常记作是闭曲线，经常记作 当当C是实轴上的区间是实轴上的区间 方向从方向从a到到b,并且并且为实值函数，那么这个积分就是定积分为实值函数，那么这个积分就是定积分.2.1.2 2.1.2 积分存在的条件及积分性质积分存在的条件及积分性质定理定理2.1 设设C是分段光滑是分段光滑(或可求长或可求长)的有的有向向曲线，曲线，在在C上连续，则上连续，则 存在，并且存在，并且 从从形式上形式上可以看成可以看成定理定理2.2 设光滑曲线设光滑曲线 是起点是起点,是终点，则是终
3、点，则 复变函数的积分具有如下一些性质复变函数的积分具有如下一些性质.(4)设设C1的终点是的终点是C2的起点的起点,C=C1+C2,则则(k是复常数是复常数);其中其中,是是与与两点之间弧段的长度两点之间弧段的长度.根据积分定义，令根据积分定义，令 即得性质即得性质(5).估值估值不等式不等式事实上事实上,(5)设曲线设曲线C的长度为的长度为L,函数函数f(z)在在C上满上满足足则则例例2.1 设设 C是复平面上以是复平面上以z0为起点为起点,z为终为终点的分段光滑点的分段光滑(或可求长或可求长)曲线，则曲线，则 解解 根据积分的定义根据积分的定义2.1.3 2.1.3 积分的计算积分的计算
4、解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为例例2.2 计算积分计算积分(n是整数是整数),其中其中C是圆周是圆周:的正向的正向.重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x例例2.3 计算积分计算积分 与与 其中其中C为为(1)从原点到从原点到 1+i 的直线段；的直线段；(2)抛物线抛物线 y=x2 上从原点到上从原点到 1+i 的弧段；的弧段；(3)从原点沿从原点沿x轴到轴到1,再从再从1到到 1+i 的折线的折线.(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=xy=x(3)积分路径由两段直线段
5、构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为都是从相同的起点到相同的终点都是从相同的起点到相同的终点,沿着三条不沿着三条不注意注意1 从例从例2.3看到看到,积分积分和和相同的路径进行相同的路径进行,但是但是 积分值不同积分值不同,积分值相同积分值相同.是否可以讨论积分与积分是否可以讨论积分与积分路径的关系路径的关系?注意注意2 一般不能将函数一般不能将函数f(z)在以在以z1为起点为起点,以以z2为终点的曲线为终点的曲线C上的积分记成上的积分记成 因为因为积分值可能与积分路径有关积分值可能与积分路径有关,所以记所以
6、记2.2 2.2 Cauchy积分定理积分定理1 1 Cauchy积分定理积分定理2 2 复合闭路定理复合闭路定理3 3 典型例题典型例题2.2.1 2.2.1 Cauchy积分定理积分定理定理定理2.3(Cauchy积分定理积分定理)设设f(z)是单是单连连说明说明:该定理的主要部分该定理的主要部分是是Cauchy 于于1825 年建立的年建立的,它是复变函数理论的基础它是复变函数理论的基础.通区域通区域 D上的解析函数，则对上的解析函数，则对D内的任何可求内的任何可求长长Jordan曲线曲线C,都有都有 注意注意2 2 若曲线若曲线C是是区域区域 D 的边界的边界,而而注意注意1 1 定理
7、中的定理中的C 可以不是简单曲线可以不是简单曲线.函数函数 f(z)在在D内解析内解析,在闭区域在闭区域 上上连连续续,则则 注意注意3 3 定理中定理中D是单连通区域的假设不可缺少是单连通区域的假设不可缺少.例如函数例如函数在区域在区域内内的曲线的曲线上积分上积分,参看参看解解 因为函数因为函数例例2.4 计算积分计算积分 在在 上解析上解析,所以根据所以根据Cauchy积分定理积分定理,有有解解根据根据Cauchy积分定理得积分定理得例例2.5 2.5 计算积分计算积分 因为因为和和都在都在上解析上解析,所以所以这里用到了这里用到了2.2.2 2.2.2 复合闭路定理复合闭路定理都在都在C
8、 的内部的内部,它们互不包含也它们互不包含也互不相交互不相交,并且并且以以定理定理2.4 设设是多连通区域是多连通区域D内内在该闭区域上解析在该闭区域上解析,那么那么其中其中C和和Ck(1 k n)取正向取正向.若若 f(z)分段光滑分段光滑(或可求长或可求长)Jordan曲线曲线,都都为边界的闭区域含于为边界的闭区域含于D内内.2.2.3 2.2.3 典型例题典型例题解解 显然函数显然函数 例例2.6 2.6 计算积分计算积分其中其中G G为包含圆周为包含圆周在内的任意分段光滑正向简单闭在内的任意分段光滑正向简单闭曲线曲线.在复平面有两个奇点在复平面有两个奇点0和和1,并且并且G G 包含了
9、这两个奇点包含了这两个奇点.在在G G内作两个互不包含也互不相交的正向内作两个互不包含也互不相交的正向圆周圆周C1和和C2,使得使得C1只包含奇点只包含奇点0,C2 只包含只包含奇点奇点1.根据根据 ,解解 显然显然C1和和C2围成一围成一例例2.7 2.7 计算积分计算积分 其中其中G G 由正向圆周由正向圆周和负向圆周和负向圆周组成组成.个圆环域个圆环域.函数函数在此圆环域及其边界上解析在此圆环域及其边界上解析,并且并且圆环域的边界圆环域的边界构成复合闭路构成复合闭路,所以根据所以根据 ,例例2.8 2.8 求积分求积分其中其中G G 为含为含z0的的解解 因为因为z0在闭曲线在闭曲线G
10、G 的内部的内部,任意分段光滑的任意分段光滑的Jordan曲线曲线,n为整数为整数.故可取充分小的正数故可取充分小的正数r ,使得圆周使得圆周含在含在G G的内部的内部.可得可得再利用再利用根据根据 ,故故这一这一结果很重要结果很重要.与与 进行比较进行比较.2.3 2.3 Cauchy积分公式积分公式 1 1 问题的提出问题的提出2 2 Cauchy积分公式积分公式3 3 高阶导数公式高阶导数公式4 4 典型例题典型例题2.3.1 2.3.1 问题的提出问题的提出定理知定理知,当当r r 充分小时充分小时,这个积分值与这个积分值与r r 的取值无的取值无关关,设设f(z)在单连通区域在单连通
11、区域D上解析上解析,z0是是D内内的的一个定点一个定点,则则 在在z0 不解析不解析.Jordan曲线曲线,当当r r 0充分小时充分小时,根据复合闭路根据复合闭路如果如果C是含是含z0在其内部区域的分段光滑的在其内部区域的分段光滑的所以这个积分值只与所以这个积分值只与 f(z)在在 z0 附近的值有附近的值有关关.因为因为f(z)在在 z0 连续连续,故故 上上函数函数 f(z)的值将随着的值将随着r r 的减小而接近的减小而接近因此因此,随着随着r r 的减小的减小,应该有应该有接近于接近于然而然而2.3.2 2.3.2 Cauchy积分公式积分公式Cauchy积分公式积分公式定理定理2.
12、5 设设f(z)是单连通区域是单连通区域D上的解析函上的解析函数数,z0 是是D内的一个点内的一个点,C是任意一条含是任意一条含 z0 在内部区在内部区域域 的分段光滑的分段光滑(或可求长或可求长)Jordan曲线曲线,则则 关于关于Cauchy积分公式的说明积分公式的说明:可见可见,函数在函数在C内部任一点的值可用它在边界上内部任一点的值可用它在边界上（这是解析函数的一个重要特征）（这是解析函数的一个重要特征）(1)从从Cauchy积分公式积分公式 的值通过积分来表示的值通过积分来表示.这表明了这表明了Cauchy积分公式不但提供了计算积分公式不但提供了计算(这是研究解析函数的有力工具这是研
13、究解析函数的有力工具)(2)如果曲线如果曲线C上的点用上的点用z z 表示表示,C内部内部的的点用点用z 表示表示,则则Cauchy积分公式表示为积分公式表示为 某些复变函数沿闭路积分的一种方法某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出而且给出了解析函数的一个积分表达式了解析函数的一个积分表达式.例例2.9 计算积分计算积分 其中其中C是是 正向圆周正向圆周 解解 在在C内部作正向圆周内部作正向圆周 根据根据 ,因为因为 在在C1围成的闭区域上解析围成的闭区域上解析,在在C2 围成的闭区域上解析围成的闭区域上解析,所以所以由由 Cauchy积分公式积分公式 2.3.3 2.3.3 高阶导数公式
14、高阶导数公式如果各阶导数存在如果各阶导数存在,并且导数运算可在积分号下并且导数运算可在积分号下进行进行,则则由由 ,解析函数的积分表达式为解析函数的积分表达式为(1)解析函数是否存在各阶导数解析函数是否存在各阶导数?(2)导数运算可否在积分号下进行导数运算可否在积分号下进行?我们有下面的我们有下面的Cauchy导数公式导数公式.高阶导数公式高阶导数公式定理定理2.6 设函数设函数f(z)在单连通区域在单连通区域 D上的解上的解析析,C是是D内分段光滑内分段光滑(或可求长或可求长)的的Jordan曲线曲线,z0 在在C的内部区域的内部区域,则则f(z)在在z0处存在各阶导数处存在各阶导数,并并且
15、且 其中其中C取正向取正向.一个解析函数的导数仍然是解析函数一个解析函数的导数仍然是解析函数.高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分而在于通过求导来求积分.例例2.10 2.10 求积分求积分解解 因为函数因为函数 在复平面解析在复平面解析,在在 内内,n=3,根据根据例例2.11 求积分求积分解解 因为函数因为函数 在复平面解析在复平面解析,在在 内内,n=1,根据根据2.3.4 2.3.4 典型例题典型例题例例2.12 2.12 计算积分计算积分解解 由由 ,例例2.13 2.13 计算积分计算积分 其中其中解解 (1)根据根
16、据 ,(2)根据根据 ,(3)根据根据 以及前面的结果以及前面的结果,例例2.14 2.14 计算下列积分计算下列积分,其中其中C是正向圆周是正向圆周解解 (1)因为函数因为函数 在在C内内z=1处不解析处不解析,但但 在在C内处处解析内处处解析,所以根据所以根据(2)函数函数 在在C内的内的 处不解析处不解析.在在C内分别以内分别以i 和和-i 为中心作正向圆周为中心作正向圆周 C1 和和 C2,则函数则函数 在由在由围成的区域内解析围成的区域内解析,所以由所以由于是于是同理同理解解例例2.15 2.15 求积分求积分其中其中n为整数为整数.(1)n 0时时,函数函数 在在 上解析上解析.(
17、2)n=1时时,由由 得得由由 得得可得可得(3)n1时时,根据根据2.4 2.4 解析函数的原函数解析函数的原函数1 1 原函数的概念原函数的概念2 2 Newton-Leibniz公式公式2.4.1 2.4.1 原函数的概念原函数的概念原函数之间的关系原函数之间的关系:定义定义2.2 设设f(z)是定义在区域是定义在区域D上的复变函数上的复变函数,若存在若存在D上的解析函数上的解析函数F(z)使得使得 在在D 内成立，则称内成立，则称F(z)是是f(z)在区域在区域D上的原函数上的原函数.如果如果f(z)在区域在区域D上存在原函数上存在原函数F(z),则则f(z)是是 解析函数，因为解析函
18、数的导函数仍是解析函数解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数.定理定理2.7 设设F(z)和和G(z)都是都是f(z)在区域在区域D上的原上的原函数函数,则则 (常数常数).那么它就有无穷多个原函数那么它就有无穷多个原函数,一般表达式为一般表达式为 根据以上讨论可知根据以上讨论可知:证明证明 设设F(z)和和G(z)都是都是f(z)在区域在区域 D上上的的根据根据 可知可知,为常数为常数.原函数原函数,于是于是 如果如果F(z)是是f(z)在区域在区域 D上的一个原函数，上的一个原函数，(其中其中C是任意复常数是任意复常数).定理定理2.8 设设f(z)是单连通区域是单连通区域D上的解析函
19、上的解析函数数,z0是是D内的一个点内的一个点,C是是D内以内以z0为起点为起点,z为终点为终点的的 分段光滑分段光滑(或可求长或可求长)曲线曲线,则积分则积分 只依赖于只依赖于z0与与z,而与路径而与路径 C 无关无关.定理定理2.9 设设f(z)是单连通区域是单连通区域D上的解析函数上的解析函数,z0和和z是是D内的点内的点,则则 是是 f(z)在在D上的原函数上的原函数.2.4.22.4.2 Newton-Leibniz公式公式定理定理2.10 设设f(z)是单连通区域是单连通区域D上的解析函数上的解析函数,F(z)是是 f(z)在在D上的原函数上的原函数,z0和和z1是是D内的两点内的两点,则则 证明证明 因为因为 也是也是f(z)在在D上的原函上的原函数数,根据根据其中其中 C为常数为常数,易易见见说明说明:有了上述定理有了上述定理,复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算与微积分学中类似的方法去计算.如果没有如果没有D是单连通区域的假设，那么是单连通区域的假设，那么 一般是一个多值函数一般是一个多值函数.第二章第二章 完完