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1、第八章第八章 线性动态电路的时域分析线性动态电路的时域分析（linear dynamic circuit time domain analysis）稳态：稳态：在前面介绍的电路中，外施激励源不管在前面介绍的电路中，外施激励源不管是交流、直流还是非正弦周期变化的，我们认是交流、直流还是非正弦周期变化的，我们认为其为其作用作用在电路上已经在电路上已经很久很久，因此只要电路的，因此只要电路的结构和参数一定，电路中的响应也是呈交流、结构和参数一定，电路中的响应也是呈交流、直流或非正弦周期规律变化。电路的这种工作直流或非正弦周期规律变化。电路的这种工作状态称为稳态（状态称为稳态（steady state
2、）。）。暂态：暂态：电路的工作条件突然变更，如电路的工作条件突然变更，如开关动作开关动作（switching）故障（故障（fault）参数的变化，参数的变化，电路的稳态遭到破坏，电路中的响应出现变动，经过一段时间后，电路的稳态遭到破坏，电路中的响应出现变动，经过一段时间后，电路中电流、电压又会达到一个新的稳定值，即达到新的稳态。电路中电流、电压又会达到一个新的稳定值，即达到新的稳态。电路从一个稳态到另一个稳态之间的过渡电路从一个稳态到另一个稳态之间的过渡过程称为暂态。过程称为暂态。研究电路的暂态研究电路的暂态可以确定电力系统的保护措施。可以确定电力系统的保护措施。避免电避免电路的振荡路的振荡可
3、获得最优最快的控制特性。可获得最优最快的控制特性。线性动态电路：线性动态电路：电路暂态的存在是由于电路包含了电容、电感两种电路暂态的存在是由于电路包含了电容、电感两种储能元件，其能量的变化需要过程。电容、电感也称为动态元件，储能元件，其能量的变化需要过程。电容、电感也称为动态元件，含有线性动态元件的电路称为线性动态电路，简称动态电路。含有线性动态元件的电路称为线性动态电路，简称动态电路。第一节第一节 动态电路的初始条件和初始状态动态电路的初始条件和初始状态1）换路：换路：电路工作条件的改变称为换路（如开关电路工作条件的改变称为换路（如开关的接通或扳断、参数的变化）。将换路发生的时的接通或扳断、
4、参数的变化）。将换路发生的时刻或时间点称为刻或时间点称为初始瞬间初始瞬间（initial instant）记为记为t=t0,一般取一般取t=0,把把换路前趋近于换路时的一瞬间记换路前趋近于换路时的一瞬间记为为t=0-（t=t0-），），把换路后的初始瞬间记为把换路后的初始瞬间记为t=0+（t=t0+）2）状态：）状态：电路中电容上的电压和电感上的电流直电路中电容上的电压和电感上的电流直接反映了电路的储能情况，因此常常将接反映了电路的储能情况，因此常常将uC(t)，iL(t)称为电路的状态称为电路的状态。它们是确定电路响应的。它们是确定电路响应的一、动态电路的微分方程一、动态电路的微分方程3）换
5、路后电路方程：仍由）换路后电路方程：仍由KVL及及VCR可得动态电路的微分方程。可得动态电路的微分方程。最少信息（数据），一般以其为变量即所谓的最少信息（数据），一般以其为变量即所谓的状态变量状态变量列写动态电路列写动态电路的方程。的方程。uC(0-)，iL(0-)为换路前瞬间电路的状态，为换路前瞬间电路的状态，uC(0+)，iL(0+)为换路后初始瞬间的状态，简称为换路后初始瞬间的状态，简称初始状态初始状态。由初始状态可以确定电。由初始状态可以确定电路其它电气量路其它电气量换路后初始瞬间换路后初始瞬间的值，的值，即初始条件。即初始条件。以以uc(t)为变量为变量以以iL(t)为变量为变量二、
6、换路定律二、换路定律对于线性电容，在任意时刻对于线性电容，在任意时刻t其其电压（电荷）与电流的关系为电压（电荷）与电流的关系为：初始初始瞬间瞬间一般的电路在换路瞬间通过电容的电流为有限值，同时时间是连一般的电路在换路瞬间通过电容的电流为有限值，同时时间是连续的续的,所以所以电容上电荷和电压换路先后不发生跃变。（通过电流为有限值时）电容上电荷和电压换路先后不发生跃变。（通过电流为有限值时）对于线性电感，在任意时刻对于线性电感，在任意时刻t其其电流（磁链）与电压的关系为电流（磁链）与电压的关系为初始初始瞬间瞬间一般的电路在换路瞬间加在电感的电压为有限值，同时时间是连一般的电路在换路瞬间加在电感的电
7、压为有限值，同时时间是连续的续的,所以所以电感上磁链和电流换路先后不发生跃变。（所加电压为有限值时）电感上磁链和电流换路先后不发生跃变。（所加电压为有限值时）求得求得换路前电路稳态时的状态换路前电路稳态时的状态，由换路定律可得电路的，由换路定律可得电路的初始状态，初始状态，在在t=0+时，将时，将电容看作电容看作值为值为uC(0+)的的电压源电压源，电感看作电感看作值为值为iL(0+)的的电流源，独立源取电流源，独立源取t=0+的值的值，从而建立，从而建立t=0+的电路模型，求得的电路模型，求得电路的电路的初始条件。初始条件。画出画出t=0-的电路图，求开关打开前的电路图，求开关打开前 uC(
8、0-),iL(0-)由换路定理，画出由换路定理，画出t=0+的电路图，的电路图，例：图示电路例：图示电路.进一步可求各阶导数进一步可求各阶导数的初始值的初始值例例2 2：图示电路，开关断开前电路已达稳态，：图示电路，开关断开前电路已达稳态，t=0t=0时时开关开关S S断开，求：断开，求：解：解：说明：说明：1、由、由uC(0+)、iL(0+)及激及激励，就能确定电路励，就能确定电路(t0+)的其他初始值；的其他初始值；2、uC(0+)、iL(0+)称为电称为电路的初始状态，它们反映路的初始状态，它们反映了电路初始储能状况。了电路初始储能状况。第二节第二节 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入
9、响应 动态电路的响应由两种动态电路的响应由两种激励激励(excitation)产生：产生：独立电源的输独立电源的输入（入（input)（外施激励源外施激励源）动态元件储能的释放即动态元件储能的释放即初始状态初始状态（state）（）（内部激励源内部激励源）。外施激励源为零，由初始状态引起的响）。外施激励源为零，由初始状态引起的响应称为应称为零输入响应（零输入响应（zero-input response）;初始状态为零，由外施激初始状态为零，由外施激励源引起的响应称为励源引起的响应称为零状态响应（零状态响应（zero-state response）。外施激励外施激励源和初始状态共同引起的响应称为
10、源和初始状态共同引起的响应称为全响应（全响应（complete response）一阶电路的定义：一阶电路的定义：换路后换路后，电路中仅含，电路中仅含一个一个或者可以等效为一或者可以等效为一个个储能元件储能元件的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称为一阶电路（为一阶电路（first order circuit）。）。一、一阶一、一阶RC电路的零输入响应电路的零输入响应如图所示电路，换路前电路已达稳态，电容器充如图所示电路，换路前电路已达稳态，电容器充电至电源电压：电至电源电压：在在t=0时，开关突然由时，开关突然由a打向打向b，电容通过电阻
11、电容通过电阻R形成回路放电，此时电路已没有外施激励源，形成回路放电，此时电路已没有外施激励源，其中的响应由电容的初始状态引起，即零输入响应。其中的响应由电容的初始状态引起，即零输入响应。a b由由KVL得：得：上式是关于上式是关于uc的一阶齐次微分方程，的一阶齐次微分方程，任意一阶任意一阶RC电路的零输入响应为电路的零输入响应为：a b其中其中A 为待定的积分常数，为待定的积分常数，p与式（与式（1）对应的特）对应的特征方程的特征根。式（征方程的特征根。式（1）的特征方程为：）的特征方程为：其通解的形式其通解的形式 为：为：一阶一阶RC电路的零输入响应有以下特点：电路的零输入响应有以下特点：换
12、路瞬间电容电压保持不变换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电过程电流发生突变形成放电过程。换。换路后，所有的响应都是按相同的指数规律衰减。路后，所有的响应都是按相同的指数规律衰减。衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量的选择无关衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量的选择无关。衰减的速度取决于衰减的速度取决于1/RC（衰减系数）。衰减系数）。响应与其初始值成正比响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。初始值增大几倍，响应增大几倍。一阶一阶RC电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能的释放维电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，
13、暂态过程最后以能量的耗尽而持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶告终。此为一阶RC电路的零输入响应的电路的零输入响应的 实质。实质。WR=WC一阶一阶CR电路的零输入响应的求解步骤：电路的零输入响应的求解步骤：求解电路换路前的状态。求解电路换路前的状态。求时间常数：求时间常数：求解电路换路后初始值。（第一节）求解电路换路后初始值。（第一节）代入（代入（*）式。）式。二、一阶二、一阶RL电路的零输入响应电路的零输入响应如图所示电路，换路前电路已达稳态：如图所示电路，换路前电路已达稳态：在在t=0时，开关突然合上时，开关突然合上，电感通过电感通过电阻电阻R形成回路，
14、此时电感回路已没形成回路，此时电感回路已没有外施激励源，有外施激励源，电路中的响应由电感的初始状态引起，即为零输入响应。电路中的响应由电感的初始状态引起，即为零输入响应。由由KVL得得上式是关于上式是关于iL的的一阶齐次一阶齐次微分方程微分方程其中其中A 为待定的积分常数，为待定的积分常数，p为与式（为与式（1）对应的特征方程）对应的特征方程的特征根。式（的特征根。式（1）的特征方程为）的特征方程为其通解的形式其通解的形式 为为一阶一阶RL电路的零输入响应有以下特点：电路的零输入响应有以下特点：换路瞬间电感电流保持不变，电压发生突变释放磁场能。换路换路瞬间电感电流保持不变，电压发生突变释放磁场
15、能。换路后，所有的响应都是后，所有的响应都是按相同的指数规律按相同的指数规律衰减。衰减。衰减的衰减的指数规律指数规律仅由仅由RL电路的结构和参数决定电路的结构和参数决定与变量的选择无关与变量的选择无关。衰减的速度取决于衰减的速度取决于R/L（衰减系数）。衰减系数）。响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。一阶一阶RL电路的零输入响应是靠电感中电路的零输入响应是靠电感中储存的磁场能量的释放储存的磁场能量的释放维持维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一
16、阶而告终。此为一阶RL电路的零输入响应的电路的零输入响应的 实质。实质。WR=WL一阶一阶RL电路的零输入响应的求解步骤：电路的零输入响应的求解步骤：求解电路换路前的状态。求解电路换路前的状态。求时间常数：求时间常数：求解电路换路后初始值。（第一节）求解电路换路后初始值。（第一节）代入代入（*）式。式。线性一阶电路的零输入响应的要点：线性一阶电路的零输入响应的要点：响应模式响应模式时间常数取决于电路的结构和参数时间常数取决于电路的结构和参数一阶电路的零输入响应与其换路后的初始值成正一阶电路的零输入响应与其换路后的初始值成正比比例例1、已知开关在、已知开关在a时电路处于稳态，时电路处于稳态，t=
17、0时开关由时开关由a搬到搬到b，求求（1）i=?(t0)。（。（2）若电源电压由）若电源电压由10V变为变为20V，则此时，则此时i为多少？为多少？例例2、已知、已知i(0+)=150mA，求响应，求响应u=?(t0)解法解法1、列微分方程求解、列微分方程求解第三节第三节 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应一、一阶一、一阶RC电路的零状态响应电路的零状态响应如图所示电路，开关闭合前电容器未如图所示电路，开关闭合前电容器未充电即处于零状态：充电即处于零状态：开关闭合后，电源通过开关闭合后，电源通过R、C形成回路，给电容充电。此时形成回路，给电容充电。此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源
18、引起，为零状态电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。响应。此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：一阶一阶RC电路的零状态响应：电路的零状态响应：通解通解(general solution):特解特解(particular solution)：一般与微分方程常数项一般与微分方程常数项（外施激励（外施激励源源）的形式相同的形式相同，是满足原非齐次微分方程的一个解。，是满足原非齐次微分方程的一个解。由由电路知电路知US是换路后电路重新达到稳态即是换路后电路重新达到稳态即t=+时电容电压时电容电压。从从上述过程可以看出：上述过程可
19、以看出：一阶一阶RC电路的零状态响应有以下特点：电路的零状态响应有以下特点：电容上的电压（状态）从初始值开始逐渐增电容上的电压（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。它由两部分组成：加，最后达到新的稳态值。它由两部分组成：a:稳态分量稳态分量(steady stat component)：方程的特方程的特解即解即电路达到稳态时的稳态值电路达到稳态时的稳态值。它受外施激励。它受外施激励源制约，也称为源制约，也称为强制分量强制分量(forced component)b:暂态分量暂态分量(transient component)：方程的通方程的通解其解其变化规律与零输入响应相同变化规律与零
20、输入响应相同按指数规律衰按指数规律衰减为零，只在暂态过程中出现故称暂态分量。减为零，只在暂态过程中出现故称暂态分量。其形式与外施激励源其形式与外施激励源无关无关也称为也称为自由分量自由分量(force-free component)。起始值与外施激励源起始值与外施激励源有关有关。电流在换路瞬间发生突变，其值为电流在换路瞬间发生突变，其值为US/R即换路后的初始值，电即换路后的初始值，电路以此值开始给电容充电，随着极板上的电荷增多电容电压的增路以此值开始给电容充电，随着极板上的电荷增多电容电压的增大，大，i=(US-uC)/R减小，最后为零，电容电压为减小，最后为零，电容电压为US。一阶一阶RC
21、电路的零状态响应电路的零状态响应实质是电路储存电场能的过程实质是电路储存电场能的过程。电源。电源在充电过程中提供的能量，在充电过程中提供的能量，一部分转化成电场能储存在电容一部分转化成电场能储存在电容中，中，一部分被电路中的电阻消耗一部分被电路中的电阻消耗。且有。且有 WC=WR电源提供的能量只有电源提供的能量只有一半储存在电容中。一半储存在电容中。充电效率充电效率50，与电阻电容数值无关。与电阻电容数值无关。二、二、RL电路的零状态响应电路的零状态响应如图所示电路，开关闭合前电感中无电流电路如图所示电路，开关闭合前电感中无电流电路即处于零状态：即处于零状态：开关闭合后电源通过开关闭合后电源通
22、过R、L形成回路，此时电形成回路，此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。为零状态响应。其解由两部分组成：其解由两部分组成：一阶一阶RL电路的零状态响应有以下特点：电路的零状态响应有以下特点：电感上的电流（状态）从初始值开始电感上的电流（状态）从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。其暂逐渐增加，最后达到新的稳态值。其暂态分量和稳态分量的意义与态分量和稳态分量的意义与RC电路相同。电路相同。电压在换路瞬间发生突变，其值为电压在换路瞬间发生突变，其值为US即换路后的初始值，电路以此值开始在即换路后的初始值，电路以此值开始在线圈中储存磁
23、场能。线圈中储存磁场能。一阶一阶RL电路的零状态响应实质是电路储存磁场能的过程。电路的零状态响应实质是电路储存磁场能的过程。电源提供的能量，一部分转化成磁场能储存在电感中，一电源提供的能量，一部分转化成磁场能储存在电感中，一部分被电路中的电阻消耗。且有部分被电路中的电阻消耗。且有 WL=WR电源提供的能量只电源提供的能量只有一半储存在电感中。储能效率有一半储存在电感中。储能效率50，与电阻电感数值无关。与电阻电感数值无关。外施激励源为直流时一阶电路的零状态响应的求解步骤如下：外施激励源为直流时一阶电路的零状态响应的求解步骤如下：求出换路后动态元件以外的戴求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。
24、维南等效电路。据据状态变量状态变量的响应模式得的响应模式得回到回到换路后换路后的原电路，利用的原电路，利用uC（或（或iL）按）按电路的基本约束电路的基本约束关系求解其它电压和电流关系求解其它电压和电流。三、外施激励源为正弦量的一阶电路零状态响应三、外施激励源为正弦量的一阶电路零状态响应在在图示一阶图示一阶RL零状态电路中，若零状态电路中，若其解由两部分组成其解由两部分组成特解：与外施激励源的变化规律相同。特解：与外施激励源的变化规律相同。电路达到稳态时的稳态电路达到稳态时的稳态值值，是，是与与 外施激励源同频率的正弦量。用相量法求之外施激励源同频率的正弦量。用相量法求之：通解通解(暂态分量暂
25、态分量)：(稳态分量在稳态分量在起始时刻的值起始时刻的值)电感电流电感电流电感电流由稳态分量和暂态分电感电流由稳态分量和暂态分量共同组成。暂态分量经一定量共同组成。暂态分量经一定时间衰减后，电路进入稳定状时间衰减后，电路进入稳定状态。态。暂态分量的大小与稳态分暂态分量的大小与稳态分量起始时刻的值成正比。量起始时刻的值成正比。外施激励源为交流时的一阶电路零状态响应的求解步骤：外施激励源为交流时的一阶电路零状态响应的求解步骤：求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。据据状态变量状态变量的响应模式得：的响应模式得：回到回到换路后换路后的原电路，利用的原电路，利
26、用uC（或（或iL）按）按电路的基本约束电路的基本约束关系求解其它电压和电流关系求解其它电压和电流。外施激励源为正弦量时的一阶电路零状态响应实为求解稳态外施激励源为正弦量时的一阶电路零状态响应实为求解稳态值和时间常数两要素。直流激励可看作正弦激励的特例。值和时间常数两要素。直流激励可看作正弦激励的特例。解：求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。解：求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。例例1、书上、书上279页，习题页，习题8-12 第四节第四节 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 三要素法三要素法 对线性电路，由叠加原理可知，全响应为零输入响应和零状态对线性电路，由叠加原理可知，全响应为零
27、输入响应和零状态响应之和。如图所示一阶响应之和。如图所示一阶RC电路：电路：零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应稳态分量稳态分量暂态分量暂态分量零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应稳态分量稳态分量暂态分量暂态分量说明说明（1）各分量含义不同，分量之间不存在一一对应关系。）各分量含义不同，分量之间不存在一一对应关系。（2）零输入响应、零状态响应是着眼于电路中的因果关系，）零输入响应、零状态响应是着眼于电路中的因果关系，而暂态和稳态分量是从电路的两种工作状态考虑。而暂态和稳态分量是从电路的两种工作状态考虑。线性一阶电路线性一阶电路任意一个电路变量的全响应任意一个电路变量的全响应都可分为稳态
28、分都可分为稳态分量（特解）和暂态分量（通解）量（特解）和暂态分量（通解）对于对于状态变量状态变量，“”式第一部分为零状态响应，第二部式第一部分为零状态响应，第二部分为零输入响应。对于分为零输入响应。对于非状态变量非状态变量则不然。则不然。稳态分量、初始值和时间常数称为一阶电路的三个要素，稳态分量、初始值和时间常数称为一阶电路的三个要素，按式（按式（1）来求全响应的方法称为）来求全响应的方法称为“三要素法三要素法”。说明：说明：只适用于一阶线性电路。只适用于一阶线性电路。要具有稳态分量。要具有稳态分量。同样适用于计算零输入响应、零状态响应。同样适用于计算零输入响应、零状态响应。例例1、假设开关闭
29、合前电路已处于稳态，求响应、假设开关闭合前电路已处于稳态，求响应iL(t)?t0。解：解：例例2、图示含受控源电路，已知、图示含受控源电路，已知iL(0-)=-1A，开关闭合前电，开关闭合前电路处于稳定状态。求路处于稳定状态。求uL(t)?t0。例例3、电路在开关闭合前处于零状态，求开关闭合后的、电路在开关闭合前处于零状态，求开关闭合后的i(t)？此电路电流能否一跃而致稳态，若可能，各个电路参数？此电路电流能否一跃而致稳态，若可能，各个电路参数应如何选配？应如何选配？解：可视为两个一阶电路的并联解：可视为两个一阶电路的并联第五节第五节 一阶电路的阶跃响应和冲激响应一阶电路的阶跃响应和冲激响应一
30、、单位阶跃函数（一、单位阶跃函数（unit step function）在前述电路中当在前述电路中当t=0时换路，将电源接入时换路，将电源接入电路的过程可用下列方法表示：电路的过程可用下列方法表示：这一切换特性可用阶跃函数表示。这一切换特性可用阶跃函数表示。ttt0特性特性：可描述任意函数的起始和终止即定义域，具有可描述任意函数的起始和终止即定义域，具有“裁剪裁剪”的作用，称的作用，称其为其为闸门函数闸门函数。将将分段函数写成封闭形式分段函数写成封闭形式ttt0tt0f(t)二、单位冲激函数（二、单位冲激函数（unit impule function）t1t1“强度强度”为为K的延时的单位冲激
31、函数的延时的单位冲激函数延时的单位冲激函数延时的单位冲激函数特性：采样性或筛分性特性：采样性或筛分性三、单位冲激函数与单位阶跃函数的关系三、单位冲激函数与单位阶跃函数的关系说明：冲激函数能把一个函数在冲激函数存在时刻的函数说明：冲激函数能把一个函数在冲激函数存在时刻的函数值筛分出来。值筛分出来。四、一阶电路的阶跃响应四、一阶电路的阶跃响应阶跃响应：阶跃响应：零初始状态零初始状态电路，在电路，在单位单位阶阶跃电压（电流）的激励下所引起的响应。跃电压（电流）的激励下所引起的响应。据零状态响应的求解方法据零状态响应的求解方法任意恒定输入时的零状态响应是单位阶跃响应的任意恒定输入时的零状态响应是单位阶
32、跃响应的线性函线性函数数：利用线性电路的特性，多次换路的情况看作不同阶跃响应利用线性电路的特性，多次换路的情况看作不同阶跃响应的叠加。的叠加。例例8-10 图示电路接入图示的矩形脉冲电压，已知图示电路接入图示的矩形脉冲电压，已知uC(0)=0，试求：，试求：uC及及i。解：解：五、一阶电路的冲激响应：零初始状态电路在五、一阶电路的冲激响应：零初始状态电路在单位冲激函单位冲激函数数激励下所引起的响应。激励下所引起的响应。当电容有冲激电流通过时，电容电压将发生当电容有冲激电流通过时，电容电压将发生跃变跃变.在在冲激激励下冲激激励下,电容电压发生跃变电容电压发生跃变,即在即在换路瞬间换路瞬间,电容短
33、路电容短路，电压跃变到，电压跃变到1/C,t0以后电路的输入为零以后电路的输入为零,所以所以电路的冲激响电路的冲激响应相当于应相当于uc(0+)=1/C所引起的零输入响应。所引起的零输入响应。单位冲激函数是单位阶跃函数的一阶导数，据线性电路单位冲激函数是单位阶跃函数的一阶导数，据线性电路的特性则的特性则单位冲激响应是单位阶跃响应的一阶导数。单位冲激响应是单位阶跃响应的一阶导数。例例8-11、图示电路已知、图示电路已知iL(0-)=0，输入为冲激电压源。试求，输入为冲激电压源。试求iL和和uL的冲激响应。的冲激响应。例：已知例：已知R1=600，R2=400，L=100mH。求冲激响应。求冲激响
34、应iL，uL？例：求零状态响应例：求零状态响应us(t)?第六节第六节 线性二阶动态电路的分析线性二阶动态电路的分析二阶二阶电路电路：换路后，电路含有两个独立的线性储能换路后，电路含有两个独立的线性储能元件。独立性是指：两个电容不构成元件。独立性是指：两个电容不构成纯电容回路纯电容回路（含电压源），两个电感不构成（含电压源），两个电感不构成纯电感割集纯电感割集（含电（含电流源）。其流源）。其电路方程是二阶常系数微分方程，称为电路方程是二阶常系数微分方程，称为二阶电路（二阶电路（second order circuit）。以以uc(t)为变量为变量此为二阶常系数线性非齐次微分方程此为二阶常系数线
35、性非齐次微分方程一、二阶电路的零输入响应一、二阶电路的零输入响应上述电路中若外施激励为零，由动态电路的初始上述电路中若外施激励为零，由动态电路的初始状态引起的响应则为二阶电路的零输入响应，其状态引起的响应则为二阶电路的零输入响应，其对应的微分方程为：对应的微分方程为：特征方程：特征方程：一、二阶电路的零输入响应：一、二阶电路的零输入响应：特征根特征根具体解的情况如下：具体解的情况如下：具体解的情况具体解的情况电容始终在放电；电感开始电容始终在放电；电感开始储存磁场能，到达最大后释储存磁场能，到达最大后释放；电阻始终耗能。放；电阻始终耗能。具体解的情况具体解的情况电容开始充电，储存电场能到最大后
36、放电容开始充电，储存电场能到最大后放电；电感开始释放磁场能，后储存磁场电；电感开始释放磁场能，后储存磁场能到达最大后释放；电阻始终耗能。能到达最大后释放；电阻始终耗能。电感、电容的能量的变化过程介于上述电感、电容的能量的变化过程介于上述两种情况之间。两种情况之间。由以上三种情况可看出，由于电阻值由以上三种情况可看出，由于电阻值较大，电容和电感能量非振荡的释放完较大，电容和电感能量非振荡的释放完毕。电路这一非振荡衰减过程也称为毕。电路这一非振荡衰减过程也称为过过阻尼阻尼(over-damped)工作状态。工作状态。具体解的情况具体解的情况变化过程如图：变化过程如图：电路这一接近振荡衰减过程也称为
37、电路这一接近振荡衰减过程也称为临界阻尼临界阻尼(critically-damped)工作状态。工作状态。由于电阻较小，由于电阻较小，L、C周周期性的交换能量，呈振荡期性的交换能量，呈振荡衰减的变化趋势。称为衰减的变化趋势。称为欠欠阻尼阻尼(under-damped)工工作状态作状态具体解的情况具体解的情况无阻尼等幅振荡（无阻尼等幅振荡（no-damped oscillation）二二、任意二阶电路、任意二阶电路零输入响应的求解零输入响应的求解列写微分方程（最好列写微分方程（最好以状态量为变量以状态量为变量）一般的二阶电路一般的二阶电路将将动态元件用独立源替代，电路变为电阻电路动态元件用独立源替
38、代，电路变为电阻电路，求解其它，求解其它电气量电气量例例.已知电路换路前处于稳态，求换路后已知电路换路前处于稳态，求换路后uC(t)?t0。三、二阶电路的零状态响应三、二阶电路的零状态响应其解由其解由两部分组成两部分组成（1）通解：）通解：（2）特解：与微分方程常数项形式相同）特解：与微分方程常数项形式相同（3）完全解：）完全解：（4）四、激励为冲激函数的零状态响应四、激励为冲激函数的零状态响应根据跃变以后的初始值按零输入的响应模式求解。根据跃变以后的初始值按零输入的响应模式求解。零状态响应与一阶电路的冲激响应相似，可按零状态响应与一阶电路的冲激响应相似，可按电路的物理过程分两步求解。电路的物
39、理过程分两步求解。此微分方程是齐次方程，其求解的方法与零输入响应相同，此微分方程是齐次方程，其求解的方法与零输入响应相同，不再重复。不再重复。例例8-15.图示电路，已知图示电路，已知R=1，L=1H，C=1F，uC(0-)=0，iL(0-)=0，试求冲激响，试求冲激响应应iL(t)及及uC(t)。五、二阶电路的全响应五、二阶电路的全响应（1）叠加法：分别按前述方法求出零输入）叠加法：分别按前述方法求出零输入响应和零状态响应，合成。响应和零状态响应，合成。（2）直接列写方程法：照求解零状态响应方）直接列写方程法：照求解零状态响应方法，只是确定系数稍有不同。即法，只是确定系数稍有不同。即对对任意
40、电路任意电路第七节第七节 状态方程状态方程在二阶电路的分析中，若已解得电在二阶电路的分析中，若已解得电容电压和电感电流，则将电容用电容电压和电感电流，则将电容用电压源替代，电感用电流源替代后，压源替代，电感用电流源替代后，电路就变成了电阻电路，此时再列电路就变成了电阻电路，此时再列写其它响应的方程则为代数方程，写其它响应的方程则为代数方程，求解就很容易了。因此，对动态电求解就很容易了。因此，对动态电路的分析关键是对路的分析关键是对状态变量的分析状态变量的分析。状态：指网络在某给定时刻状态：指网络在某给定时刻t0所必须具备的一组最少量信息。所必须具备的一组最少量信息。状态变量：描述网络状态的一组
41、为数最少的变量。例如电状态变量：描述网络状态的一组为数最少的变量。例如电容电压容电压uC和电感电流和电感电流iL就可以是一组状态变量，亦可取电容就可以是一组状态变量，亦可取电容电荷电荷q及电感磁链及电感磁链作为状态变量。作为状态变量。一、状态方程和输出方程一、状态方程和输出方程图示二阶电路若以一个状态量为变图示二阶电路若以一个状态量为变量则列写的是一个二阶微分方程，量则列写的是一个二阶微分方程，若以两个状态量若以两个状态量(uc,iL)为变量则可为变量则可列写两个一阶微分方程，即一阶微列写两个一阶微分方程，即一阶微分方程组：分方程组：节点节点回路：回路：又有：又有：此式是状态变量的一阶此式是状
42、态变量的一阶导数与状态变量及外施导数与状态变量及外施激励源之间的关系方程，激励源之间的关系方程，称为称为状态方程（状态方程（state equation）。）。一阶线性微分方程组：一阶线性微分方程组：矩阵形矩阵形式式推广：推广：对于具有对于具有n个独立的动态元件，个独立的动态元件，m个输入的线性网络个输入的线性网络 ，其状态方程可写成以下形式（标准形式），其状态方程可写成以下形式（标准形式）若状态变量已知，若状态变量已知，其它的响应其它的响应（输出量）则（输出量）则为状态变量与为状态变量与输入量的线性组合输入量的线性组合（输出方程）。（输出方程）。二、状态变量的选取二、状态变量的选取 网络的状
43、态变量的个数就是网络的状态变量的个数就是电路的电路的独立动态元件的个数独立动态元件的个数。也就是一阶微分方程组中方程也就是一阶微分方程组中方程的个数。通常称为网络的复杂的个数。通常称为网络的复杂性的阶或网络的阶。性的阶或网络的阶。对于不含受控源的网络，若其储能元件的个数为对于不含受控源的网络，若其储能元件的个数为nCL，纯电容纯电容回路数回路数(与电压源并联的电容数与电压源并联的电容数)为为nC，纯电感割集数（与电流源纯电感割集数（与电流源串联的电感数）为串联的电感数）为nL，则独立变量数为：则独立变量数为：电路中含有纯电容回路时，据电路中含有纯电容回路时，据KVL：回路中必然有一个电容电回路
44、中必然有一个电容电压能被其它电容电压表示（不独立）；含有纯电感割集时，据压能被其它电容电压表示（不独立）；含有纯电感割集时，据KCL：割集中必然有一个电感电流能被被其它电感电流表示（不割集中必然有一个电感电流能被被其它电感电流表示（不独立）。独立）。不独立的电容电压电感电流不能作为网络的状态变量不独立的电容电压电感电流不能作为网络的状态变量。不含有纯电容回路和纯电感割集的网络称为不含有纯电容回路和纯电感割集的网络称为常态网络常态网络(proper network)，常态网络中所有的电容电压和电感电流都是独立的，常态网络中所有的电容电压和电感电流都是独立的，一般选取所有的状态量为变量。一般选取所
45、有的状态量为变量。三、状态方程的列写三、状态方程的列写（1）直观列写法（状态变量数少）：）直观列写法（状态变量数少）：对只含对只含一个电容的节点（割集）列写一个电容的节点（割集）列写KCL方程；方程；对对只含只含一个电感的回路列写一个电感的回路列写KVL方程；方程；通过其它的通过其它的KVL和和KCL方程消去非状态变量方程消去非状态变量例例.列写图示电路的状态方程列写图示电路的状态方程.解解（1）选择选择节点列节点列KCL方程方程（2）选择回路）选择回路1列写列写KVL方程方程（3）选择回路）选择回路2列写列写KVL方程消去非状态变量方程消去非状态变量代入（代入（1）（）（2）两）两步整理后得
46、：步整理后得：直观列写法直观列写法写成写成标准形式标准形式：例例.写出图示电路的状态方程写出图示电路的状态方程解：解：（2）系统列写法：）系统列写法：将将电路中电路中每一个元件作为一个支路每一个元件作为一个支路画有向图；画有向图；选择特有树（选择特有树（proper tree）：）：包含所有的电容和电压源支包含所有的电容和电压源支路及必要的电阻，不包含任何电感和电流源支路；也就是路及必要的电阻，不包含任何电感和电流源支路；也就是电容和电压源放在树支上，电感和电流源放在连支电容和电压源放在树支上，电感和电流源放在连支上上;对对电容树支确定的基本割集列写电容树支确定的基本割集列写KCL方程；方程；对电感连支确定的基本回路列写对电感连支确定的基本回路列写KVL方程；方程；通过其它树支（除电压源通过其它树支（除电压源）割集的割集的KCL和和连支（除电流源）连支（除电流源）回路的回路的KVL方程消去非状态变量。方程消去非状态变量。0012345678系统列写法：系统列写法：123456780含含C2割集：割集：含含C3割集：割集：含含L4回路：回路：含含R1回路：回路：含含R2割集：割集：含含R4割集：割集：由由解得：解得：将将代入方程代入方程整理得：整理得：系统列写法：系统列写法：