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1、运筹学运筹学第第13章章 存贮论存贮论第第3节节 随机性存储模型随机性存储模型第第13章章 存贮论存贮论第第3节节 随机性存储模型随机性存储模型第第4节节 其他类型存贮问题其他类型存贮问题 第第3节节 随机性存储模型随机性存储模型随机性存储模型的重要特点是需求为随机的，其概率或分布为已知。在这种情况下，前面所介绍过的模型已经不能适用了。例如商店对某种商品进货500件，这500件商品可能在一个月内售完，也有可能在两个月之后还有剩余。商店如果想既不因缺货而失去销售机会，又不因滞销而过多积压资金，这时必须采用新的存储策略 可供选择的策略主要有三种(1)定期订货，但订货数量需要根据上一个周期末剩下货物
2、的数量决定订货量。剩下的数量少，可以多订货。剩下的数量多，可以少订或不订货。这种策略可称为定期订货法。(2)定点订货，存储降到某一确定的数量时即订货，不再考虑间隔的时间。这一数量值称为订货点，每次订货的数量不变，这种策略可称之为定点订货法。(3)把定期订货与定点订货综合起来的方法，隔一定时间检查一次存储，如果存储数量高于一个数值s，则不订货。小于s时则订货补充存储，订货量要使存储量达到S，这种策略可以简称为(s,S)存储策略。与确定性模型不同的特点还有：不允许缺货的条件只能从概率的意义方面理解，如不缺货的概率为0.9等。存储策略的优劣通常以赢利的期望值的大小作为衡量的标准。为了讲清楚随机性存储
3、问题的解法，先通过一个例题介绍求解的思路。例例7某商店拟在新年期间出售一批日历画片，每售出一千张可赢利700元。如果在新年期间不能售出，必须削价处理，作为画片出售。由于削价，一定可以售完，此时每千张赔损400元。根据以往的经验，市场需求的概率见表13-1。表13-1每年只能订货一次，问应订购日历画片几千张才能使获利的期望值最大?解解 如果该店订货4千张，我们计算获利的可能数值订购量为4千张时获利的期望值：EC(4)=(-1600)0.05 +(-500)0.10+6000.25 +17000.35+28000.15 +28000.10 =1315(元)上述计算法及结果列于表13-2获利期望值最
4、大者标有(*)记号，为1440元。可知该店订购3000张日历画片可使获利期望值最大。从相反的角度考虑求解当订货量为Q时，可能发生滞销赔损(供过于求的情况)，也可能发生因缺货而失去销售机会的损失(求过于供的情况)。把这两种损失合起来考虑，取损失期望值最小者所对应的Q值。订购量为2千张时，损失的可能值：当订货量为2千张时，缺货和滞销两种损失之和的期望值EC(2)=(-800)0.05 +(-400)0.10+00.25 +(-700)0.35+(-1400)0.15 +(-2100)0.10 =745(元)按此算法列出表13-3。表13-3比较表中期望值以-485最大，即485为损失最小值。该店订
5、购3000张日历画片可使损失的期望值最小。这结论与前边得出的结论一样，都是订购3000张。这说明对同一问题可从两个不同的角度去考虑：一是考虑获利最多，一是考虑损失最小。这是一个问题的不同表示形式。3.1 模型五：需求是随机离散的模型五：需求是随机离散的报童问题：报童每日售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸赚k元。如报纸未能售出，每份赔h元。每日售出报纸份数r的概率P(r)根据以往的经验是已知的，问报童每日最好准备多少份报纸?这个问题是报童每日报纸的订货量Q为何值时，赚钱的期望值最大?反言之，如何适当地选择Q值，使因不能售出报纸的损失及因缺货失去销售机会的损失，两者期望值之和最小。现在用计
6、算损失期望值最小的办法求解。解解 设售出报纸数量为r，其概率P(r)为已知设设 报童订购报纸数量为Q。供过于求时(rQ)，这时报纸因不能售出而承担的损失，其期望值为：供不应求时(rQ)，这时因缺货而少赚钱的损失，其期望值为：综合，两种情况，当订货量为Q时，损失的期望值为：要从式中决定Q的值，使C(Q)最小。由于报童订购报纸的份数只能取整数，r是离散变量，所以不能用求导数的方法求极值。为此设报童每日订购报纸份数最佳量为Q，其损失期望值应有：C(Q)C(Q+1)C(Q)C(Q-1)从出发进行推导有 由出发进行推导有 报童应准备的报纸最佳数量Q应按下列不等式确定：从赢利最大来考虑报童应准备的报纸数量
7、。设报童订购报纸数量为Q，获利的期望值为C(Q)，其余符号和前面推导时表示的意义相同。此时赢利的期望值为：当需求rQ时，报童因为只有Q份报纸可供销售，赢利的期望值为无滞销损失。由以上分析知赢利的期望值：为使订购Q赢利的期望值最大，应满足下列关系式：C(Q+1)C(Q)C(Q-1)C(Q)从式推导，经化简后得同理从推导出 用以下不等式确定Q的值，这一公式与(13-25)式完全相同。现利用公式(13-25)解例7的问题。已知：k=7,h=4,P(0)=0.05，P(1)=0.10，P(2)=0.25，P(3)=0.35知该店应订购日历画片3千张。例8某店拟出售甲商品，每单位甲商品成本50元，售价7
8、0元。如不能售出必须减价为40元，减价后一定可以售出。已知售货量r的概率服从泊松分布(=6为平均售出数)问该店订购量应为若干单位?解解 该店的缺货损失，每单位商品为70-50=20。滞销损失，每单位商品50-40=10，利用(15-13)式，其中k=20，h=10 因故订货量应为：7单位，此时损失的期望值最小。例例9 上题中如缺货损失为10元，滞销损失为20元。在这种情况下该店订货量应为若干?解解 利用(15-13)式，其中k=10,h=20查统计表，找与0.3333相近的数 F(4)0.3333F(5)，故订货量应为甲商品5个单位。答答 该店订货量为5个单位甲商品。模型五只解决一次订货问题，
9、对报童问题实际上每日订货策略问题也应认为解决了。但模型中有一个严格的约定，即两次订货之间没有联系，都看作独立的一次订货。这种存储策略也可称之为定期定量订货。3.2 模型六：需求是连续的随机变量模型六：需求是连续的随机变量设设 货物单位成本为K，货物单位售价为P，单位存储费为C1，需求r是连续的随机变量，密度函数为(r)，(r)dr表示随机变量在r与r+dr之间的概率，其分布函数生产或订购的数量为Q，问如何确定Q的数值，使赢利的期望值最大?解解 首先我们来考虑当订购数量为Q时，实际销售量应该是minr,Q。也就是当需求为r而r小于Q时，实际销售量为r；rQ时，实际销售量只能是Q赢利的期望值：记为
10、使赢利期望值极大化，有下列等式：(13-26)式表明了赢利最大与损失极小所得出的Q值相同。(13-27)式表明最大赢利期望值与损失极小期望值之和是常数。从表13-2与表13-3中对应着相同的Q，去掉13-3表中数据的负号后，两者期望值之和皆为19.25，称为该问题的平均盈利。求赢利极大可以转化为求EC(Q)(损失期望值)极小。当Q可以连续取值时，EC(Q)是Q的连续函数。可利用微分法求最小。从此式中解出Q，记为Q*，Q*为EC(Q)的驻点。又因知Q*为EC(Q)的极小值点，在本模型中也是最小值点。令 若P-K0显然由于F(Q)0，等式不成立，此时Q*取零值。即售价低于成本时，不需要订货(或生产
11、)。式中只考虑了失去销售机会的损失，如果缺货时要付出的费用C2P时，应有按上述办法推导得模型五及模型六都是只解决一个阶段的问题。从一般情况来考虑，上一个阶段未售出的货物可以在第二阶段继续出售。这时应该如何制定存储策略呢?假设 上一阶段未能售出的货物数量为 I，作为本阶段初的存储，有定期订货，订货量不定的存储策略 3.3 模型七：模型七：(s,S)型存储策略型存储策略1.需求为连续的随机变量设设 货物的单位成本为K,单位存储费用为C1，每次订购费为C2，需求r是连续的随机变量 ，密度函数为，分布函数，期初存储量为I，定货量为Q，此时期初存储达到S=I+Q。问如何确定Q的值，使损失的期望值最小(赢
12、利的期望值最大)?本阶段需订货费 本阶段所需订货费及存储费、缺货费期望值之和Q可以连续取值，C(S)是S的连续函数。本阶段的存储策略：当sS时不等式右端存储费用期望值大于左端存储费用期望值，右端缺货费用期望值小于左端缺货费用期望值；一增一减后仍然使不等式成立的可能性是存在的。如有不止一个s的值使下列不等式成立，则选其中最小者作为本模型(s,S)存储策略的s。相应的存储策略是：每阶段初期检查存储，当库存Is时，需订货，订货的数量为Q，Q=S-I。当库存Is时，本阶段不订货。这种存储策略是：定期订货但订货量不确定。订货数量的多少视期末库存I来决定订货量Q，Q=S-I。对于不易清点数量的存储，人们常
13、把存储分两堆存放，一堆的数量为s，其余的另放一堆。平时从另放的一堆中取用，当动用了数量为s的一堆时，期末即订货。如果未动用s的一堆时，期末即可不订货，俗称两堆法。2需求是离散的随机变量时本阶段所需的各种费用：本阶段所需的各种费用：本阶段所需的各种费用：求解(3)求S的值使C(S)最小。因为选出使C(Si)最小的S值，由可推导出因 即 由同理可推导出 综合以上两式，得到为确定Si的不等式其中综合上面两式，例例10 解解：下面对答案进行验证分别计算S为30，40，50所需订货费及存储费期望值、缺货费期望值三者之和。比较它们看是否当S为40时最小(见表13-4)。计算s的方法：考查不等式(13-31
14、)分别将30，40代人(13-31)将30作为s值代入(13-31)式左端得80030+1015(40-30)0.2+(50-30)0.4+(60-30)0.2=40240将40代入(13-31)式左端得60+80040+40(40-30)0.2+1015(50-40)0.4+(60-40)0.2=40260解答即左端数值为40240，右端数值为40260，不等式成立，30已是r的最小值故s=30。例10 的存储策略为每个阶段开始时检查存储量I，当I30箱时不必补充存储。当I30箱时补充存储量达到40箱。例11 某厂对原料需求量的概率为P(r=80)=0.1，P(r=90)=0.2，P(r=1
15、00)=0.3P(r=110)=0.3，P(r=120)=0.1订货费C3=2825元，K=850元存储费C1=45元(在本阶段的费用)缺货费C2=1250元(在本阶段的费用)求该厂存储策略。：求解 求解答该厂存储策略每当存储I80时补充存储，使存储量达到100，每当存储I80时不补充。例12 某市石油公司，下设几个售油站。石油存放在郊区大型油库里，需要时用汽车将油送至各售油站。该公司希望确定一种补充存储的策略，以确定应储存的油量。该公司经营石油品种较多，其中销售量较多的一种是柴油。因之希望先确定柴油的存储策略。经调查后知每月柴油出售量服从指数分布，平均销售量每月为一百万升。其密度为：柴油每升
16、2元，不需订购费。由于油库归该公司管辖，油池灌满与未灌满时的管理费用实际上没有多少差别，故可以认为存储费用为零。如缺货就从邻市调用，缺货费3元/升。求柴油的存储策略。解 根据例12中条件知C1=0，C3=0，K=2，C2=3，计算临界值。利用(13-31)式,由观察，它有唯一解s=S，3.4 模型八：需求和备货时间都是随机离散的模型八：需求和备货时间都是随机离散的(仅通过具体例题介绍求解法仅通过具体例题介绍求解法)若若t时间内的需求量时间内的需求量r是随机的，其概率是随机的，其概率t(r)已知，已知，单位时间内的平均需求为单位时间内的平均需求为也是已知的，则也是已知的，则t时间时间内的平均需求
17、为内的平均需求为t。备货时间。备货时间x是随机的，其概率是随机的，其概率P(x)已知。已知。设设 单位货物年存储费用为单位货物年存储费用为C1，每阶段单位货物，每阶段单位货物缺货费用为缺货费用为C2，每次订购费用为，每次订购费用为C3，年平均需求，年平均需求为为D。由于需求、备货时间都是随机的，应有缓。由于需求、备货时间都是随机的，应有缓冲冲(安全安全)存储量存储量B，以减少发生缺货现象。，以减少发生缺货现象。L：订货点，：订货点，B：缓冲存储量，：缓冲存储量，x1,x2,备货时间备货时间(见图见图13-11)。图13-11问如何确定缓冲存储量B，订货点L，以及订货量Q0，使总费用最小?对这种
18、类型问题的解法 PL的计算很繁，简化计算例例13 (模型八)某厂生产中需用钢材，t 时间内需求的概率服从泊松分布：例13例 13年存储费用每吨为50元，每次订购费用为1500元，缺货费用每吨为5000元，问每年应分多少批次?又订购量Q，缓冲存储量B，订货点L，各为何值才使费用最少?解：下面计算L及B，各步算出的数值列于表13-5。续 表13-5续 表13-5根据表13-5算出PL、B和费用的数值见表13-6。说明:备货时间小于13，或大于18者，因为它们的概率很小，故略去。L的选值可以多一些，如保证可以选到最小值，L选值也可少一些。由表中可以看到当L=25，B=10费用588*为最小。据此即可
19、确定存储策略。答答 该厂定购批量为146吨，定购点为25吨，每年订货2.次(两年订货5次)，缓冲存储量为10吨。当清点存储花费劳动多，或清点困难时，人们常把存储物分成三堆存放。以例13来说，将缓冲存储量B=10吨放一处，称之为第三堆。将平均拖后时间内的平均需求量DL=15吨放另一处称第二堆。第三堆、第二堆之和等于订货点25吨。其余存储另放一处称第一堆。平日从第一堆取用，第一堆用完，动用第二堆时，立即订货。动用第三堆时，即需采取措施以防缺货。第第4节节*其他类型存储问题其他类型存储问题有些存储问题远较本章所述模型复杂，上述公式不能用来求解，也可以利用运筹学的其他方法求解。如水库储水的调度问题，有
20、人利用排队论方法处理问题，有人利用动态规划方法，都做出了成绩。下面介绍一个例题，与本章前述的方法无关，可用线性规划方法求解。4.1 库容有限制的存储问题例例14 已知仓库最大容量为A，原有存储量为I，要计划在m个周期内，确定每一个周期的合理进货量与销售量，使总收入最多。已知第i个周期出售一个单位货物的收入为ai，而订购一个单位货物的订货费为bi，(i=1,2,，m)。：例例14：解：解 设xi,yi分别为第i个周期的进货量及售货量，这时总收入为要求出xi,yi使C达到最大值(i=1,2,，m)。容易理解xi,yi，这些变量不能任意取值。(1)它们受到库容的限制，即进货量加上原有存储量不能超过A；(2)每个周期的售出量不能超过该周期的存储量；(3)进货量及售出量不能取负值。用方程组表示上述的限制(约束条件)：第13章 结束