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1、导数的应用2021/8/11 星期三1导数的应用举例导数的应用举例 1 解解:(1)由已知由已知 f(x)=3x2-x-2,(2)命题等价于命题等价于 f(x)在在-1,2 上的最大值小于上的最大值小于 m.单调递增区间是单调递增区间是(-,-)和和(1,+).23 设设 f(x)=x3-x2-2x+5.(1)求函数求函数 f(x)的单调递增、递减区间的单调递增、递减区间;(2)当当 x-1,2 时时,f(x)m 恒成立恒成立,求实数求实数 m 的取值范围的取值范围.12令令 f(x)0 得得-x0 得得 x1.23y=f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-,1);2323令令 f(x)
2、=0 得得 x=-或或 1.12f(1)=3 ,f(2)=7,f(-1)=5 ,12f(-)=5 ,232722f(x)在在-1,2 上的最大值为上的最大值为 7.7m.故实数故实数 m 的取值范围是的取值范围是(7,+).2021/8/11 星期三2导数的应用举例导数的应用举例 2 解解:(1)函数函数 f(x)的定义域为的定义域为(-1,+).当当 a0,f(x)在在(-1,+)上为增函数上为增函数;设设 f(x)=x+1-aln(x+1),a R,且且 a 0,取取e=2.7.(1)求求 f(x)的的单调区间单调区间;(2)比较比较 x+1 与与 ln(x+1)的大小的大小,并加以证明并
3、加以证明.2(x+1)x+1-2a=.又又 f(x)=-2 x+11 x+1a当当 a0 时时,令令 f(x)0 得得-1x0 得得 x4a2-1.当当 a0 时时,f(x)在在(-1,4a2-1)上为减函数上为减函数,在在(4a2-1,+)上为增函数上为增函数.综上所述综上所述,当当 a0 时时,f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(-1,4a2-1),单调递增区间为单调递增区间为(4a2-1,+).2021/8/11 星期三3导数的应用举例导数的应用举例 2 由由(1)知知 g(x)在在(-1,3)上为减函数上为减函数,设设 f(x)=x+1-aln(x+1),a R,且且 a 0,取
4、取e=2.7.(1)求求 f(x)的的单调区间单调区间;(2)比较比较 x+1 与与 ln(x+1)的大小的大小,并加以证明并加以证明.解解:(2)x+1 ln(x+1),证明如下证明如下:=2-ln40.g(x)g(3)0.即即 x+1 ln(x+1).设设 g(x)=x+1-ln(x+1),又又 g(3)=3+1-ln(3+1)在在(3,+)上为增函数上为增函数,2021/8/11 星期三4导数的应用举例导数的应用举例 3 设函数设函数 f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0a1.(1)求函数求函数 f(x)的单的单调区间、极值调区间、极值;(2)若当若当 x a+1,a+2 时时,
5、恒有恒有|f(x)|a,试确定试确定 a的取值范围的取值范围.13解解:(1)由已知由已知 f(x)=-x2+4ax-3a2,0a1,a3a.令令 f(x)=0 得得 x=a 或或 x=3a.当当 x 变化时变化时,f(x),f(x)的变化情况如下的变化情况如下表表:x(-,a)a(a,3a)3a(3a,+)f(x)-0+0-f(x)极小值极小值 极大值极大值 由上表可知由上表可知,f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(a,3a),单调单调递减区间是递减区间是(-,a)和和(3a,+).当当 x=a 时时,f(x)取极小值取极小值 f(a)=-a3+b;43当当 x=3a 时时,f(x)取
6、极大值取极大值 f(3a)=b.2021/8/11 星期三5导数的应用举例导数的应用举例 3 设函数设函数 f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0a1.(1)求函数求函数 f(x)的单的单调区间、极值调区间、极值;(2)若当若当 x a+1,a+2 时时,恒有恒有|f(x)|a,试确定试确定 a的取值范围的取值范围.13解解:(2)0a1,2aa+1.f(x)max=f(a+1)=2a-1,f(x)=-x2+4ax-3a2 在在 a+1,a+2 上为减函数上为减函数.f(x)min=f(a+2)=4a-4.当当 x a+1,a+2 时时,恒有恒有|f(x)|a,即即-af(x)a 恒成恒
7、成立立.4a-4-a 且且 2a-1a.解得解得 a1.45又又 0a1,故故 a 的取值范围是的取值范围是 ,1).452021/8/11 星期三6 已知函数已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在在 x=0 处取得极值处取得极值,曲线曲线 y=f(x)过原点和点过原点和点 P(-1,2).若曲线若曲线 f(x)在点在点 P 处的切线与直线处的切线与直线 y=2x的夹角为的夹角为45,且倾角为钝角且倾角为钝角.(1)求求 f(x)的解析式的解析式;(2)若若 f(x)在区间在区间 2m-1,m+1 递增递增,求求 m 的取值范围的取值范围.导数的应用举例导数的应用举例 4 解解:(1
8、)曲线曲线 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 过原过原点点,f(0)=0d=0.f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=3ax2+2bx+c.函数函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在在 x=0 处取得极值处取得极值,f(0)=0c=0.过点过点 P(-1,2)的切线斜率为的切线斜率为 f(-1)=3a-2b,而而曲线曲线 f(x)在在 点点 P 的切线与直线的切线与直线 y=2x 的夹角为的夹角为45,且倾角为钝角且倾角为钝角,解得解得 f(-1)=-3.又又 f(-1)=2,|=1 且且 f(-1)0 x0,f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(-,-2 和和 0,+).函数
9、函数 f(x)在区间在区间 2m-1,m+1 递增递增,2m-12m-10.2m-1,m+1 (-,-2 或或 2m-1,m+1 0,+).解得解得 m-3 或或 m2.12即即 m 的取值范围是的取值范围是(-,-3 ,2).122021/8/11 星期三8导数的应用举例导数的应用举例 5 已知函数已知函数 f(x)=x3-ax2-3x.(1)若若 f(x)在区间在区间 1,+)上是增上是增函数函数,求实数求实数 a 的取值范围的取值范围;(2)若若 x=-是是 f(x)的极值点的极值点,求求 f(x)在在 1,a 上的最大值上的最大值;(3)在在(2)的条件下的条件下,是否存在实数是否存在
10、实数 b,使得函数使得函数 g(x)=bx 的图象与函数的图象与函数 f(x)的图象恰有三个交点的图象恰有三个交点,若存在若存在,求出实数求出实数 b 的取值范围的取值范围;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.13解解:(1)由已知由已知 f(x)=3x2-2ax-3.f(x)在区间在区间 1,+)上是增函数上是增函数,在在 1,+)上恒有上恒有 f(x)0,即即 3x2-2ax-30 在在 1,+)上恒成立上恒成立.则必有则必有 1 且且 f(1)=-2a0.a3解得解得 a0.故实数故实数 a 的取值范围是的取值范围是(-,0.由于由于 f(0)=-30 且且 3+b 0.解得解得 b
11、-7 且且 b-3.故实数故实数 b 的取值范围是的取值范围是(-7,-3)(-3,+).2021/8/11 星期三10 已知函数已知函数 f(x)=x2eax,其中其中 a0,e 为自然对数的底数为自然对数的底数.(1)讨讨论函数论函数 f(x)的单调性的单调性;(2)求函数求函数 f(x)在区间在区间 0,1 上的最大上的最大值值.导数的应用举例导数的应用举例 6 解解:(1)f(x)=x2eax,f(x)=2xeax+x2eax a=(ax2+2x)eax.a0,对对函数函数 f(x)的单调性可讨论如下的单调性可讨论如下:当当 a=0 时时,由由 f(x)0 得得 x0 得得 x0.f(
12、x)在在(-,0)上单调递减上单调递减,在在(0,+)上单调递上单调递增增;当当 a0 时时,由由 f(x)0 得得 x-;2a由由 f(x)0 得得 0 x-.2a在在(-,+)上也单调递上也单调递减减.2af(x)在在(0,-)上单调递增上单调递增,在在(-,0)上单调递减上单调递减,2a2021/8/11 星期三11 已知函数已知函数 f(x)=x2eax,其中其中 a0,e 为自然对数的底数为自然对数的底数.(1)讨讨论函数论函数 f(x)的单调性的单调性;(2)求函数求函数 f(x)在区间在区间 0,1 上的最大上的最大值值.导数的应用举例导数的应用举例 6 解解:(2)由由(1)知
13、当知当 a=0 时时,f(x)在区间在区间 0,1 上为增函上为增函数数;当当 a=0 时时,f(x)在区间在区间 0,1 上的最大值为上的最大值为 f(1)=1;当当-2a0 时时,f(x)在区间在区间 0,1 上为增函数上为增函数;当当 a-2 时时,f(x)在区间在区间 0,1 上的最大值为上的最大值为:当当 a-2 时时,f(x)在区间在区间 0,1 上先增后减上先增后减,当当-2a0 时时,f(x)在区间在区间 0,1 上的最大值为上的最大值为 f(1)=ea;且在且在 x=-时取最大值时取最大值.2af(-)=.2aa2e2 42021/8/11 星期三12导数的应用举例导数的应用
14、举例 7 证证:(1)x1 时时,g(x)0,g(x)在在(1,+)上为增函上为增函数数.又又 g(x)在在 x=1 处连续处连续,f(x)=lnx2.已知函数已知函数 f(x)=lnx.(1)求证求证:当当 1xe2 时时,有有 xa0 时时,恒有恒有 ax .x-a 2-f(x)2+f(x)f(x)-f(a)x+a 22-f(x)2+f(x)要证要证 x 成立成立.x+1 2(x-1)记记 g(x)=lnx-.x+1 2(x-1)则则 g(x)=-(x+1)2 4 1x只要证明只要证明 x(2-lnx)g(1)=0.lnx 成立成立.x+1 2(x-1)当当 1xe2 时时,有有 x 成立
15、成立.2-f(x)2+f(x)2021/8/11 星期三13导数的应用举例导数的应用举例 7 证证:(2)由由(1)知对任意的知对任意的 x(1,+),h(x)在在(1,+)上为减函数上为减函数.已知函数已知函数 f(x)=lnx.(1)求证求证:当当 1xe2 时时,有有 xa0 时时,恒有恒有 ax 成立成立.x+1 2(x-1)当当 xa0 时时,1,axln .axax+12(-1)ax lnx-lna .x+a 2(x-a)lnx-lna x-a ,x+a 2记记 h(x)=lnx-,x x-1 则则 h(x)=x x-(x-1)2 120,x-a f(x)-f(a)即即 .x+a
16、2h(x)h(1)=0.对任意的对任意的 x(1,+),都有都有 lnx .x x-1 x-a f(x)-f(a)同理可证同理可证 ax .x+a 2 ax .x-a f(x)-f(a)2021/8/11 星期三14导数的应用举例导数的应用举例 8 已知函数已知函数 f(x)=(-1)2+(-1)2 的定义域为的定义域为 m,n),且且 1mn 2.(1)讨论讨论 f(x)的单调性的单调性;(2)证明证明:对任意对任意 x1,x2 m,n),不等式不等式|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立恒成立.xmnx(1)解解:f(x)=(-1)2+(-1)2xmnx=+-+2,m2 x2x2n2
17、2xm2nxf(x)=-+m2 2xx32n22m2nx2m2x3 2=(x4-m2n2-mx3+m2nx)m2x3 2=(x2-mx+mn)(x+mn)(x-mn)1mx0,m2x3 2x2-mx+mn=x(x-m)+mn0,x+mn 0.由由 f(x)0 得得 mx0 得得 mn xn.f(x)在在 m,mn)上是减函数上是减函数,在在 mn,n)上是增函上是增函数数.2021/8/11 星期三15导数的应用举例导数的应用举例 8 已知函数已知函数 f(x)=(-1)2+(-1)2 的定义域为的定义域为 m,n),且且 1mn 2.(1)讨论讨论 f(x)的单调性的单调性;(2)证明证明:
18、对任意对任意 x1,x2 m,n),不等式不等式|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立恒成立.xmnx另解另解:由题设由题设 f(x)=(+-1)2-+1.xmnx2nm令令 t=+,xmnx1m2,t=-.1mx2n由由 t 0 得得 mx0 得得 mn xn.t(x)在在 m,mn)上是减函数上是减函数,在在 mn,n)上是增函上是增函数数.函数函数 y=(t-1)2-+1 在在 1,+)上是增函数上是增函数,2nmf(x)在在 m,mn)上是减函数上是减函数,在在 mn,n)上是增函上是增函数数.2021/8/11 星期三16导数的应用举例导数的应用举例 8 已知函数已知函数 f(
19、x)=(-1)2+(-1)2 的定义域为的定义域为 m,n),且且 1mn 2.(1)讨论讨论 f(x)的单调性的单调性;(2)证明证明:对任意对任意 x1,x2 m,n),不等式不等式|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立恒成立.xmnx对任意的对任意的 x1,x2 m,n),有有(2)证证:由由(1)知知 f(x)在在 m,n)上的最小值为上的最小值为 f(mn)=2(-1)2,nm最大值为最大值为 f(m)=(-1)2.nm|f(x1)-f(x2)|(-1)2-2(-1)2 nmnm=()2-4 +4 -1.nmnmnm令令 u=,h(u)=u4-4u2+4u-1.nm1mn2,1
20、 2.nm10,5+125-12h(u)在在(1,2 上是增函数上是增函数.=4 2-5.故对任意故对任意 x1,x2 m,n),|f(x1)-f(x2)|4 2-5 恒成立恒成立.h(u)h(2)=4-8+4 2-1 2021/8/11 星期三17导数的应用举例导数的应用举例 9 已知某厂生产已知某厂生产 x 件产品件产品的成本为的成本为 C=25000+200 x+x2(元元),问问:(1)要使平均成本最低要使平均成本最低,应生产多少件产品应生产多少件产品?(2)若产品以若产品以每件每件 500 元售出元售出,要使利润最大要使利润最大,应生产多少件产品应生产多少件产品?401解解:(1)设
21、平均成本为设平均成本为 y(元元),则则 y=25000+200 x+x2 x401当且仅当当且仅当 x=1000 时取等号时取等号.(2)利润利润函数为函数为 L=500 x-(25000+200 x+x2)401=+200 40 xx25000 x2500040 x2 +200=250.故故要使平均成本最低要使平均成本最低,应生产应生产 1000 件产品件产品.401=300 x-x2-2500.L=300-x.201令令 L=0 得得 x=6000,当当 x0;当当 x6000 时时,L 0,当当 x=6000 时时,L 取得最大值取得最大值.故故要使要使利润最大利润最大,应生产应生产
22、6000 件产品件产品.2021/8/11 星期三18导数的应用举例导数的应用举例 10 某厂生产某种产品某厂生产某种产品,已知该产品已知该产品的月产量的月产量 x(吨吨)与每吨产品与每吨产品的价格的价格 p(元元/吨吨)之间的关系式为之间的关系式为 p=24200-x2,且生产且生产 x 吨的吨的成本为成本为 R=50000+200 x 元元.问问该厂该厂每月每月生产多少吨产品才能使生产多少吨产品才能使利润达到最大利润达到最大?最大利润是多少最大利润是多少?(利润利润=收入收入-成本成本)15解解:设设每月每月生产生产 x 吨的利润为吨的利润为 y 元元,则则 x0,且且 y=(24200-
23、x2)x-(50000+200 x)15=-x3+24000 x-50000.15由由 y=-x2+24000=0 得得 35x=200(-(-200舍去舍去).在在 0,+)上只有一个点上只有一个点 x=200 使使 y=0,它就是最大值点它就是最大值点,且最大值为且最大值为 -2003+24000 200-50000 15=3150000(元元).故每月故每月生产生产 200 吨产品时利润最大吨产品时利润最大,最大利润是最大利润是 315 万元万元.2021/8/11 星期三19导数的应用举例导数的应用举例 11 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元元(
24、以下称以下称 s 为赔付价为赔付价格格):(1)将乙方的年利润将乙方的年利润 w(元元)表示为年产量表示为年产量 t(吨吨)的函数的函数,并求出乙方获得最大利润的并求出乙方获得最大利润的年产量年产量;(2)甲方每年受乙方生产甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额影响的经济损失金额 y=0.002t2(元元),在乙方获得最大利润的产在乙方获得最大利润的产量进行生产的前提下量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入甲方要在索赔中获得最大净收入,应应向乙方要求的赔付价格最大是多少向乙方要求的赔付价格最大是多少?甲方是一农场甲方是一农场,乙方是一工厂乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的由于乙方生
25、产需占用甲方的资源资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入收入.在乙方不赔付甲方的情况下在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润乙方的年利润 x(元元)与年产与年产量量 t(吨吨)满足函数关系满足函数关系 x=2000 t.解解:(1)赔付价格为赔付价格为 s 元元/吨吨,乙方实际年利润乙方实际年利润 w=2000 t-st.w=2000 t-s(t)2 =-s(t -)2+.s1000 s10002 当当 t=时时,w 取得最大值取得最大值.s210002 s210002 乙方获得最大利润的乙方获得最大利润的年产量为年产量为 吨
26、吨.2021/8/11 星期三20另解另解:赔付价格为赔付价格为 s 元元/吨吨,乙方实际年利润乙方实际年利润 w=2000 t-st.由由 w=-s=,t1000t1000-s t 令令 w=0 得得 t=t0=.s210002 当当 t0;当当 tt0 时时,w 0,当当 t=t0 时时,w 取得最大值取得最大值.s210002 乙方获得最大利润的乙方获得最大利润的年产量为年产量为 吨吨.(2设甲方净收入为设甲方净收入为 v 元元,则则 v=st-0.002t2,将将 t=代入上式得代入上式得:s210002 又又 v=-+s210002 s58 10003 v=-.s10002 s42
27、10003 s510002(8000-s3)=.令令 v=0 得得 s=20.当当 s0;当当 s20 时时,v 0),且且C(4,2).22=2p 42p=1.曲线段曲线段 OC 的方程为的方程为 y2=x(0 x4,y0).设设 P(x,x)(0 x0;当当 x(,4)时时,S 0,4949当当 x=时时,S 取到极大值取到极大值,49=,83此时此时|PQ|=2+x|PN|=4-x 932=.S=8393227 256 9.5.当当 x=0 时时,S=89.5,Smax 9.5(km2).83932故把工业园区规划成长故把工业园区规划成长 km,宽宽 km 的矩形时面积最大的矩形时面积最大,最大面积约为最大面积约为 9.5 km2.2021/8/11 星期三23