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1、专题三专题三 分类整合的思想方法分类整合的思想方法第一部分数学思想方法第一部分数学思想方法2021/8/8 星期日1 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.专题三 分类整合的思想方法知识概要2021/8/8 星期日2 2.运用分运用分类类整合思想解整合
2、思想解题题的基本步的基本步骤骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.专题三 分类整合的思想方法知识概要2021/8/8 星期日3 3.明确引起分明确引起分类讨论类讨论的原因，有利于掌握分的原因，有利于掌握分类类整合的思整合的思想方法解决想方法解决问题问题.分分类讨论类讨论的主要原因有：的主要原因有：(1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直线
3、所成的角等等.(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等等；专题三 分类整合的思想方法知识概要2021/8/8 星期日4(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5)由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；(6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，应用问题等.知识概要专题三 分类整合的思想方法2021/8/8 星期日5考题剖析
4、1.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上的截距相等，则这直线方程为（）A.x+y7=0B.2x5y=0C.x+y7=0或2x5y=0D.x+y+7=0或2y5x=01.C解析解析设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y=x，即2x5y=0；当a0时，设直线方程为，则求得a=7，方程为x+y7=0.点点评评截距是很容易出错的一个概念，它实质上表示坐标的意义，有正、有负、有零三种情况，解题中，很容易将截距为零这一种情况漏掉.专题三 分类整合的思想方法2021/8/8 星期日62.若a0，且a1，p=loga(a3+a+1)，q=loga(a2+a+1)，则p
5、、q的大小关系为（）A.p=qB.pqC.pqD.a1时，pq；0a1时，pq专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日72.C解析解析欲比较p、q的大小，只需先比较a3+a+1与a2+a+1的大小，再利用对数函数的单调性.而决定a3+a+1与a2+a+1的大小的a值的分界点为使(a3+a+1)(a2+a+1)=a2(a1)=0的a值：a=1，当a1时，a3+a+1a2+a+1，此时loga(a3+a+1)loga(a2+a+1)，即pq；当0a1时，a3+a+1a2+a+1，此时loga(a3+a+1)loga(a2+a+1)即pq.可见，不论a1还是0a1，都有pq.点点评
6、评这是一个含参数问题的处理，一般来说，有字母就要注意讨论，本题中，比较两对数值的大小，只需要比较两真数的大小，差比法中因为差的结果中含有参数，这也就引起了讨论.专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日83.函数f(x)=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（）A.0，+)B.(，1C.(0，1D.（0，1）专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日93.B解析解析当m=0时，f(x)=3x+1，其图象与x轴交点为（，0）满足题意；当m0时，再分m0，m0两种情形，由题意得解得0m1或m0.综上可知，m=0或m0或
7、0m1即m1故选B专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日10 点点评评对于f(x)=mx2+(m3)x+1这种函数，学生在解题时，想当然地将它当作了一个二次函数来处理，忽略了m=0的讨论，一般地，最高次幂的项的系数含有字母、参数时，一定要注意讨论它与0的关系.专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日114.解析解析当a=0时，Sn=0;当a0时，为等比数列求和.若a1，则由求和公式得Sn=；若a=1时，Sn=n.综合得Sn=专题三 分类整合的思想方法考题剖析4.求和Sn=a+a2+an=_.2021/8/8 星期日12点点评评由于等比数列定义本身有限制条件
8、，等比数列求和公式是分类给出的，因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论.这里进行了两层分类：第一层分类的依据是等比数列的概念，分为a=0和a0，第二层分类的依据是等比数列求和公式的应用条件.专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日135.设全集U=R（1）解关于x的不等式|x1|+a10(aR);（2）记A为(1)中不等式的解集，集合 B=x|sin(x)+cos(x)=0，若（U A）B恰有3个元素，求a的取值范围.专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日14解析解析（1）由|x1|+a10得|x1|1a.当a1时，解集是R；当a1时，解集是x|xa或x2
9、a.专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日15（2）当a1时，（UA）=当a1时，UA=x|ax2a.因sin(x)+cos(x)=2sin(x)cos+cos(x)sin=2sinx.由sinx=0,得x=k(kZ),即x=kZ,所以B=Z.当（UA）B恰有3个元素时，a就满足专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日166.设F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求的值.分析分析本题考查圆锥曲线的性质.因P、F1、F2是一直角三角形的三顶点，且|PF1|PF2|，则直角顶点有两种
10、可能性：点F2或点P，故有两解.专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日17 解析解析解法1：由已知|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=2，若PF2F1为直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，得|PF1|=，|PF2|=，故；若F1PF2为直角，则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，得|PF1|=4，|PF2|=2，故=2.专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日18解法2：由椭圆的对称性不妨设P(x，y)(x0，y0)，则由已知可得F1(,0)，F2(,0)，若PF2F1为直角，则P(，)，故；若F1PF2为直角，则解得P故=2
11、.点评本题求点评本题求解的结论含有多解的结论含有多种情况或多种可种情况或多种可能性，因此要对能性，因此要对各种可能情况进各种可能情况进行分类讨论行分类讨论.专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日197.某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外 三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？分析分析如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C36种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选.同样，如果先考虑车工也
12、会遇到同样的问题.因此需对全能工人进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人.专题三 分类整合的思想方法考题剖析2021/8/8 星期日20解析解析或：专题三 分类整合的思想方法考题剖析点点评评排列组合问题主要是考查学生的分类讨论的能力，解答这类题时，首先要确实好分类的对象，这个题中，可以对全能工人进行分类，也可以对仅会钳工的人分类，也还可以对仅会车工的人分类，不过，一般选择对象个数少的作为分 类 对 象，这 样 讨 论 的 情 况 相 对 就 会 少 些.2021/8/8 星期日21规律总
13、结分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定.但可以在解题时不断地总结经验.对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立.这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论.常见的“个别”情形略举以下几例：专题三 分类整合的思想方法2021/8/8 星期日22（1）“方程ax2+bx+c=0有实数解”转化为“=b24ac0”时忽略了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为0；（2）等比数列a1qn1的前n项和公式Sn=中有个别情形：q=1时，公式不再成立，而是Sn=na1；（3）设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑；（4）若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为，但有个别情形：a=0时，则不能如此设，应另行考虑.专题三 分类整合的思想方法规律总结2021/8/8 星期日232021/8/8 星期日24